反演变换求解二维调和方程的Dirichlet外问题

袁 萍

(长江大学文理学院 基础课部，湖北 荆州 434020)

反演变换求解二维调和方程的Dirichlet外问题

袁 萍

(长江大学文理学院 基础课部，湖北 荆州 434020)

在研究静电场的电位函数、平稳状态下的波动现象和扩散过程时都会遇到调和方程。反演变换又称逆矢径变换，是一种很有效的数学方法。文章首先给出反演变换的定义及性质，然后推导了平面区域上二维调和函数的积分公式，最后利用反演变换将调和方程的Dirichlet外问题化为内问题，得到了二维调和方程圆域外Dirichlet问题的解。

调和方程；反演变换；Dirichlet外问题

0 引言

1 反演点与反演变换

2 二维调和方程Dirichlet内问题的积分表达式

(1)

(2)

(3)

(2)与(3)相减得格林第二公式

(4)

由于k(r)在P0处有奇性，需要在D中挖去一个小圆域，以P0为圆心、任意小的ρ为半径做圆域Bρ(P0)。

在区域DBρ(P0)中应用格林第二公式有：

(5)

(6)

(5)与(6)相加得

(7)

记G(r)=k(r)+h(r)，则(7)式为

(8)

图1 静电源像法求圆域上的格林函数

(9)

3 利用反演变换将圆域Dirichlet外问题化为内问题

设所给Dirichlet外问题为

(10)

利用复合函数求导法则，得

其中(r,θ)为圆域内点的极坐标，(R,φ)为CR(0)上点的极坐标。

[1] 谷超豪.数学物理方程[M].2版.北京:高等教育出版社,2002.

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2014-03-04

袁萍(1984-)，女，湖北潜江人，长江大学文理学院讲师，硕士。研究方向：偏微分方程。

O175.2

A

1008-4657(2014)02-0057-03