诠释均值定理 掌握多变配凑技巧

薛胜菊

摘要：在高考题中，利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一。但是应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

关键词：数学；求最值；均值定理

中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）12-0265-01

最值问题始终是高考数学的命题热点，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用较为广泛的方法之一，这类问题难度虽不大但技巧性，考生常因方法选择不当，造成应用定理错误而失分。因此，快速找到切入点，灵活运用所学知识，将复杂问题简单化，从而顺利解答高考题，这是高三学生的最大期望。笔者现就此类问题进行归纳总结，对不同类型技巧的解法进行分析。希望本文能对读者有所启示和帮助。

一、配凑项凑“积”为定值法

例1 已知x<，求函数y=4x-2+的最大值。

解：因4x-5<0，所以首先要“调整”符号，又

（4x-2）g不是常数，所以对4x-2要进行拆、凑项，Qx<，∴5-4x>0，

∴y=4x-2+=-

5-4x++3≤-2+3=1

当且仅当5-4x=，即x=1时，上式等号成立，故当x=1时，ymax=1。

点评：本题需要调整项的符号，保证各项正，又要配凑项的系数，使其积为定值。其实凑积为定值无非是凑“倒数”形式，消去未知数，得到定值而已。

二、分离拆项或换元构造“积”为定值

例2 求y=（x>-1）的值域。

解法一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离。

y===（x+1）++5当x>-1，即x+1>0时，y≥2+5=9（当且仅当x=1时取“=”号）。

解法二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x+1，化简原式在分离求最值。

y===t++5，当x>-1，即t=x+1>0时，y≥2+5=9（当t=2即x=1时取“=”号）。

点评：对于分子分母“一、二次“形式的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，构造“倒数”，创造均值定理使用环境，再利用不等式求最值，即化为y=mg（x）++B（A>0，B>0），g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。但仍注意“一正、二定、三相等”的限制。

三、乘“一”不变原理构造“积”为定值

例3 已知正数x、y满足+=1，求x+2y的最小值 。

解法一：（利用均值不等式）x+2y=（+）（x+2y）=10++≥10+2=18，当且仅当

+

=1

=

即x=2，y=3时“=”号成立，故此函数最小值是18。

解法二：（消元法）由+=1得y=，由y>0⇒>0⇒x>8则x+2y=x+=x+=x+2+=（x-8）++10≥2+10=18。

当且仅当x-8=即x=12，此时y=3时“=”号成立，故此函数最小值是18。

点评：利用乘一不变值的道理构造“倒数”构造“积为定值”，从而创造使用均值定理的环境。此类问题是学生求解易错得一类题目，解法一学生普遍有这样一种错误的求解方法：。原因就是等号成立的条件不一致。

四、平方法配凑“和”为定值

例4 已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数W=+的最值。

解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤，本题很简单，

+≤==2。

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W>0，W2=3x+2y+2x·y=10+2·≤10+（）2+（）2=10+（3x+2y）=20∴W≤=2。

点评：本题利用取平方的方法构造均值定理，运用均值求定值。

总之，应用均值定理求最值掌握配凑技巧，构造其使用的环境，会使问题得到更快捷的解决，但是应用均值不等式求最值要注意：一要正：各项或各因式必须为正数；二可定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能等：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值。

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