考虑固液界面作用的表观渗透率分形模型

娄 钰，朱维耀，宋洪庆，黄小荷，王小锋，张雪龄

（北京科技大学 土木与环境工程学院，北京 100083）

0 引言

低渗透和致密油气藏特点是孔喉尺寸很小，孔隙中流体受到固体壁面的强烈影响，大比表面和狭窄孔喉导致固体表面附近流体性质发生改变［1-3］，因此研究固液界面作用下的渗流机理对低渗透和致密油气藏开发具有重要意义.考虑固液界面分子间作用下的液体微管流动的研究结果表明，微流动的表观黏度与流体黏性系数有差别，并且表观黏度与微管的形态和微管直径有密切关系［4-10］.多孔介质具有复杂的孔隙结构和表面特征，研究证实多孔介质的孔隙空间具有良好分形特征，因此分形几何学被广泛应用到多孔介质的表征，进而研究多孔介质中流体的输运特性和规律［11-15］.

笔者考虑固液界面作用对微流动影响，推导流体在固液界面作用影响下的流速分布表达式及流量方程；然后基于具有分形特征的多孔介质，推导在固液界面作用影响下流体在多孔介质中的运动方程，得到考虑固液界面作用影响的表观渗透率表达式.该表达式参数意义明确，并综合考虑固液作用和多孔介质结构特征的影响.

1 微流动流量方程

固液分子间的作用力影响液体黏性，固液界面作用对壁面附近流体黏性系数的影响很大，其大小取决于壁面材料和流体的分子间作用力，并且随着离开壁面距离增加，表观黏度迅速衰减［9-10］.假设流体在半径为R的微纳米尺度圆管内流动，y表示距离轴心的径向距离，考虑固液界面作用的表观黏度［16］可表示为

式中：μ、μ0分别为固液界面作用下液体表观黏度及流体黏度；γ、n分别为表征固液界面作用变化参数，与固体材料性质和流体性质有关.其中参数γ表征固液界面作用对表观黏度的影响程度，参数n表征表观黏度随壁面距离增加的衰减速度，可通过微流动实验确定2个参数.

基于Navier-Stokes运动方程，在圆管中柱坐标下的运动方程为

积分求解得到考虑界面作用的圆管中流速分布为

对流速分布积分，并利用分部积分法化简，可得微管内平均流速为

将平均流速乘以截面积，得到考虑固液界面作用的流量q表达式为

式中：λ为微管直径；L为微管长度；Δp为微管两端压差.当z＝y／R时，有

定义函数G（λ，γ，n）为固液界面作用对微管内流体流动影响的界面因子.由式（5）可知，界面因子G越大，即固液界面作用影响越大，流量越小.由微管管径及固液界面作用参数决定界面因子.当固液界面作用参数γ＝0时，G＝0，流量q方程退化为

即泊肃叶定律.

2 分形渗流模型

设Le为弯曲毛细管有效长度，假设弯曲毛细管曲线是分形［17］的，则

式中：δ为迂曲分维.

考虑迂曲度，流量方程式（5）可改写［18］为

2013年11月24日，第三场职业比赛，带着所有人的担心以及质疑，邹市明踏上了拳台。勾拳、刺拳、漂亮的重击以及神奇的闪躲，不再步步后退，以连续的进攻反击质疑，他赢了。这是邹市明第一次以职业的方式取得了胜利。一些拳击圈内人乐观预测：2014年年底，邹市明有望拿到金腰带。

设最大孔喉直径和最小孔喉直径分别为λa和λi，根据分形特征可得直径大于λ的毛管累计数为

式（10-11）中：D为管径分维.

根据渗流速度定义，流速v是通过多孔介质单位横截面的体积流量，则

将式（9）和式（11）代入式（12），可得考虑固液界面作用的运动方程为

式（13）可简化为

式中：H为表征固液界面作用对渗流影响大小的系数，其值依赖于多孔介质分形特征和式（6）界面因子G，

K0为不受固液界面作用影响的渗透率，

定义固液界面作用影响下表观渗透率K为

由孔隙结构和固液界面作用综合决定H.当界面因子G＝0时，可得H＝0，K＝K0，即不考虑固液界面作用的渗透率.

