对称性在重积分计算中的应用

左俊梅

[摘 要]在积分计算中，运用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，以及轮换对称性可以简化计算.对称性在重积分计算中具有多方面的应用.

[关键词]对称性 重积分 积分计算

[中图分类号] O172.2 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）14-0177-02

一、对称性在二重积分计算中的应用

对于二重积分，我们主要讨论积分区域关于x轴（或y轴）对称、关于原点对称以及轮换对称性的类型.

定理1 设函数f（x，y）在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于x轴对称.如果函数f（x，y）是关于y的奇函数，即f（x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D则■f（x，y）dσ=0；如果f（x，y）是关于y的偶函数，即f（x，-y）=f （x，y），（x，y）∈D，则■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ.其中D1是D在x轴上方的平面区域.

同理可写出积分区域关于y轴对称的情形.当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.

定理2 设函数f（x，y）在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果f （-x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D，则■f（x，y）dσ=0；如果f （-x，-y）=f（x，y），（x，y）∈D，则■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ，其中D1={（x，y）∈D|x≥0}，D2={（x，y）∈D|y≥0}.

为了叙述的方便，我们给出区域关于x，y的轮换对称性的定义.

定义1 设D为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意（x，y）∈D，存在（y，x）∈D，则称区域D（或光滑平面曲线段）关于（x，y）具有轮换对称性.

关于区域的轮换对称性，有如下定理.

定理3 设函数f（x，y）在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于x，y具有轮换对称性，则■f（x，y）dσ=■f（y，x）dσ.

例1 计算二重积分I=■■ dσ，其中f（x）是区间[-1，1]上的正值连续函数，D={（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}.

解 由于积分区域D关于x，y具有轮换对称性，则由定理3得

I=■■ dσ=■■ dσ，

所以I=■■[■+

■]dσ=■■dσ=■（a+b）.

二、对称性在三重积分计算中的应用

经过分析，我们可以很容易地看到对称性在三重积分计算中的应用与二重积分非常类似，根据对称性在二重积分计算中的结论可以得到下面的定理.

定理4 设函数f（x，y，z）是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于坐标平面x=0对称，则

（1）若f（x，y，z）是关于变量x的奇函数，则

■f（x，y，z）dV=0；

（2）若f（x，y，z）是关于变量x的偶函数，则

■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV.

其中Ω1是Ω的前半部分，Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}.

同理可写出Ω关于坐标平面y=0（或z=0）对称时的情形.

例2 计算三重积分I=■（x+z）dV，其中Ω是由曲面z=■与z=■所围成的区域.

解I=■xdV+■zdV，由于Ω关于坐标面x=0对称，且x为关于变量x的奇函数，则由定理4知■xdV=0.则I=■zdV=■dθ■dφ■rcosφr2sinφdr=■.

与二重积分类似，我们也可得到如下结论.

定理5 设函数f（x，y，z）是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于原点对称，则

（1）若f（-x，-y，-z）=-f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，則

■f（x，y，z）dV=0；

（2）若f（-x，-y，-z）=f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，，则

■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV

=2■f（x，y，z）dV.

其中Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}，Ω2={（x，y，z）∈Ω|y≥0}，Ω3={（x，y，z）∈Ω|z≥0}

为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x，y，z的轮换对称性定义.

定义2 设Ω是一有界可度量的几何体（Ω可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的（x，y，z）∈Ω，都存在（y，z，x）∈Ω，存在（z，x，y）∈Ω，则称Ω关于x，y，z具有轮换对称性.

关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.

定理6 设函数y（x，y，z）是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于x，y，z具有轮换对称性，则

■f（x，y，z）dV=■f（y，z，x）dV=■f（z，x，y）dV.

例3 计算■f（x+y+z）2dΩ.其中Ω为正方体0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1.

解 由于Ω关于x，y，z具有轮换对称性，由定理6知

■x2dΩ=■y2dΩ=■z2dΩ，

■2xydΩ=■2yzdΩ=■2zxdΩ，

那么■（x+y+z）2dΩ=■（3x2+6xy）2dΩ

=■dx■dy■（3x2+6xy）dz=■.

[ 参 考 文 献 ]

[1] 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用[J].曲阜师范大学学报，2008（29）：9-10.

[2] 张仁华.二重积分计算中的若干技巧[J].湖南冶金职业技术学院学报，2008（2）：102-104.

[3] 陈云新.轮换对称性在积分中的应用[J].高等数学研究，2001（4）：29-31.

[4] 王宪杰.对称区域上二重积分和三重积分的计算[J].牡丹江师范学院学报，2007（4）：65-66.

[责任编辑：林志恒]