一个分式不等式的简证

陈叶

摘 要： 本文通过切线法，采用构造函数，利用一阶导数较流畅地证明了文献[1]中作者给出的一个n元分式不等式，并作合理的猜想推广.

关键词： 切线法 构造函数 n元分式不等式 猜想推广

《数学通报》2011第6期陈远新，王勇[1]对《中学数学》2007.7，P41的一个定理：若a，b，c，d∈R■，a+b+c+d=1，则■+■+■+■≤■，给出了一个类似的n元不等式：

命题：若x■，x■，…，x■是非负实数，■x■=1，n≥3，求证：■■≤■.这是一个相当优美的n元分式不等式，但对它的证明有较大的难度.文献[1]通过两个引理，

引理1：若n≥4，且0≤x≤1或n=3，且0≤x≤0.7，则■≤■[（n■+5）-4nx].

引理2：若0.7≤x≤1，则f（x）=■+■<■.

再利用凸函数理论（琴生不等式）证明了这一命题，但证法冗长复杂且不自然流畅.本文采用构造函数利用一阶导数，利用切线法[2]给出它的简证并作猜想推广，供参考.

证明：设f（x）=■（0≤x≤1），f′（x）=-■，

x=■时，f（■）=■=■，k=f′（■）=■=-■，

y-■=-■（x-■），y=-■x+■+■=-■x+■

记g（x）=■+■x-■（x∈[0，1]），g′（x）=■+■=■

设h（x）=n■（1+x■）■-x（n■+1）■，0≤x≤1，h′（x）=3n■（1+x■）■·2x-（n■+1）■

又h′（■）=3n■（1+■）■·■-（bn■+1）■=（n■+1）■（5-n■）

当n≥3时，h′（■）<0，又∵h′（x）在[0，1]上单调递增，∴x∈（0，■）时，h′（x）<0，h（x）在（0，■）上单调递减.∵h（■）=0，∴x∈（0，■）时，h（x）>0，g′（x）>0.

（1）当h′（1）=24n■-（n■+1）■≤0时，h′（x）在（■，1）上为负.

∴h（x）在（■，1）上也单调递减，∵h（■）=0，∴h（x）<0，则x∈（■，1）时，g′（x）<0，从而可知g（x）在（0，■）上递增，在（■，1）上递减，当且仅当x=■时，g（x）■=g（■）=0.

（2）当h′（1）>0时，令h′（α）=0，则h′（x）在（■，α）上为负，在（α，1）上为正，从而h（x）在（■，α）上递减，在（α，1）上递增.令h（β）=0，则h（x）的图像如图1，从而可知，g（x）的图像如图2.

图1 图2

又∵g（■）=0，g（1）=■+■-■=■<0（n≥4），

∴当且仅当x=■时，g（x）■=g（■）=0，综合①②，当0≤x≤1时，■+■x-■≤0，

即■≤-■+■.

∵x■∈[0，1]且■x■=1，∴■■≤-■■x■+■=■=■.

由以上证明过程可知，当且仅当x■=x■=…=x■=■时，取“=”，同时只有在n≥4时不等式成立，又n=3时，易证不等式成立，∴命题成立.由此，将这一命题作进一步猜想推广.

命题1：若x■，x■…x■是非负实数，■x■=1，n≥3，则■■≤■（k≥2）.

命题2：若x■，x■…x■是非负实数，■x■=1，n≥3，则■■≤■（k≥2）.

命题3：若x■，x■…x■是非负实数，■x■=1，n≥3，则■■≤■（k≥2，t≥1）.

参考文献：

[1]陈远新，王勇.一个n元分式不等式.数学通报，2011.6.

[2]周斌.构造切线证明一类对称不等式.中学数学研究，2011.1.