高考数学必做客观题——三角函数与三角恒等变换

车树勤

1 三角函数的定义

（ ）必做1 阅读下列命题：

①若点P（a，2a）（a≠0）为角α终边上一点，则sinα= ；

②同时满足sinα= ，cosα= 的角有且只有一个；

③设tanα= 且π<α< ，则sinα=- ；

④设cos（sinθ）·tan（cosθ）>0（θ为象限角），则θ在第一象限.

其中正确的命题为___________. （将正确的命题的序号填在横线上）

精妙解法 ①中，当α在第三象限时，sinα=- ，故①错. ②中，同时满足sinα= ，cosα= 的角为α=2kπ+ （k∈Z），不只有一个，故②错. ③正确. ④θ可能在第一象限或第四象限，故④错. 综上所述填③.

极速突击 三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦值、余弦值、正切值. 角扩充到任意角后同三角函数值的角有无数个. 能够熟练记住三角函数在各个象限的符合.

误点警示 当一个点是一个角的终边上的点，特别是当该点的坐标中含有参数时一定要考虑该参数的正负情况.

（ ）必做2 已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴. 若角α的终边过点P（- ，y），且sinα= y（y≠0），则cosα=__________，tanα=___________.

精妙解法 依题意，点P到原点O的距离为OP= ，所以sinα= = = y.

因为y≠0，所以9+3y2=16. 所以y2= ，y=± . 所以点P在第二或第三象限.

当点P在第二象限时，y= ，cosα= =- ，tanα=- ；

当点P在第三象限时，y=- ，cosα= =- ，tanα= .

极速突击 直接利用三角函数的定义即可解题.

误点警示 由于y可正可负，所以不能错误地认为y只是正数，点P可以在第二或第三象限，要分两种情况讨论.

金刊提醒

三角函数是用坐标形式定义的，即设P（x，y）为角α上一点，记r= ≠0，则sinα= ，cosα= ，tanα= .

2 同角三角函数的关系及诱导公式

（ ）必做1 若sin -α= ，则cos +2α=________.

精妙解法 cos +2α=cosπ-2 -α=-cos2 -α= -1-2sin2 -α=-1+2sin2 -α= - .

极速突击 条件角 -α与结论角 +2α之间存在这样的关系：2 -α+ +2α=π，因此可通过诱导公式进行转化，求条件角的三角函数值.寻找条件角与结论角之间的关系是三角化简求值中的常见题型，需要仔细分析，看它们之间是否存在互余、互补等关系，通过配凑，转化为可用三角公式求解的形式.

（ ）必做2 已知α是第三象限角，且f（α）=

.

若cosα- = ，则f（α）=____.

精妙解法 f（α）= = -cosα；

因为cosα- =-sinα= ，所以sinα=- ，cosα=- . 所以f（α）= .

极速突击 先对f（α）及已知的值用诱导公式进行化简，再结合同角三角函数的关系式就能算出结果.

误点警示 已知某个三角函数值求其他同角三角函数的值时，题目中对角的范围的限制，不能简单地认为其是正数或负数；在应用诱导公式时要细心，特别要注意正负号的区别.

金刊提醒

诱导公式是三角变换中的重要公式，角可统一表示为 ±α. 同时诱导公式可简记为“奇变偶不变，符号看象限”，即当k为奇（或偶）数时，角 ±α的三角函数值等于角α的余（或同）名三角函数值，前面加上一个把角α看成锐角时，角 ±α的三角函数值的符号. 在应用同角三角函数关系sin2α+cos2α=1，tanα= 时一定要注意每个三角函数中的角为同一个角，可用来求值、化简、证明等.

3 三角函数的图象

（ ）必做1 已知函数y=sin2x- 的图象可由函数y=sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y=sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的. 现给出下列四个变换：

A. 图象上所有点向右平移 个单位；

B. 图象上所有点向右平移 个单位；

C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；

D. 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）.

请按顺序写出两次变换的代表字母：________. （只要填写一组）

精妙解法 可以先平移再伸缩，即把图象上所有点向右平移 个单位，再把图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），即BD. 或者先伸缩再平移，即把图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再把图象上所有点向右平移 个单位，即DA.

极速突击 对图象作变换时要注意，横坐标的扩大与缩小只与ω有关，与其他参量无关. 图象的左右平移应先把ω提到括号外，然后根据加减号向相应方向移动. 在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换. 变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.

