利用对称求最短距离

杨思伟

曾经有一名学生问过我这样一个问题：已知有一个圆C： （x-3）2+（y-4）2=5，直线L：5x+3y-10=0 ，点P与圆C的圆心O点关于直线L对称，N点是X轴上一动点，求 |PN|+|ON|的最小值。向我提出问题的学生运算能力强，但基础不牢、分析问题的能力较一般。

我看完题后，问他：“你怎么看？有思路吗？”

“老师，我一点思路也没有。”

我又问：“你能把图形画出来吗？”

他说：“能。”

说完，他就在草稿纸上将图1画了出来。

我问他：“现在有思路了吗？”

他摇摇头，我继续问：“你要求 |PN|+|ON|的最小值，就是求什么？”

“点N到点P的距离加上点N到点O的距离最短。”

“首先得知道什么？”

“点P、O、N的坐标。”

“你现在能求什么？”

“O点和P点的坐标。”

“怎么求？”

“根据圆的方程知道，圆心坐标为（3，4），因为点P与点O关于直线L对称，可设点P坐标为（x，y），则OP中点的坐标为（，） ，因为OP中点在直线L上，将坐标带入直线L的方程，整理得到方程①： 5x+3y+7=0，直线L的斜率为 -，因为直线OP与直线L垂直，所以直线OP的斜率与直线L的斜率乘积为 -1，即直线OP的斜率为 ，根据斜率公式得到方程②：= 。将①②联立方程组，解得 x=-2，y=1，即P点坐标为 （-2，1）。到这我就没有思路了，我不知道N点坐标为多少时，到点O和点P的距离最短？”

我听完后，没有立刻为他解答，而是告诉他：“这个题目咱们先放一放，先来看一道初中的题目。在河两岸，有A、B两个生活区，要在河边建立一个自来水公司，向两个生活区输送自来水，建造在哪个位置可以使输送管道最短？最短距离是多少？”

学生说：“连接AB，最短距离是|AB| 。”

我问：“如果是在河流的一侧呢？（如图2）”

他思考了一会儿，说道：“先做A点关于河流的对称点 A′，然后连接 A′B，应该建造在与河流的交界处C点， |A′B|是最短距离，如图3。”

“对，现在回到刚才的题目，有思路了吗？”

“有了，把P和O看作是两个生活区，再把X轴看作是河流，先找到点P关于X轴的对称点P′（-2，-1），连接 P′O，则|P′O|就是|PN|+|ON| 的最小值。利用两点间距离公式，可以得到 |P′O|= 5，所以|PN|+|ON| 的最小值为 5。这里就不需要求N点坐标了。”

“完全正确。以后再遇到这样的问题自己能解决了吗？”

“能。”

“怎么解决？”

“在两侧时，利用两点之间线段最短进行求解；在一侧时，先利用对称性，找出其中一个的对称点，然后再利用两点之间线段最短来求解。”

“总结得非常好。”

高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养学生素质的基础课程。很多学生感觉数学难，是因为对基础知识掌握得不扎实，对知识的考察切入点不熟悉，对知识的前后联系不紧密。所以，在数学的学习过程中，我建议学生熟记基本概念、公理和定理，多做习题，理解和巩固基础知识；及时总结，熟悉知识考察的切入点，使知识融会贯通。万丈高楼平地起，只有基础知识掌握得牢固，熟悉知识考察的切入点，才能将数学这座美丽的大厦建立在自己的脑海中。

（责任编辑 冯 璐）