渗透数形结合思想 积累数学活动经验

崔旭

在平常的数学教学中，我们常常产生这样的困惑：题目也没有少讲一道，但学生总是停留在模仿解题的水平上，只要题目稍微有些变化，就会不知所措。学生很难形成较强的解决问题的能力，就更谈不上创新能力了。其实，细细想来，在平时的教学中，我们经常把教学的着眼点放在了解决难题上，而忽视了隐含在数学知识中的灵魂和精髓——数学思想方法。

在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法对数学学科的后续学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。作为一线教师，该如何渗透好数形结合思想，帮助学生积累数学经验呢？我有以下几点想法。

一、直观形象感受数形结合思想，激活显化数学活动经验

【案例１】最近听了一位教师的“倍数和因数”一课。在设计探寻１２的因数时让人眼前一亮：他首先帮助学生建立模型，引导学生想“（）×（）＝１２”，在学生找到３、４、２、６、１、１２这几个因数后，他并没有直接告诉学生怎样做到不遗漏、不重复地写出这些因数，而是出示了一根数轴，如图１。

■

图１

在数轴中依次成对出现１、１２；２、６；３、４（每一对均用不同颜色圆点标出），学生便能直观感受到因数的特点，一对对出现，一头一尾去思考、去寻找，而且每一对数会越来越接近。就在此时，教师点拨，以后在写因数时，不必画数轴，可以在心里想。随即让学生去尝试着有序地直接列出１２的因数（１，２，３，４，６，１２）。学生有了这样的直观感受，一下子就找准找全了所有的因数。整个教学环节如行云流水般，让人拍案叫绝！

我的思考：教师精心设计的这一环节，通过数轴将因数的特点形象地表现了出来，帮助学生积累了找因数的经验。这样使虚化的经验看得见、摸得着，实在别出心裁。数轴的使用，使得找一个数的因数从机械的模仿变成形象化的理解。以往我们常常引导学生在做“（）×（）＝１２”时要进行有序的列举，但学生在练习中却很难做到不遗漏、不重复，但有了数轴，学生却能体会到１２的因数肯定在１~１２之间，从而有了一定的范围，然后体验到逐步逼近的数学思想，这样学生领悟得更加深刻。

二、经历体验数形结合思想，积累丰富数学活动经验

１．经历以“形”助“数”，直观形象体验

【案例２】六年级下册“解决问题的策略——转化”中有这样一道题目“■＋■＋■＋■”，常常出现在课堂中的处理是——用通分的方法快速口算完成，至此学生都感觉十分轻松。

随即变化题目：如果要计算■＋■＋■＋■＋…+■，你还愿意用刚才通分的方法吗？学生纷纷表示再通分就太繁琐了。

教师给足学生充分独立思考的时间后追问：“仔细观察这题中分数的特点，还有其他转化方法吗？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“发现了一些规律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上没有一个学生会想到画图。很多教师在这时都采用了直接呈现图让学生观察得知答案的教学方法。而有位教师很特别，他做了如下处理。

首先是引导学生观察数据特点，然后逐步出示图像（如图２）帮助学生理解。例如一块正方形地（也可看成一条线段），先把它的■种上菜，再种■，请在图中表示出种在哪儿？现在有多少地方种上菜了？再种它的■、■。现在一共有多少地方种上菜了？（■）你怎么知道的？

■

图２

再根据图像引导学生假设添上■就是整体“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

师接着问：“如果继续再加■、■，会是多少呢？”

学生有了前面的经验，很快在脑海中勾勒出图像，并在本子上画出，很快便能得出相应的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”这样的题目对于高年级学生来说，再简单不过了，关键是如何老题新解？学生借助自己已有的解题经验，想出了拆分、找规律等转化方法，却怎么也想不到画图。假如教师简单呈现图像，直接告知学生，那么学生就无法享受到画图思考的乐趣了，“数形结合”思想也就荡然无存。而这位教师独特的方式让学生深切感受到了画图的魅力，体会到了精巧、简洁的解题之路。同时教师并没有停留于让学生观察和思考，又安排学生自己独立画一画、想一想，为后面一系列类似题积累活动经验，避免了学生的思维定式。