误点警示 变换的先后顺序是易错点.如果由y=sinx把图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再把图象上所有点向右平移 个单位，那就是错误的，先伸缩了再平移一定要只是对x加减一个数，不包括x的系数. 进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.endprint

（ ）必做2 如图1是函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象的一段，由图中条件，写出该函数的解析式为___________.

图1

精妙解法 由图知A=5；由 = -π= ，得T=3π，所以ω= = ，此时y=5sin x+φ.

下面求初相φ.

法1（单调性法）：因为点（π，0）在递减的那段曲线上，所以 +φ∈2kπ+ ，2kπ+ （k∈Z）.

由sin +φ=0得 +φ=2kπ+π（k∈Z），所以φ=2kπ+ （k∈Z）.

因为φ<π，所以φ= .

综上所述，该函数的解析式为y=5sin x+ .

法2（最值点法）：将最高点坐标 ，5代入y=5sin x+φ，

得5sin x+φ=5，即sin +φ=1，所以 +φ=2kπ+ （k∈Z），所以φ=2kπ+ （k∈Z）.

又φ<π，所以φ= .

综上所述，该函数的解析式为y=5sin x+ .

极速突击 已知函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常将“五点法”中的五个点代入求解，其中往往寻找“五点法”中的第一个零点- ，0作为突破口，要注意从图象的升降情况出好找准第一个零点的位置. “第五点”中的“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx+φ= ；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx+φ= ；“第五点”为ωx+φ=2π.

误点警示 在解法一中，“ +φ=2kπ+π（k∈Z）”是个易错点. 如果写成 +φ=2kπ（k∈Z），得φ=- ，则得到错误的解析式. 如果图象中指明了最值的坐标，就最好选用最值的坐标代入式子求解，因为最值不存在图象的走势问题.

金刊提醒

对函数图象平移问题要分三个过程完成：①左右平移；②针对x的伸缩变换；③上下平移. 解答中注意变换的倍数与平移的单位与函数解析式的对应关系. 对于根据平移后的解析式求平移前的解析式，实际上是逆向思维问题，解答时只需将问题“倒过来”求解即可，但要注意题中的关键词“向左（右）、向上（下）、伸长（缩短）”就分别变成了“向右（左）、向下（上）、缩短（伸长）”. 由图象求解析式y=Asin（ωx+φ）+k或由代数条件确定解析式时，应注意：①振幅A= （ymax-ymin）；②相邻两个最值对应的横坐标之差，或一个单调区间的长度为 T，由此推出ω的值；③确定φ值，一般将给定的特殊点的坐标代入解析式来确定.

三角函数的性质

（ ）必做1 已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx-cosx，有下列四个命题：

①将f（x）的图象向右平移 个单位可得到g（x）的图象；

②y=f（x）g（x）是偶函数；

③f（x）与g（x）均在- ， 上单调递增；

④y= 的最小正周期为2π.

其中真命题是______________. （填序号）

精妙解法 f（x）= sinx+ ，g（x）=sinx-cosx= sinx- ，显然①正确.

函数y=f（x）g（x）=sin2x-cos2x= -cos2x，其为偶函数，故②正确.

由0≤x+ ≤ 及- ≤x- ≤0都可得- ≤x≤ ，所以由图象可判断函数f（x）= sinx+ 和函数g（x）= sinx- 在- ， 上都为增函数，故③正确.

函数y= = = = -tanx+ ，易知其最小正周期为π，故④不正确. 答案：①②③.

极速突击 首先要把f（x）与g（x）化为一个三角函数，才能实现平移变换；判断奇偶性也要先化为一个三角函数；判断三角函数的单调性可以根据图象，也可以求单调区间；两个函数相除，结合正切公式可以进行变形化简.

误点警示 在求函数的单调区间时，一定要注意变量x的系数的正负性；对于函数y=tanx，注意其最小正周期为π，而非2π.

（ ）必做2 函数f（x）=sin2x+2 cos +x+3的值域为_________.

精妙解法 原函数可化为f（x）=sin2x+2（cosx-sinx）+3，

设cosx-sinx=t，则t∈[- ， ].

于是2sinx·cosx=1-t2，即sin2x=1-t2，则f（x）=-t2+2t+4=-（t-1）2+5.

所以当t=1时， f（x）max=5；当t= - 时， f（x）min=2-2 .

