一类地产期权的微分方程定价模型及其计算

叶勇强 陆晓娇

摘要：该文以北京西奥中心写字楼为例，分析“以租待售”型房地产营销工具具有的分期付款期权特性，运用[Δ]-对冲技巧和Ito引理，构造了美式分期付款地产期权的微分方程定价模型，并确定了定价模型中各个变量的内涵，包括标的资产价格、波动率、期限和执行价等。针对北京西奥中心写字楼的具体市场数据，应用有限差分策略进行数值计算，得到了相应的期权价值。

关键词：地产期权；美式分期付款期权；Black-Scholes方程；有限差分法

中图分类号：F224 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2014）22-5319-04

在最近的房地产营销领域出现了越来越多带期权性质的营销策略。北京西奥中心写字楼是我国最先采用地产期权营销策略的楼盘，其采用“以租待售”模式，实质就是一种地产期权。北京西奥中心写字楼采用先租后售的营销策略：客户在每月支付租金的同时，额外支付一笔期权金，客户就享有在一定时间内以约定的价格购买所租写字楼的权利。这份权利就给了客户一个选择权，即获得了一份地产期权。当市场价格高于约定价格时，客户可以行使购买权，也可以选择将这份“地产期权”交易出去以直接套现；如果市场价格低于约定价格，则客户可以选择放弃行使权利。该地产期权为投资者提供了安全的退出出口，给客户充足的市场观望时间以看清拟购物业的真实价值，为其投资决策提供依据，并且减少购房者的一次性资金压力。这样的营销策略既可以满足客户使用的需求，也可以使开发商立即获得满意的入住率和部分租金回报。

北京西奥中心写字楼地产期权营销策略甫一推出，就受到市场的广泛关注，并有不少地产开发商也仿效采用了类似的销售策略。2005年12月，金融街控股以期权交易方式向Excel公司出售部分物业：Excel公司以1600万元人民币购买了金融街一项金额为8.78亿元的6个月选择权；如果Excel公司放弃购买该部分物业，1600万元人民币将作为这段时间金融街排他客户的损失。2006年7月北京通州区珠江国际城推出了房地产期权销售模式：凡在国际城活动期间登记的客户，均可得到比市场预期要低得多的一个购买价格，即得到一份珠江国际城送予的期权——待项目开盘时，客户可以以期权价购买房产，亦可按照开盘当天市场价购买。此外，还有售房养老计划[1]、家电分期付款销售合约[2]、人寿保险合约、员工股权激励等也都采用了期权营销的销售策略。

当前市场对房地产价格走势发生了较大分歧，“地产期权”将会是更加有效的营销策略。因此针对“地产期权”这样的营销工具，迫切需要在理论上进行建模分析，以获得合理定价。文献[3]对北京西奥中心写字楼“以租待售”型地产期权利用二叉树方法给出了相应的期权定价。但二叉树法本质是一种显式有限差分法，其最大的缺陷在于收敛速度较慢、精度较低。该文应用分期付款期权定价理论[4，5，6]对北京西奥中心写字楼“以租待售”型地产期权建立了微分方程定价模型，并应用有限差分策略进行数值计算，以获得相应的“地产期权”的合理价值。

1 北京西奥中心写字楼的“地产期权”

2005年，北京盛世兆业房地产开发商以“以租待售”营销模式将北京西奥中心写字楼租与客户两年，客户向开发商支付高于亚运村写字楼平均租金水平的租金。客户承租北京西奥中心写字楼的同时，拥有了在两年内以约定价格购买“北京西奥中心写字楼”的权利 [3]。

北京西奥中心写字楼有A，B，C，D 四种户型的写字楼[3]，具体数据见表1：

说明：

1） 表1中虽然只给出了客户在半年末、一年末、两年末行使权利的数据，但是客户实际行使权利的时间为两年内的任意租金结算周期期末。

2） 表1中的行权价格是随着时间的变化而变化的。现行的市场价格为1.2万元/平方米。

3） 客户行使购买权时，作为优惠条款，已付租金可折价计入房款。

4） 当客户放弃继续持有该地产期权时，仍可继续租用原写字楼。

5） 亚运村写字楼平均租金为5.0元/天/平方米。

由上面“以租待售”营销方案可知，客户每月需向房地产开发商支付租金和期权金，因此地产期权的期权金是以分期付款形式支付的。在每个租金和期权金的支付日，客户可以选择支付期权金以继续持有该地产期权，也可以选择不支付期权金以终止该地产期权。同时，客户拥有两年内的任意租金结算周期期末行使该地产期权的权利。因此从客户的角度看，该地产期权可以看成是美式看涨分期付款期权。考虑到租金和期权金的支付日及行权日相对合约的生命期来说比较密集，可以近似认为是连续支付租金、期权金及行权的。因此，可将该地产期权看成连续支付美式分期付款看涨期权。将半年行权价、一年行权价和两年行权价进行线性拟合，可得到两年内任意时间的行权价格（单位：万元/年）[3]

2 地产期权的微分方程定价模型

下面从客户角度建立地产期权的微分方程定价模型。首先给出模型的基本假设：

1） 市场是无套利的，无摩擦的，存在风险中性的鞅测度；

2） 无风险利率[r]是常数；

3） 租金和期权金是连续支付的，不支付交易费和税收，单位时间内支付的单位面积的写字楼租金为[δ]，单位时间内支付的单位面积的期权金为[q]，则单位时间内单位面积的总支付金额为[δ+q]；

4） 期权的生存期为[[0，T]]；

5） 期权持有人可在任意时刻[t∈[0，T]]行使购买的权利，行权价为[E（t）]；

6） 客户行使权利时，已付租金的折价率为[α=折价金额已付租金]（[0≤α≤1]）；

7） 写字楼市场价格[xt]遵循几何Brown运动

4 结束语

本文分析了一类地产期权的分期付款期权特性，应用[Δ]对冲方法及Ito引理，在风险中性的意义下从客户角度建立了微分方程定价模型。针对北京西奥中心写字楼的具体市场数据，应用隐式迎风差分格式进行数值计算，得到了相应的期权价值。对于诸如售房养老计划，家电分期付款销售合约、人寿保险合约、员工股票期权等，也可以应用类似的方法建立微分方程定价模型，求得相应的期权价值。

参考文献：

[1] 柴效武，方明.售房养老模式中金融运营机制的探讨[J].金融论坛，2006（11）：3-8.

[2] 何文.格兰仕携手连锁巨头倡导概念营销[N].消费日报，2006.

[3] 姜礼尚，徐承龙，任学敏，李少华等.金融衍生品定价的数学模型与案例分析[M].北京：高等教育出版社，2008.

[4] Ciurlia P， Roko I.Valuation of American Continuous-Installment Options[J].Computational Economics， 2005， 25（1-2）： 143-165.

[5] Kimura T. American continuous-installment options： valuation and premium decomposition[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics， 2009， 70（3）： 803-824.

[6] Kimura T.Valuing continuous-installment options[J].European Journal of Operational Research， 2010， 201： 222—230.

[7] Kangro R， Nicolaides R. Far field boundary conditions for Black-Scholes equations[J]. SIAM Journal on Numerical Analysis， 2000， 38（4）： 1357-1368.

[8] Cen Zhongdi，Le Anbo. A robust finite difference scheme for pricing American put options with Singularity-Separating method[J]. Numerical Algorithms，2010， 53（4）： 497-510.

[9] Seydel R U. Tools for computational finance[M]. Berlin Heidelberg： Springer-Verlag， 2006.