２．经历以“数”辅“形”，严谨、科学体验

【案例３】在数学教学中，大多是根据图形的呈现来解决抽象的数学问题，但有时利用“数”来指导“形”，可以使图形的教学更严谨、更科学，学生对图形的认识会更加全面。

例如在教学完线段和三角形认识后，学生的作业练习中出现了数线段的练习题。

图３－１ ■

图３－２ ■

图３－１出现时，大多数学生都是采用直接数的方法，很快得到答案有３条线段，但图３－２的线段条数很难直接并正确地数出来。经过学生讨论尝试后，得出了以下两种有序地数的方法：（１）从左边的第一个点出发有５条线段，从第二个点出发有４条线段……以此类推。（２）有一条基本线段组成的线段有５条，有两条基本线段组成的线段有４条……以此类推。

我的思考：学生讨论得出的想法真让人感到惊叹！他们的方法克服了数线段的繁琐性，提高了解题的正确率。可见，经常在数学教学中渗透“数形结合”思想，就会在学生的头脑中播下“数”与“形”密切联系的种子，学生也就会逐渐体会到它的无穷魅力！

三、领悟数形结合思想，提升数学活动经验

【案例４】“倍数和因数”一课接近尾声时，教师设计了这样一道拓展题：图４中（家用地板中的一部分）有倍数、因数关系吗？

■

图４

学生仔细看图后，得出各种不同的答案：２和９是１８的因数，１８是２和９的倍数；９是房间总长度的因数，房间总长度是９的倍数；２是房间总宽度的因数，房间总宽度是２的倍数……

我的思考：简单的一道生活中的拓展题，充分让学生感悟了“数形结合”的数学思想方法，促使学生领悟其精髓，正所谓“润物细无声”。在学生充分积累倍数和因数的经验后及时进行灵活运用，活动经验的反刍和运用将再次强化、提升了学生的数学活动经验。

总之，在以后的数学教学中，我们应做个有心人，充分利用“一图抵百语”的“数形结合”优势，以“形”的直观表达数，以“数”的精确研究形，将抽象变具体，把无形变有形，这不仅有利于学生顺利、高效地学好数学知识，更有利于学生学习数学兴趣的培养、数学活动的积累！

（责编金铃）

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在平常的数学教学中，我们常常产生这样的困惑：题目也没有少讲一道，但学生总是停留在模仿解题的水平上，只要题目稍微有些变化，就会不知所措。学生很难形成较强的解决问题的能力，就更谈不上创新能力了。其实，细细想来，在平时的教学中，我们经常把教学的着眼点放在了解决难题上，而忽视了隐含在数学知识中的灵魂和精髓——数学思想方法。

在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法对数学学科的后续学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。作为一线教师，该如何渗透好数形结合思想，帮助学生积累数学经验呢？我有以下几点想法。

一、直观形象感受数形结合思想，激活显化数学活动经验

【案例１】最近听了一位教师的“倍数和因数”一课。在设计探寻１２的因数时让人眼前一亮：他首先帮助学生建立模型，引导学生想“（）×（）＝１２”，在学生找到３、４、２、６、１、１２这几个因数后，他并没有直接告诉学生怎样做到不遗漏、不重复地写出这些因数，而是出示了一根数轴，如图１。

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图１

在数轴中依次成对出现１、１２；２、６；３、４（每一对均用不同颜色圆点标出），学生便能直观感受到因数的特点，一对对出现，一头一尾去思考、去寻找，而且每一对数会越来越接近。就在此时，教师点拨，以后在写因数时，不必画数轴，可以在心里想。随即让学生去尝试着有序地直接列出１２的因数（１，２，３，４，６，１２）。学生有了这样的直观感受，一下子就找准找全了所有的因数。整个教学环节如行云流水般，让人拍案叫绝！