极速突击 若题中含有sinx·cosx，sinx±cosx的式子，则通常要用换元法. 这三个式子相通，知道其中的任意一个都能求出另外两个. 在换元时要注意参数的取值范围.

误点警示 要注意换元后t的取值范围，若忽视了t= sinx- ∈[- ， ]，则结果就会出错.

若题中的x的取值范围不是R，而是给定的一个取值范围，则换元后的t的取值范围就要相应发生变化.

金刊提醒

三角函数的性质的难点是与三角函数图象相关的性质.要突破这一难点，就要牢固把握三角函数的图象：三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象在其对称轴处取到最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值之间的距离为其函数的半个周期；函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻两个对称中心之间的距离也是函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的x轴的交点之间的距离为函数的 个周期.endprint

函数y=Asin（ωx+φ）的性质及应用的求解思路：第一步，先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin（ωx+φ）+b的形式；第二步，把“ωx+φ”视为一个整体，借助复合函数的性质求y=Asin（ωx+φ）+b的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.

求三角函数式最值的方法：①将三角函数式化为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再结合三角函数的性质求解；②将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.

5 和差角公式运算

（ ）必做1 若函数f（x）=（1+ tanx）cosx，0≤x< ，则f（x）的最大值为__________.

精妙解法 y=cosx+ sinx=2sinx+ ，因为0≤x< ，所以 ≤x+ < ，所以当x+ = ，即x= 时，函数取得最大值为2.

极速突击 公式y=asinx±bcosx= sin（x±θ）（a，b是不同时为0的实数）可以化简函数表达式，解决三角函数问题时有重要的应用.

（ ）必做2 已知0<α< <β<π，tan = ，cos（β-α）= . 则β=__________.

精妙解法 因为tan = ，所以sinα=sin2× =2sin cos = = = = .

因为0<α< ，sinα= ，所以cosα= . 又0<α< <β<π，所以0<β-α<π，由cos（β-α）= ，得sin（β-α）= .

所以sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα= × + × = .

由 <β<π得β= . （或通过求cosβ=- ，得β= ）.

极速突击 观察已知角和所求角，可作出β=（β-α）+α的配凑角变换，然后利用正弦的差角公式求角.

将条件中的角拆成结论中的角，或将要求的角拆成已知中的角，这种方法是连接、沟通已知与结论的重要手段；当角或三角函数可以分别进行拆项或添项处理时，若不能直接达到变换的要求，则可观察各角之间的关系，借助诱导公式来完成，如 +α= - -α等.

解这类问题的一般步骤：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角.

误点警示 通过角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：

①若已知正切函数值，则选正切函数；

②若已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数；若角的范围是0， ，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为- ， ，选正弦较好.

（ ）必做3 已知0<β< <α< ，cos -α= ，sin +β= ，则sin（α+β）的值为_______.

精妙解法 由于cos -α=sinα+ = ， 又 <α+ <π，所以cosα+ =- .

因为sin +β= ， <β+ <π，所以cos +β=- . 所以sin（α+β）=-sinα+ +β+ = -sinα+ cosβ+ +cosα+ ·sinβ+ = .

极速突击 比较给出的角与待求式中角的关系，能发现 +β- -α= +（α+β），当然也可先将cos -α变化为sin +α，再考虑 +α+ +β=π+（α+β），接下来只需求出相应角的正、余弦值，利用两角和与差的三角公式求解即可.

误点警示 在根据已知的三角函数值求未知的三角函数值时一定要先求角的范围，只有根据这个范围才能正确地求出三角函数值，这个过程一定不能省略.

金刊提醒

当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果.要善于逆用公式，即从右往左用公式，将单角往复角转化.掌握常数三角化的运用，如1=tan45°等，这对解决形如“ ”型的问题特别重要.若题目中出现tanα±tanβ和tanαtanβ的结构，通常利用两角和与差的正切公式的变形式解决问题：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1？芎tanα·tanβ）.

倍角公式的运算

（ ）必做1 已知cos -α= ，- <α<- ，则cos2α- =___________.

精妙解法 因为cos2α- =2cos2 -α-1=2× -1=- .

又- <α- <- 且cos -α>0，所以- <α- <- ，

从而sinα- = ，sin2α- =2sinα- cosα- = ，所以cos2α- =cos2α- + = cos2α- -sin2α- = - .

