数列中的求通项问题

尹团则

摘要：数列求通项问题在高考中一般不会单独命题，通常以综合性大题出现，考查学生的观察能力，分析和解决问题的能力，解题过程中往往出现新的数列，即构造法求通项公式，下面就常见的几类题型进行说明。

关键词：数列求通项；观察；猜想；整体构造

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0266-01

数列求通项问题在高考中一般不会单独命题，通常以综合性大题出现，考查学生的观察能力，分析和解决问题的能力，解题过程中往往出现新的数列，即构造法求通项公式，下面就常见的几类题型进行说明。

例1.已知数列{an}中，a1=1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，求a2007。

解：由题设，an+2≥an+2，则：

a2007≥a2005+2≥a2003+2×2≥L≥a1+2×1003=2007.

由an+2≥an+2，得an≤an+2-2，则：

an+3≤an+3≤an+2-2+3=an+2+1（n≥1）.

于是：a2007≤a2006+1≤a2005+1×2≤a2002+3+1×2≤a1999+3×2+1×2≤L≤a1+3×668+1×2=2007，

所以a2007=2007.

易知数列a1=1，a2=2，L，an=n符合本题要求。

点评：本题首先观察条件的特点，掌握规律性，采用类比的思维进行解答。

（注意：猜得答案an=n或a2007=2007，给2分。若解答选择题时，不妨一试。）

例2.（2003京春文，6）在等差数列{an}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=20，那么a3等于（）。

A.4B.5C.6D.7

解析：因为{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，由已知有5a1+10d=20，∴a1+2d=4，即a3=4.在等差数列中a1+a5=a2+a4=2a3.所以由a1+a2+a3+a4+a5=20得5a3=20，∴a3=4.

点评：本题主要考查等差数列的通项公式的基本求法，属于送分题，只要记牢性质就能把此题拿下。

例3.由a1=1，an+1=给出的数列{an}的第34项为（ ）

A.B.100C.D.

解：∵-=3，=1+（n-1）×3=3n-2，∴=100，即=100.

点评：本题重在考查数列求通项中的变形，首先要想到取倒数形式，出现新的等差数列，再代入公式法求解。

例4.已知数列{an}满足a1=1，an+2=-（n∈N+）则该数列前26项的和为 。

解：求出此数列的前几项：1，-2，-1，，1，-2，…，得{an}的周期为4，所以该数列前26项的和为6（a1+a2+a3+a4）+a1+a2=-10.

点评：此题主要考查周期数列的性质，若数列中求取的项数较大时，就要考虑周期的情况，利用不完全归纳法找到它的周期，迅速解决，属于中等题，不会太难。

例5.（2008北京理6）已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（）。

A.-165 B.-33 C.-30 D.-21

解法1.由已知a4=a2+a2=-12，a8=a4+a4=-24，a10=a8+a2=-30，故选C。

解法2.由已知得a2=2a1⇒a1=-3⇒an+1-an=-3，a10=-30。

点评：本题可采用特殊值法。

例6.由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，则数列{an}的通项公式an=。

解：当q=1时，得2na1=11na1不成立，∴q≠1，=①，a1q2+a1q3=11aq·a1q3②，由①得q=，代入②得a1=10，∴an=（）.

点评：本题考查数列中的奇偶项的问题，应首先想到等比数列的性质，利用性质解题会起到事半功倍的效果。

例7.给定公比为q（q≠1）的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，…，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，…，则数列{bn}（）。

A.是等差数列

B.是公比为q的等比数列

C.是公比为q3的等比数列

D.既非等差数列也非等比数列

解：因为{an}是等比数列，所以{bn}也是等比数列，则===q3。

点评：本题属于数列中整体思想的体现，要有敏锐的观察力。充分考虑到整体形式的特点，采用整体思维化解难题不失为一种能力的展示。

总之，数列中求通项的方法有很多，要善于归类总结，针对不同条件，采用合适的方法，在此基础上求解与通项问题相关的其他问题，就会干到得心应手水到渠成。

endprint