我的思考：教师精心设计的这一环节，通过数轴将因数的特点形象地表现了出来，帮助学生积累了找因数的经验。这样使虚化的经验看得见、摸得着，实在别出心裁。数轴的使用，使得找一个数的因数从机械的模仿变成形象化的理解。以往我们常常引导学生在做“（）×（）＝１２”时要进行有序的列举，但学生在练习中却很难做到不遗漏、不重复，但有了数轴，学生却能体会到１２的因数肯定在１~１２之间，从而有了一定的范围，然后体验到逐步逼近的数学思想，这样学生领悟得更加深刻。

二、经历体验数形结合思想，积累丰富数学活动经验

１．经历以“形”助“数”，直观形象体验

【案例２】六年级下册“解决问题的策略——转化”中有这样一道题目“■＋■＋■＋■”，常常出现在课堂中的处理是——用通分的方法快速口算完成，至此学生都感觉十分轻松。

随即变化题目：如果要计算■＋■＋■＋■＋…+■，你还愿意用刚才通分的方法吗？学生纷纷表示再通分就太繁琐了。

教师给足学生充分独立思考的时间后追问：“仔细观察这题中分数的特点，还有其他转化方法吗？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“发现了一些规律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上没有一个学生会想到画图。很多教师在这时都采用了直接呈现图让学生观察得知答案的教学方法。而有位教师很特别，他做了如下处理。

首先是引导学生观察数据特点，然后逐步出示图像（如图２）帮助学生理解。例如一块正方形地（也可看成一条线段），先把它的■种上菜，再种■，请在图中表示出种在哪儿？现在有多少地方种上菜了？再种它的■、■。现在一共有多少地方种上菜了？（■）你怎么知道的？

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图２

再根据图像引导学生假设添上■就是整体“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

师接着问：“如果继续再加■、■，会是多少呢？”

学生有了前面的经验，很快在脑海中勾勒出图像，并在本子上画出，很快便能得出相应的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”这样的题目对于高年级学生来说，再简单不过了，关键是如何老题新解？学生借助自己已有的解题经验，想出了拆分、找规律等转化方法，却怎么也想不到画图。假如教师简单呈现图像，直接告知学生，那么学生就无法享受到画图思考的乐趣了，“数形结合”思想也就荡然无存。而这位教师独特的方式让学生深切感受到了画图的魅力，体会到了精巧、简洁的解题之路。同时教师并没有停留于让学生观察和思考，又安排学生自己独立画一画、想一想，为后面一系列类似题积累活动经验，避免了学生的思维定式。

２．经历以“数”辅“形”，严谨、科学体验

【案例３】在数学教学中，大多是根据图形的呈现来解决抽象的数学问题，但有时利用“数”来指导“形”，可以使图形的教学更严谨、更科学，学生对图形的认识会更加全面。

例如在教学完线段和三角形认识后，学生的作业练习中出现了数线段的练习题。

图３－１ ■

图３－２ ■

图３－１出现时，大多数学生都是采用直接数的方法，很快得到答案有３条线段，但图３－２的线段条数很难直接并正确地数出来。经过学生讨论尝试后，得出了以下两种有序地数的方法：（１）从左边的第一个点出发有５条线段，从第二个点出发有４条线段……以此类推。（２）有一条基本线段组成的线段有５条，有两条基本线段组成的线段有４条……以此类推。

我的思考：学生讨论得出的想法真让人感到惊叹！他们的方法克服了数线段的繁琐性，提高了解题的正确率。可见，经常在数学教学中渗透“数形结合”思想，就会在学生的头脑中播下“数”与“形”密切联系的种子，学生也就会逐渐体会到它的无穷魅力！