极速突击 观察已知角和要求的角，发现它们之间不完全是二倍角的关系，所以用二倍角公式求解时还要进行凑角；二倍角之后还差 ，再结合三角函数的和差公式进行计算. 每次在求三角函数值时先要确定角的范围.

二倍角公式常用的有：

变式1：sin2α=sin2α+ -cos2α+ =1-2cos2α+ =2sin2α+ -1；

变式2：cos2α=2sinα+ ·cosα+ =2sinα+ sin -α.

这两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为α+ .

（ ）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx，函数f（x）在- ， 上的值域为_________.

精妙解法 由已知，函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx=1+cos2x+ ·sin2x=2sin2x+ +1. 因为- ≤x≤ ，所以 - ≤2x+ ≤ π，- ≤sin2x+ ≤1，所以0≤2sin2x+ +1≤3. 所以函数f（x）在区间- ， 上的值域为[0，3].

极速突击 本题主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式.在不少的三角函数题的解答中，都要将有关三角公式逆用，这里是指运用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

误点警示 本题中x的取值范围是- ， ，如果给定x一个限制范围，那么就要根据2x+ 的取值情况来确定sin2x+ 的取值范围.

金刊提醒

（1）二倍角的余弦公式及其变形公式在求值、化简、证明中有着广泛的应用，如1+cosα=2cos2 ，1-cosα=2sin2 经常用于消除式子中的“1”. （2）熟悉右边化为左边的应用，如sin3αcos3α= sin6α，2sin cos =sin 等；（3）公式cos2α= ，sin2α= ，tan2α= 的本质是用二倍角的余弦表示单角α的三角函数的平方，这组公式称为降幂公式，把1-cos2α=2sin2α，1+cos2α=2cos2α称为升幂公式，这两个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形式的转化.endprint

函数y=Asin（ωx+φ）的性质及应用的求解思路：第一步，先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin（ωx+φ）+b的形式；第二步，把“ωx+φ”视为一个整体，借助复合函数的性质求y=Asin（ωx+φ）+b的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.

求三角函数式最值的方法：①将三角函数式化为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再结合三角函数的性质求解；②将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.

5 和差角公式运算

（ ）必做1 若函数f（x）=（1+ tanx）cosx，0≤x< ，则f（x）的最大值为__________.

精妙解法 y=cosx+ sinx=2sinx+ ，因为0≤x< ，所以 ≤x+ < ，所以当x+ = ，即x= 时，函数取得最大值为2.

极速突击 公式y=asinx±bcosx= sin（x±θ）（a，b是不同时为0的实数）可以化简函数表达式，解决三角函数问题时有重要的应用.

（ ）必做2 已知0<α< <β<π，tan = ，cos（β-α）= . 则β=__________.

精妙解法 因为tan = ，所以sinα=sin2× =2sin cos = = = = .

因为0<α< ，sinα= ，所以cosα= . 又0<α< <β<π，所以0<β-α<π，由cos（β-α）= ，得sin（β-α）= .

所以sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα= × + × = .

由 <β<π得β= . （或通过求cosβ=- ，得β= ）.

极速突击 观察已知角和所求角，可作出β=（β-α）+α的配凑角变换，然后利用正弦的差角公式求角.

将条件中的角拆成结论中的角，或将要求的角拆成已知中的角，这种方法是连接、沟通已知与结论的重要手段；当角或三角函数可以分别进行拆项或添项处理时，若不能直接达到变换的要求，则可观察各角之间的关系，借助诱导公式来完成，如 +α= - -α等.

解这类问题的一般步骤：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角.

误点警示 通过角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：

①若已知正切函数值，则选正切函数；

②若已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数；若角的范围是0， ，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为- ， ，选正弦较好.

（ ）必做3 已知0<β< <α< ，cos -α= ，sin +β= ，则sin（α+β）的值为_______.

精妙解法 由于cos -α=sinα+ = ， 又 <α+ <π，所以cosα+ =- .

因为sin +β= ， <β+ <π，所以cos +β=- . 所以sin（α+β）=-sinα+ +β+ = -sinα+ cosβ+ +cosα+ ·sinβ+ = .

极速突击 比较给出的角与待求式中角的关系，能发现 +β- -α= +（α+β），当然也可先将cos -α变化为sin +α，再考虑 +α+ +β=π+（α+β），接下来只需求出相应角的正、余弦值，利用两角和与差的三角公式求解即可.

