含随机参数的空间柔性梁动力学模型

靳红玲，陈建军，赵 宽，曹鸿钧

(西安电子科技大学 电子装备结构设计教育部重点实验室，西安 710071)

随含柔性构件的机械装置向高速、轻质、高精度方向发展，柔性体大范围刚体运动与弹性变形耦合作用不可忽视。Kane等[1]认为悬臂梁作高速旋转时横向振动较稳定，与零次近似模型发散结论相反，并首次提出动力刚化概念。文献[2-7]对动力刚化进行研究，提出以计入横向弯曲引起纵向缩短的二阶耦合变形量为主要方法的刚柔耦合动力学建模法。此动力学方程在结构上均较零次耦合模型增加由二阶耦合变形量引入关于广义坐标的一阶或高阶量，若保留一阶量忽略更高阶量，模型即为一次近似耦合模型。理论分析及实验已证明一次近似耦合模型在小变形下的合理性及正确性。

传统柔体动力学研究中认为研究对象所有物理参数均为确定的、或可精确测量的；但实际中因设计公差、制造误差及环境温度等多种随机因素的存在，使基于确定性参数的动力学建模及分析结果不能真实描述实际柔体的动力学行为。因此，研究不确定性参数柔体动力学问题具有重要理论与实际工程意义。关于不确定性参数的柔体动力学研究鲜有报道。文献[8]对计及参数不确定性柔性空间曲线梁的动力学建模进行研究，并利用蒙特卡洛模拟法(Monte Carlo simulation, MCS)求解；但该法需样本量大、效率较低。多项式混沌(Polynomial Chaos，PC)方法用于具有不确定性参数的流体力学、结构力学及车辆动力学等分析中[9-11]，该方法与MCS法相比，在保证计算精度前提下可减少模拟次数、提高计算效率。

本文在一次近似耦合模型[4]基础上利用多项式混沌结合高效回归法，对含随机参数空间柔性梁的动力响应求解问题进行研究，并以空间自旋柔性梁为对象，分析其各参数随机性对动力响应影响。

1 多项式混沌

考虑在概率空间充分光滑模型

Y=u(x)

(1)

式中：u(x)为通常不能显式表示、但可通过数值模拟等方法输出的响应量。

为求解Y的统计特性，较有效方法为寻找代理模型以减少计算时间。PC即为理想模型[12]：

(2)

式中：n为随机变量个数；y=[y0,y1,…,yn,y11,…,ynn,…]为待定系数矢量；ξ=(ξ1,…,ξn)为服从标准正态分布的随机变量矢量，Γd(ξi1,…,ξid)为d阶Hermite多项式：

Γd(ξi1,…,ξid)=

(3)

数值计算只能取有限项近似表示输出响应量。精度达p阶的PC可简化为

(4)

式中：N为多项式混沌展开式所含待定系数个数：

(5)

〈Hi,Hj〉=∫Rnω(ξ)Hi(ξ)Hj(ξ)dξ≜δij

(6)

式中：δij为Kronecker张量；ω(ξ)为权函数，表达式为

(7)

研究显示[13]，混沌展开的阶数越高，作为替代模型的PC将越接近原模型，但求解系数所需方程个数会随之快速增加，计算成本显著增加。通常取2阶PC即可获得对Y较理想近似，当2阶PC不能满足精度要求时才考虑更高阶的混沌展开。

英、汉语言富具文化意象。这些意象有时通用，有时却只是英、汉语言各自独有。如何翻译这些富含语言、文化特色的意象，译者翻译的主观能动性至关重要。是尽量保留这些意象，还是转换意象，或者干脆舍弃意象，翻译的目的决定原文信息在译文中要不要体现，或者以何种方式体现。试看一例：

2 随机参数柔性梁动力学模型建立

柔性体动力学分析中出现多种描述动力学方程形式。本文采用空间柔性梁弹性动力学微分方程[4]为

(8)

式中：M,C,K,F分别为质量矩阵、陀螺矩阵、刚度矩阵及力矩阵，表达式分别为

(9)

(10)

(12)

式中：各参数具体含义见文献[4]。

(13)