分形多孔介质中的参数计算：

（1）单元横截面积A及长度L计算表达式［17］分别为

式（20-21）中：rp为多孔介质颗粒的平均粒径；φ为孔隙度.

（2）最大孔喉直径表达式［17］为

3 结果与分析

可以通过微管流动实验获得固液界面作用参数γ和n.固液界面作用大小与流体的分子性质和壁面的自由能有关［16］.选用水作为流体介质，利用式（5-6）对去离子水微流动实验数据［6］进行拟合获取参数，分析固液界面作用的影响.固液界面作用参数取为n＝1，γ＝10-7.可利用扫描电镜测量或压汞法获得多孔介质分形特征参数.多孔介质分形参数取为：孔径分布的分形维度D为1.8，迂曲度δ为1.1，颗粒粒径为0.01mm，最小孔喉直径为0.1μm.

固液界面作用影响下微管中流速随压力梯度变化关系见图1，微管半径为10μm.参数γ＝0时，为泊肃叶方程计算结果.由图1可知，考虑固液界面作用影响时，流速低于泊肃叶方程预测值；参数γ越大，流速越小，表明固液界面作用对流速影响越大.

单管中固液作用影响下界面因子G随微管直径λ变化见图2，界面因子G由式（6）定义，表征固液界面作用对流速的影响程度.由图2可知，固液界面作用影响的大小与微管直径λ有密切联系.随着微管直径λ减小，界面因子G逐渐增加，当微管直径小于某个临界值时，界面因子G呈非线性迅速增加.临界微管直径与固液界面作用大小有关，参数越小，临界微管直径越小.

固液界面作用影响下分形多孔介质的表观渗透率K随着孔隙度φ变化见图3.由图3可知，参数γ＝0时，固液界面作用没有影响，表观渗透率最大；考虑固液界面作用影响，表观渗透率明显下降，参数γ越大，表观渗透率越低，表明固液界面作用对渗流影响越大.随着孔隙度增加，表观渗透率增大.

不同孔隙度下表观渗透率随着固液作用参数γ变化见图4.由图4可知，在相同孔隙度下，随着参数γ增加，固液界面作用增大，而表观渗透率K下降.当参数γ＜0.5×10-6时，表观渗透率K随着固液界面作用的增大呈非线性迅速下降，随着参数γ的进一步增大，K的下降速度减缓.这说明固液界面作用的微小变化对流体渗流有显著影响.

4 结论

（1）考虑固液界面作用力对微流动的影响，引入界面因子，建立综合考虑微流动固液界面作用和复杂孔隙结构特征的渗流数学模型，通过数值计算分析固液界面作用对流体在微圆管和多孔介质中流动的影响.

（2）考虑固液界面作用，流速低于泊肃叶方程的预测值，固液界面作用越大，偏离越明显.

（3）微管直径越小，界面因子越大，说明固液界面作用影响增大；当微管直径小于临界管径时，界面因子呈非线性迅速增加.

（4）考虑固液界面作用，表观渗透率下降.当固液作用参数γ≤0.5×10-6时，表观渗透率呈非线性迅速下降；当固液作用参数γ≥0.5×10-6时，表观渗透率下降趋于平缓.固液界面作用的变化对渗流有显著影响.

（References）：

［1］刘德新，岳湘安，燕松，等.吸附水层对低渗透油藏渗流的影响机理［J］.油气地质与采收率，2006，12（6）：40-42.Liu Dexin，Yue Xiangan，Yan Song，et al.Influential mechanism of adsorbed water layers on percolation in low permeability oil reservoir［J］.Petroleum Geology and Recovery Efficiency，2005，12（6）：40-42.

［2］徐绍良，岳湘安，侯吉瑞，等.边界层流体对低渗透油藏渗流特性的影响［J］.西安石油大学学报：自然科学版，2007，22（2）：26-28.Xu Shaoliang，Yue Xiangan，Hou Jirui，et al.Influence of boundary-layer fluid on the seepage characteristic of low-permeability reservoir［J］.Journal of Xi'an Shiyou University：Natural Science Edition，2007，22（2）：26-28.