误点警示 在根据已知的三角函数值求未知的三角函数值时一定要先求角的范围，只有根据这个范围才能正确地求出三角函数值，这个过程一定不能省略.

金刊提醒

当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果.要善于逆用公式，即从右往左用公式，将单角往复角转化.掌握常数三角化的运用，如1=tan45°等，这对解决形如“ ”型的问题特别重要.若题目中出现tanα±tanβ和tanαtanβ的结构，通常利用两角和与差的正切公式的变形式解决问题：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1？芎tanα·tanβ）.

倍角公式的运算

（ ）必做1 已知cos -α= ，- <α<- ，则cos2α- =___________.

精妙解法 因为cos2α- =2cos2 -α-1=2× -1=- .

又- <α- <- 且cos -α>0，所以- <α- <- ，

从而sinα- = ，sin2α- =2sinα- cosα- = ，所以cos2α- =cos2α- + = cos2α- -sin2α- = - .

极速突击 观察已知角和要求的角，发现它们之间不完全是二倍角的关系，所以用二倍角公式求解时还要进行凑角；二倍角之后还差 ，再结合三角函数的和差公式进行计算. 每次在求三角函数值时先要确定角的范围.

二倍角公式常用的有：

变式1：sin2α=sin2α+ -cos2α+ =1-2cos2α+ =2sin2α+ -1；

变式2：cos2α=2sinα+ ·cosα+ =2sinα+ sin -α.

这两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为α+ .

（ ）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx，函数f（x）在- ， 上的值域为_________.

精妙解法 由已知，函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx=1+cos2x+ ·sin2x=2sin2x+ +1. 因为- ≤x≤ ，所以 - ≤2x+ ≤ π，- ≤sin2x+ ≤1，所以0≤2sin2x+ +1≤3. 所以函数f（x）在区间- ， 上的值域为[0，3].

极速突击 本题主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式.在不少的三角函数题的解答中，都要将有关三角公式逆用，这里是指运用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

误点警示 本题中x的取值范围是- ， ，如果给定x一个限制范围，那么就要根据2x+ 的取值情况来确定sin2x+ 的取值范围.

金刊提醒

（1）二倍角的余弦公式及其变形公式在求值、化简、证明中有着广泛的应用，如1+cosα=2cos2 ，1-cosα=2sin2 经常用于消除式子中的“1”. （2）熟悉右边化为左边的应用，如sin3αcos3α= sin6α，2sin cos =sin 等；（3）公式cos2α= ，sin2α= ，tan2α= 的本质是用二倍角的余弦表示单角α的三角函数的平方，这组公式称为降幂公式，把1-cos2α=2sin2α，1+cos2α=2cos2α称为升幂公式，这两个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形式的转化.endprint

函数y=Asin（ωx+φ）的性质及应用的求解思路：第一步，先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin（ωx+φ）+b的形式；第二步，把“ωx+φ”视为一个整体，借助复合函数的性质求y=Asin（ωx+φ）+b的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题.

求三角函数式最值的方法：①将三角函数式化为y=Asin（ωx+φ）+b的形式，再结合三角函数的性质求解；②将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.

5 和差角公式运算

（ ）必做1 若函数f（x）=（1+ tanx）cosx，0≤x< ，则f（x）的最大值为__________.

精妙解法 y=cosx+ sinx=2sinx+ ，因为0≤x< ，所以 ≤x+ < ，所以当x+ = ，即x= 时，函数取得最大值为2.

极速突击 公式y=asinx±bcosx= sin（x±θ）（a，b是不同时为0的实数）可以化简函数表达式，解决三角函数问题时有重要的应用.

（ ）必做2 已知0<α< <β<π，tan = ，cos（β-α）= . 则β=__________.

精妙解法 因为tan = ，所以sinα=sin2× =2sin cos = = = = .

因为0<α< ，sinα= ，所以cosα= . 又0<α< <β<π，所以0<β-α<π，由cos（β-α）= ，得sin（β-α）= .

所以sinβ=sin[（β-α）+α]=sin（β-α）cosα+cos（β-α）sinα= × + × = .

由 <β<π得β= . （或通过求cosβ=- ，得β= ）.

极速突击 观察已知角和所求角，可作出β=（β-α）+α的配凑角变换，然后利用正弦的差角公式求角.

