关于反比例函数k的几何意义

施春华

反比例函数是中考重点之一，在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很大的方便.下面我就反比例函数k的几何意义在教学中的体会谈谈看法.

一、了解认识反比例函数K的几何意义

在反比例函数y=■（k≠0）中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图像y=■上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.连接OP，则S■=S■=■.

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很多方便.下面我举例说明.

例1：如图，在函数y=■（x>0）的图像上有三点A、B、C.过这三点分别向x轴、y轴作垂线.过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S■，S■，S■，则（ ）

A.S■>S■>S■ B.S■

C.S■

分析：根据K的几何意义，S■=S■=S■=1，故选D.

变式1：如图反比例函数y=■（x>0）的图像上，有点P，Q，R，S，它们的横坐标依次是1、2、3、4.分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S■，S■，S■，则S■+S■+S■=？摇？摇？摇 ？摇.

分析：通过平移可知，阴影部分面积和等于|k|-■，所以S■+S■+S■=2-■=■.

变式2：如图，反比例函数y=-■的图像与直线y=-■x的交点为A、B.过A作y轴的垂线，过B作x轴的平行线相交与点C，则△ABC的面积为多少？

分析：如图，若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若利用反比例函数中k的几何意义来解，则能快刀斩乱麻.

解：由反比例函数图像关于原点成中心对称知O为AB中点.根据反比例函数中k的几何意义，有S■=S■=■，所以△ABC的面积即为矩形BCDE的面积为8.

变式3：如图，反比例函数y=■与一次函数y=2x的交点为A、B.过B作y轴的垂线与y轴交于点C，求△ABC的面积.

分析：若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若用反比例函数k的几何意义解决问题，就会节省很多时间.

解：由反比例函数图像关于原点成中心对称可知：O为AB中点.S■=2S■=|k|=4.

变式4：若在此题上添加过A作y轴的垂线与y轴交于点D连接AD，BD，则四边形ADBC的面积为多少？

分析：易证四边形ADBC是平行四边形，所以四边形ADBC的面积=2.S■=8.

由已知反比例函数求几何图形面积，用k的几何意义可以简化过程，通过数形结合使几何问题代数化，使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、根据反比例函数图像中的几何图形的面积求反比例函数解析式

例1：如图所示，点P是反比例函数y=■图像上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形的面积为4，求反比例函数的解析式.

分析：矩形AOCP的面积=|k|，所以|k|=4.学生往往认为很简单而漏考虑图像在二、四象限，所以k=-4.

例2：如图，已知双曲线y=■（k>0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求反比例函数解析式.

分析：设点D（x，y），则xy=k.

由点D为OB中点可知点B（2x，2y）.

S■=■·OA·OB=■×2k×2k=2k

S■=S■-S■=2k-■=3

可得k=2.

所以y=■.

变式：如图，反比例函数y=■（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为6，求k的值.

分析：本题类似上题，由M为矩形ODBE交点可知，M为OB中点，同样设M（x，y），得B（2x，2y）.

矩形OABC面积=2x·2y=4k

由四边形ODBE的面积为6可得：

4k-■k-■k=6，得k=2.

通过几何图形的变化，结合图形用方程思想解决几何问题，可以看出k的几何意义应用，利用数形结合思想往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了.从而在学习过程中激发学生学习数学的兴趣.

反比例函数是中考重点之一，在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很大的方便.下面我就反比例函数k的几何意义在教学中的体会谈谈看法.

一、了解认识反比例函数K的几何意义

在反比例函数y=■（k≠0）中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图像y=■上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.连接OP，则S■=S■=■.

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很多方便.下面我举例说明.

例1：如图，在函数y=■（x>0）的图像上有三点A、B、C.过这三点分别向x轴、y轴作垂线.过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S■，S■，S■，则（ ）

A.S■>S■>S■ B.S■

C.S■

分析：根据K的几何意义，S■=S■=S■=1，故选D.

变式1：如图反比例函数y=■（x>0）的图像上，有点P，Q，R，S，它们的横坐标依次是1、2、3、4.分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S■，S■，S■，则S■+S■+S■=？摇？摇？摇 ？摇.

分析：通过平移可知，阴影部分面积和等于|k|-■，所以S■+S■+S■=2-■=■.

变式2：如图，反比例函数y=-■的图像与直线y=-■x的交点为A、B.过A作y轴的垂线，过B作x轴的平行线相交与点C，则△ABC的面积为多少？

分析：如图，若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若利用反比例函数中k的几何意义来解，则能快刀斩乱麻.

解：由反比例函数图像关于原点成中心对称知O为AB中点.根据反比例函数中k的几何意义，有S■=S■=■，所以△ABC的面积即为矩形BCDE的面积为8.

变式3：如图，反比例函数y=■与一次函数y=2x的交点为A、B.过B作y轴的垂线与y轴交于点C，求△ABC的面积.

分析：若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若用反比例函数k的几何意义解决问题，就会节省很多时间.

解：由反比例函数图像关于原点成中心对称可知：O为AB中点.S■=2S■=|k|=4.