三、领悟数形结合思想，提升数学活动经验

【案例４】“倍数和因数”一课接近尾声时，教师设计了这样一道拓展题：图４中（家用地板中的一部分）有倍数、因数关系吗？

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图４

学生仔细看图后，得出各种不同的答案：２和９是１８的因数，１８是２和９的倍数；９是房间总长度的因数，房间总长度是９的倍数；２是房间总宽度的因数，房间总宽度是２的倍数……

我的思考：简单的一道生活中的拓展题，充分让学生感悟了“数形结合”的数学思想方法，促使学生领悟其精髓，正所谓“润物细无声”。在学生充分积累倍数和因数的经验后及时进行灵活运用，活动经验的反刍和运用将再次强化、提升了学生的数学活动经验。

总之，在以后的数学教学中，我们应做个有心人，充分利用“一图抵百语”的“数形结合”优势，以“形”的直观表达数，以“数”的精确研究形，将抽象变具体，把无形变有形，这不仅有利于学生顺利、高效地学好数学知识，更有利于学生学习数学兴趣的培养、数学活动的积累！

（责编金铃）

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在平常的数学教学中，我们常常产生这样的困惑：题目也没有少讲一道，但学生总是停留在模仿解题的水平上，只要题目稍微有些变化，就会不知所措。学生很难形成较强的解决问题的能力，就更谈不上创新能力了。其实，细细想来，在平时的教学中，我们经常把教学的着眼点放在了解决难题上，而忽视了隐含在数学知识中的灵魂和精髓——数学思想方法。

在小学阶段有意识地向学生渗透一些基本的数学思想方法对数学学科的后续学习，乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义。作为一线教师，该如何渗透好数形结合思想，帮助学生积累数学经验呢？我有以下几点想法。

一、直观形象感受数形结合思想，激活显化数学活动经验

【案例１】最近听了一位教师的“倍数和因数”一课。在设计探寻１２的因数时让人眼前一亮：他首先帮助学生建立模型，引导学生想“（）×（）＝１２”，在学生找到３、４、２、６、１、１２这几个因数后，他并没有直接告诉学生怎样做到不遗漏、不重复地写出这些因数，而是出示了一根数轴，如图１。

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图１

在数轴中依次成对出现１、１２；２、６；３、４（每一对均用不同颜色圆点标出），学生便能直观感受到因数的特点，一对对出现，一头一尾去思考、去寻找，而且每一对数会越来越接近。就在此时，教师点拨，以后在写因数时，不必画数轴，可以在心里想。随即让学生去尝试着有序地直接列出１２的因数（１，２，３，４，６，１２）。学生有了这样的直观感受，一下子就找准找全了所有的因数。整个教学环节如行云流水般，让人拍案叫绝！

我的思考：教师精心设计的这一环节，通过数轴将因数的特点形象地表现了出来，帮助学生积累了找因数的经验。这样使虚化的经验看得见、摸得着，实在别出心裁。数轴的使用，使得找一个数的因数从机械的模仿变成形象化的理解。以往我们常常引导学生在做“（）×（）＝１２”时要进行有序的列举，但学生在练习中却很难做到不遗漏、不重复，但有了数轴，学生却能体会到１２的因数肯定在１~１２之间，从而有了一定的范围，然后体验到逐步逼近的数学思想，这样学生领悟得更加深刻。

二、经历体验数形结合思想，积累丰富数学活动经验

１．经历以“形”助“数”，直观形象体验

【案例２】六年级下册“解决问题的策略——转化”中有这样一道题目“■＋■＋■＋■”，常常出现在课堂中的处理是——用通分的方法快速口算完成，至此学生都感觉十分轻松。

随即变化题目：如果要计算■＋■＋■＋■＋…+■，你还愿意用刚才通分的方法吗？学生纷纷表示再通分就太繁琐了。

教师给足学生充分独立思考的时间后追问：“仔细观察这题中分数的特点，还有其他转化方法吗？”