将条件中的角拆成结论中的角，或将要求的角拆成已知中的角，这种方法是连接、沟通已知与结论的重要手段；当角或三角函数可以分别进行拆项或添项处理时，若不能直接达到变换的要求，则可观察各角之间的关系，借助诱导公式来完成，如 +α= - -α等.

解这类问题的一般步骤：

①求角的某一个三角函数值；

②确定角的范围；

③根据角的范围写出所求的角.

误点警示 通过角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：

①若已知正切函数值，则选正切函数；

②若已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数；若角的范围是0， ，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，π），选余弦较好；若角的范围为- ， ，选正弦较好.

（ ）必做3 已知0<β< <α< ，cos -α= ，sin +β= ，则sin（α+β）的值为_______.

精妙解法 由于cos -α=sinα+ = ， 又 <α+ <π，所以cosα+ =- .

因为sin +β= ， <β+ <π，所以cos +β=- . 所以sin（α+β）=-sinα+ +β+ = -sinα+ cosβ+ +cosα+ ·sinβ+ = .

极速突击 比较给出的角与待求式中角的关系，能发现 +β- -α= +（α+β），当然也可先将cos -α变化为sin +α，再考虑 +α+ +β=π+（α+β），接下来只需求出相应角的正、余弦值，利用两角和与差的三角公式求解即可.

误点警示 在根据已知的三角函数值求未知的三角函数值时一定要先求角的范围，只有根据这个范围才能正确地求出三角函数值，这个过程一定不能省略.

金刊提醒

当已知条件中的角与所求角不同时，需要通过“拆”“配”等方法实现角的转化，一般是寻求它们的和、差、倍、半关系，再通过三角变换得出所要求的结果.要善于逆用公式，即从右往左用公式，将单角往复角转化.掌握常数三角化的运用，如1=tan45°等，这对解决形如“ ”型的问题特别重要.若题目中出现tanα±tanβ和tanαtanβ的结构，通常利用两角和与差的正切公式的变形式解决问题：tanα±tanβ=tan（α±β）·（1？芎tanα·tanβ）.

倍角公式的运算

（ ）必做1 已知cos -α= ，- <α<- ，则cos2α- =___________.

精妙解法 因为cos2α- =2cos2 -α-1=2× -1=- .

又- <α- <- 且cos -α>0，所以- <α- <- ，

从而sinα- = ，sin2α- =2sinα- cosα- = ，所以cos2α- =cos2α- + = cos2α- -sin2α- = - .

极速突击 观察已知角和要求的角，发现它们之间不完全是二倍角的关系，所以用二倍角公式求解时还要进行凑角；二倍角之后还差 ，再结合三角函数的和差公式进行计算. 每次在求三角函数值时先要确定角的范围.

二倍角公式常用的有：

变式1：sin2α=sin2α+ -cos2α+ =1-2cos2α+ =2sin2α+ -1；

变式2：cos2α=2sinα+ ·cosα+ =2sinα+ sin -α.

这两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为α+ .

（ ）必做2 已知函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx，函数f（x）在- ， 上的值域为_________.

精妙解法 由已知，函数f（x）=2cos2x+2 sinxcosx=1+cos2x+ ·sin2x=2sin2x+ +1. 因为- ≤x≤ ，所以 - ≤2x+ ≤ π，- ≤sin2x+ ≤1，所以0≤2sin2x+ +1≤3. 所以函数f（x）在区间- ， 上的值域为[0，3].

极速突击 本题主要是逆用倍角公式及正弦的和角公式.在不少的三角函数题的解答中，都要将有关三角公式逆用，这里是指运用2sinαcosα=sin2α，2cos2α-1=cos2α，1-2sin2α=cos2α等.

误点警示 本题中x的取值范围是- ， ，如果给定x一个限制范围，那么就要根据2x+ 的取值情况来确定sin2x+ 的取值范围.

金刊提醒

（1）二倍角的余弦公式及其变形公式在求值、化简、证明中有着广泛的应用，如1+cosα=2cos2 ，1-cosα=2sin2 经常用于消除式子中的“1”. （2）熟悉右边化为左边的应用，如sin3αcos3α= sin6α，2sin cos =sin 等；（3）公式cos2α= ，sin2α= ，tan2α= 的本质是用二倍角的余弦表示单角α的三角函数的平方，这组公式称为降幂公式，把1-cos2α=2sin2α，1+cos2α=2cos2α称为升幂公式，这两个公式可实现三角函数式的降幂或升幂的转化，同时可以完成角的形式的转化.endprint