［3］贾振岐，王延峰，付俊林，等.低渗低速下非达西渗流特征及影响因素［J］.大庆石油学院学报，2001，25（3）：73-76.Jia Zhenqi，Wang Yanfeng，Fu Junlin，et al.Characteristics of non-darcy percolation and under the condition of low-permeability and low-velocity［J］.Journal of Northeast Petroleum，2001，25（3）：73-76.

［4］Mala M，Li D.Flow characteristics of water in microtubes［J］.International Journal of Heat and Fluid Flow，1999，20（2）：142-148.

［5］Weilin Q，Mala M，Dongqing L.Pressure-driven water flows in trapezoidal silicon microchannels［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2000，43（3）：353-364.

［6］李洋.微尺度下非线性流动特征及降低流动阻力的研究［D］.北京：中国科学院研究生院，2010.Li Yang.Study of Microscale Nonlinear flow characteristics and flow resistance reducing methods［D］.Beijing：Graduate School of Chinese Academy of Sciences，2010.

［7］Israelachvili J N.Intermolecular and surface forces：revised third edition［M］.Beijing：Academic Press，2011.

［8］黄延章，杨正明，何英，等.低渗透多孔介质中的非线性渗流理论［J］.力学与实践，2013，35（5）：1-8.Huang Yanzhang，Yang Zhengming，He Ying，et al.Nonlinear porous flow in low permeability porous media［J］.Mechanics in Engineering，2013，35（5）：1-8.

［9］尤学一，郑湘君，郑敬茹.微尺度流道内液体表观黏性系数的分子理论［J］.物理学报，2007，56（4）：2323-2329.You Xueyi，Zheng Xiangjun，Zheng Jingru.Molecular theory of apparent viscosity of liquid in microchannels［J］.Acta Physica Sinica，2007，56（4）：2323-2329.

［10］Xu B，Ooi K T，Wong T N，et al.Study on the viscosity of the liquid flowing in microgeometry［J］.Journal of Micromechanics and Microengineering，1999，9（4）：377.

［11］闫铁，李玮.分形岩石力学在油气井工程中的应用［J］.大庆石油学院学报，2010，34（5）：60-64.Yan Tie，Li Wei.Application of fractal rock mechanics to oil and gas engineering［J］.Journal of Northeast Petroleum，2010，34（5）：60-64.

［12］Yun M，Yu B，Lu J，et al.Fractal analysis of Herschel-Bulkley fluid flow in porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2010，53（17）：3570-3574.

［13］Garrison J R，Pearn W C，Von Rosenberg D U.The fractal nature of geological data set：Power law processes every where［C］.SPE 22842，1991.

［14］贺承祖，华明琪.储层孔隙结构的分形几何描述［J］.石油与天然气地质，1998，19（1）：15-23.He Chengzu，Hua Mingqi.Fractal geometry description of reservoir pore structure［J］.Oil ＆ Gas Geology，1998，19（1）：15-23.

［15］文慧俭，闫林，姜福聪，等.低孔低渗储层孔隙结构分形特征［J］.大庆石油学院学报，2007，31（1）：15-18.Wen Huijian，Yan Lin，Jiang Fucong，et al.The fractal characteristics of the pore texture in low porosity and low permeability reservoir［J］.Journal of Northeast Petroleum，2007，31（1）：15-18.

［16］文书明.微流边界层理论及其应用［M］.北京：冶金工业出版社，2002.Wen Shuming.Micro-flow boundary layer theory and its application［M］.Beijing：Metallurgical Industry Press，2002.

［17］Yu B，Cheng P.A fractal permeability model for bi-dispersed porous media［J］.International Journal of Heat and Mass Transfer，2002，45（14）：2983-2993.

［18］Carman P C.Fluid flow through granular beds［J］.Transactions Institution of Chemical Engineeres，1937（15）：150-166.