生１：“■＋■＋■＋■＝（１－■）＋（■－■）＋（■－■）＋（■－■）＝１－■＝■。”

生２：“发现了一些规律。■＋■＋＝■，■＋■＋■＝■，■＋■＋■＋■＝■。”

基本上没有一个学生会想到画图。很多教师在这时都采用了直接呈现图让学生观察得知答案的教学方法。而有位教师很特别，他做了如下处理。

首先是引导学生观察数据特点，然后逐步出示图像（如图２）帮助学生理解。例如一块正方形地（也可看成一条线段），先把它的■种上菜，再种■，请在图中表示出种在哪儿？现在有多少地方种上菜了？再种它的■、■。现在一共有多少地方种上菜了？（■）你怎么知道的？

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图２

再根据图像引导学生假设添上■就是整体“１”，所以■＋■＋■＋■＝１－■＝■。

师接着问：“如果继续再加■、■，会是多少呢？”

学生有了前面的经验，很快在脑海中勾勒出图像，并在本子上画出，很快便能得出相应的答案。

我的思考：“■＋■＋■＋■”这样的题目对于高年级学生来说，再简单不过了，关键是如何老题新解？学生借助自己已有的解题经验，想出了拆分、找规律等转化方法，却怎么也想不到画图。假如教师简单呈现图像，直接告知学生，那么学生就无法享受到画图思考的乐趣了，“数形结合”思想也就荡然无存。而这位教师独特的方式让学生深切感受到了画图的魅力，体会到了精巧、简洁的解题之路。同时教师并没有停留于让学生观察和思考，又安排学生自己独立画一画、想一想，为后面一系列类似题积累活动经验，避免了学生的思维定式。

２．经历以“数”辅“形”，严谨、科学体验

【案例３】在数学教学中，大多是根据图形的呈现来解决抽象的数学问题，但有时利用“数”来指导“形”，可以使图形的教学更严谨、更科学，学生对图形的认识会更加全面。

例如在教学完线段和三角形认识后，学生的作业练习中出现了数线段的练习题。

图３－１ ■

图３－２ ■

图３－１出现时，大多数学生都是采用直接数的方法，很快得到答案有３条线段，但图３－２的线段条数很难直接并正确地数出来。经过学生讨论尝试后，得出了以下两种有序地数的方法：（１）从左边的第一个点出发有５条线段，从第二个点出发有４条线段……以此类推。（２）有一条基本线段组成的线段有５条，有两条基本线段组成的线段有４条……以此类推。

我的思考：学生讨论得出的想法真让人感到惊叹！他们的方法克服了数线段的繁琐性，提高了解题的正确率。可见，经常在数学教学中渗透“数形结合”思想，就会在学生的头脑中播下“数”与“形”密切联系的种子，学生也就会逐渐体会到它的无穷魅力！

三、领悟数形结合思想，提升数学活动经验

【案例４】“倍数和因数”一课接近尾声时，教师设计了这样一道拓展题：图４中（家用地板中的一部分）有倍数、因数关系吗？

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图４

学生仔细看图后，得出各种不同的答案：２和９是１８的因数，１８是２和９的倍数；９是房间总长度的因数，房间总长度是９的倍数；２是房间总宽度的因数，房间总宽度是２的倍数……

我的思考：简单的一道生活中的拓展题，充分让学生感悟了“数形结合”的数学思想方法，促使学生领悟其精髓，正所谓“润物细无声”。在学生充分积累倍数和因数的经验后及时进行灵活运用，活动经验的反刍和运用将再次强化、提升了学生的数学活动经验。

总之，在以后的数学教学中，我们应做个有心人，充分利用“一图抵百语”的“数形结合”优势，以“形”的直观表达数，以“数”的精确研究形，将抽象变具体，把无形变有形，这不仅有利于学生顺利、高效地学好数学知识，更有利于学生学习数学兴趣的培养、数学活动的积累！

（责编金铃）

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