变式4：若在此题上添加过A作y轴的垂线与y轴交于点D连接AD，BD，则四边形ADBC的面积为多少？

分析：易证四边形ADBC是平行四边形，所以四边形ADBC的面积=2.S■=8.

由已知反比例函数求几何图形面积，用k的几何意义可以简化过程，通过数形结合使几何问题代数化，使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、根据反比例函数图像中的几何图形的面积求反比例函数解析式

例1：如图所示，点P是反比例函数y=■图像上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形的面积为4，求反比例函数的解析式.

分析：矩形AOCP的面积=|k|，所以|k|=4.学生往往认为很简单而漏考虑图像在二、四象限，所以k=-4.

例2：如图，已知双曲线y=■（k>0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求反比例函数解析式.

分析：设点D（x，y），则xy=k.

由点D为OB中点可知点B（2x，2y）.

S■=■·OA·OB=■×2k×2k=2k

S■=S■-S■=2k-■=3

可得k=2.

所以y=■.

变式：如图，反比例函数y=■（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为6，求k的值.

分析：本题类似上题，由M为矩形ODBE交点可知，M为OB中点，同样设M（x，y），得B（2x，2y）.

矩形OABC面积=2x·2y=4k

由四边形ODBE的面积为6可得：

4k-■k-■k=6，得k=2.

通过几何图形的变化，结合图形用方程思想解决几何问题，可以看出k的几何意义应用，利用数形结合思想往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了.从而在学习过程中激发学生学习数学的兴趣.

反比例函数是中考重点之一，在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很大的方便.下面我就反比例函数k的几何意义在教学中的体会谈谈看法.

一、了解认识反比例函数K的几何意义

在反比例函数y=■（k≠0）中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图像y=■上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|.连接OP，则S■=S■=■.

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，就会给解题带来很多方便.下面我举例说明.

例1：如图，在函数y=■（x>0）的图像上有三点A、B、C.过这三点分别向x轴、y轴作垂线.过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为S■，S■，S■，则（ ）

A.S■>S■>S■ B.S■

C.S■

分析：根据K的几何意义，S■=S■=S■=1，故选D.

变式1：如图反比例函数y=■（x>0）的图像上，有点P，Q，R，S，它们的横坐标依次是1、2、3、4.分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S■，S■，S■，则S■+S■+S■=？摇？摇？摇 ？摇.

分析：通过平移可知，阴影部分面积和等于|k|-■，所以S■+S■+S■=2-■=■.

变式2：如图，反比例函数y=-■的图像与直线y=-■x的交点为A、B.过A作y轴的垂线，过B作x轴的平行线相交与点C，则△ABC的面积为多少？

分析：如图，若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若利用反比例函数中k的几何意义来解，则能快刀斩乱麻.

解：由反比例函数图像关于原点成中心对称知O为AB中点.根据反比例函数中k的几何意义，有S■=S■=■，所以△ABC的面积即为矩形BCDE的面积为8.

变式3：如图，反比例函数y=■与一次函数y=2x的交点为A、B.过B作y轴的垂线与y轴交于点C，求△ABC的面积.

分析：若先求出A、B、C三点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂繁琐.若用反比例函数k的几何意义解决问题，就会节省很多时间.

解：由反比例函数图像关于原点成中心对称可知：O为AB中点.S■=2S■=|k|=4.

变式4：若在此题上添加过A作y轴的垂线与y轴交于点D连接AD，BD，则四边形ADBC的面积为多少？

分析：易证四边形ADBC是平行四边形，所以四边形ADBC的面积=2.S■=8.

由已知反比例函数求几何图形面积，用k的几何意义可以简化过程，通过数形结合使几何问题代数化，使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、根据反比例函数图像中的几何图形的面积求反比例函数解析式

例1：如图所示，点P是反比例函数y=■图像上一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，如果构成的矩形的面积为4，求反比例函数的解析式.

分析：矩形AOCP的面积=|k|，所以|k|=4.学生往往认为很简单而漏考虑图像在二、四象限，所以k=-4.

例2：如图，已知双曲线y=■（k>0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为3，求反比例函数解析式.

分析：设点D（x，y），则xy=k.

由点D为OB中点可知点B（2x，2y）.

S■=■·OA·OB=■×2k×2k=2k

S■=S■-S■=2k-■=3

可得k=2.

所以y=■.

变式：如图，反比例函数y=■（x>0）的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E，若四边形ODBE的面积为6，求k的值.

分析：本题类似上题，由M为矩形ODBE交点可知，M为OB中点，同样设M（x，y），得B（2x，2y）.

矩形OABC面积=2x·2y=4k

由四边形ODBE的面积为6可得：

4k-■k-■k=6，得k=2.

通过几何图形的变化，结合图形用方程思想解决几何问题，可以看出k的几何意义应用，利用数形结合思想往往能使一些错综复杂的问题变得直观，解题思路清晰，步骤明了.从而在学习过程中激发学生学习数学的兴趣.