按式(4)分别对输入随机变量xj、输出随机变量qi、ui进行多项式混沌展开：

(14)

(15)

(16)

式中：s为随机解维数。

将式(14)～式(16)代入式(13)，得

(17)

(18)

式中：H=(H0,…,HN-1)；Q为关于M,C,K,F的函数关系式。

用Galerkin法对式(18)映射得

(19)

(20)

t时刻待定系数可通过线性回归法获得

(21)

(22)

yt确定后即可据此系数求解响应随机变量的数字特征。

q均值即为随机多项式展开的0次项[7]：

(23)

q方差表达式为

(24)

归纳以上求解过程，给出求解随机参数空间柔性梁动力响应的流程见图1，m为时间节点总数。

图1 柔性梁变形响应数字特征的求解流程图

图2 自旋空间梁

3 算 例

图2为作大范围运动的自旋空间柔性梁，长L=10 m，横截面为矩形，一端固结在旋转的刚性圆柱上，并随圆柱一同作定轴旋转，忽略梁的轴向变形。图2中O0-x0y0z0为惯性坐标系，Ob-xbybzb为浮动坐标系。将梁横截面高度y、宽度z、弹性模量E及体密度ρ均视为相互独立且服从正态分布的随机参数，其均值分别为μy=μ1=0.10 m，μz=μ2=0.07 m，μE=μ3=7×1010N/m2，μρ=μ4=3×103kg/m3。为便于比较各随机参数取值分散性对梁动力响应影响，取所有随机参数的变异系数γall相等，且γall=γy=γz=γE=γρ=0.05。

图3 梁端点yb方向随机响应均值及方差

给定梁轴线与角速度夹角α=45°为常数，梁端直接固结于Y0轴，即R=0，刚性圆柱角速度规律为

式中：Ts为达到恒定转速前加速时间，取Ts=15 s；Ωs为t>Ts时恒定转速，取Ωs=3 rad/s。

本文分别采用二、三阶多项式混沌结合高效回归法求解该空间柔性梁变形响应。据上述求解步骤，通过Matlab分别模拟30、70次，获得响应均值及方差，并与模拟154次MCS所得结果进行对比。利用PC与MCS方法所得柔性梁自由端b点变形响应量yb,zb的均值、方差随时间变化曲线见图3、图4。

表1 不同随机变量对柔性梁变形响应数字特征影响

图6 不同随机参数的随机响应方差

为考察各随机参数分散性对弹性梁自由端b点变形响应影响，给出随机参数变异系数分别为γall=0.05，γall=0.1时四随机参数组合的随机模型响应均值及由一倍均方差σ所得误差棒见5图，PC方法在变异系数γall,γy,γz,γE,γρ分别为0.05时随机模型响应方差见图6，前20 s内不同随机参数组合的随机模型自由端b点变形响应(均值、方差)绝对值最大值见表1。

由图3～图6及表1看出，本文二、三阶多项式混沌法模拟自由端位移响应均值、方差结果高度一致，表明二阶方法可收敛；本文方法与MCS方法所得响应均值、方差结果较接近说明本文方法的正确性及有效性；所有随机参数变异系数越小，响应均方差越小，但响应均值基本保持不变；物理参数E的分散性对yb及zb两方向响应的分散性影响较大，而ρ的分散性对yb、zb两方向响应的分散性影响可忽略，几何参数y的分散性仅对弹性梁yb方向响应分散性影响较大，参数z的分散性仅对zb方向响应分散性影响较大。

4 结 论

本文首次将基于高效回归法多项式混沌用于含随机参数空间柔性梁动力学问题分析中获得较好效果，结论如下：

(1) 基于随机响应面法的多项式混沌可用于含多个随机参数的柔性体动力响应分析，与MCS法相比，在随机参数较多时只需较少次数分析即可获得响应的主要数字特征，计算效率明显提高。

(2) 各参数随机性对柔性体动力响应影响不可忽略，欲增强柔性体动力响应的平稳性，应先降低对柔性体动力响应影响较大参数的分散性。

(3) 通过MCS验证表明，本文所建含随机参数的空间柔性梁动力学模型合理，且能客观反映实际工程中刚柔耦合体动力学行为。

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