从“我会画”谈空间观念的培养

冯回祥，华中科技大学附属小学数学教师，湖北省特级教师，中学高级教师。现任湖北省武汉市数学学会理事，华中师范大学硕士研究生首批校外导师。

2014年我校小学毕业考试数学试卷中，有道“我会画”的试题，主要考查学生的动手操作能力和空间观念。笔者查看了大量答卷，发现这道题的正确率很低。对此，有老师埋怨学生画图“不认真”，但到底是学生画图不认真，还是老师平时没有重视学生空间观念的培养呢？这需要我们好好反思，如何在课堂教学中将空间观念的培养落到实处。

要理解和明确“空间观念”的内涵及价值

空间观念是《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中10个重要的核心概念之一。《标准》指出：“在数学学习中，要丰富学生对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。”重视培养空间观念既有助于学生更好地认识世界，解决日常生活中的问题，又能为他们今后进一步系统学习几何知识打下良好的基础。

让学生在观察与操作中，感知“空间观念”

数学是一门具有较强思维性质的学科，观察是进行思维活动的一个窗口，是学生认识事物最直接的一种方法，也是形成和感知空间观念的基本方法之一。因此，教师要在教学中有意识地培养和训练学生的观察能力。传统教学中，多是教师讲，学生听，教师演示，学生看，学生学习的积极性不高，观察能力也没有得到挖掘和培养。教师要根据小学生的年龄特征，充分利用教材中提供的直观图形、实物观察和实际操作，借助视觉、触觉、听觉等多种感官，激励学生参与活动，在观察中感知“空间观念”。

例如，教学“平移与旋转”一课时，教师通过播放游乐园录像资料，让学生观察游乐园里游乐设备的运动方式。接着，教师鼓励学生把每个游乐设备的运动方式用手势表现出来，让学生充分感知这些游乐设备的运动方式。当学生“经历”了这样一次游玩感受后，教师再要求学生根据运动方式把这些游乐设备进行分类。当学生不能正确分类时，教师可以边说边通过手势做平移、旋转运动，再次引导学生仔细观察，并通过肢体语言暗示学生要从这不同运动方式上去考虑分类。这样，学生在充分观察感知中，对平移和旋转就有了深刻的体验。

操作也是丰富学生“空间观念”的重要手段。荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示，是学不会的。”由此可见，培养学生的空间观念，教师必须引导学生进行操作活动。教学时，对一些较为抽象的几何概念，当学生感到难以理解时，教师可引导学生借助直观的操作手段来解决。如，让学生折一折、剪一剪、拼一拼、画一画等，让他们的视觉、触觉等多种感官共同参与，如此，学生的空间观念便易于形成和巩固。

例如，在教学长方体、正方体的棱长之和及表面积与体积的计算时，发现学生很容易将棱长之和、表面积、体积这三个概念混淆。教师可在教学棱长之和前，让学生用细铁丝做一个长方体或正方体框架，通过动手操作，他们就不难发现，棱长之和就是四组长、宽、高之和，这为他们接下来学习将棱长之和按一定比例分配等内容打好了基础。在教学表面积前，教师可要求学生用硬纸板做长方体或正方体，这既能让学生掌握如何求表面积，又能让他们明确立体图形和其对应的平面展开图之间的关系。只要我们把操作落到实处，学生自然能深刻体会棱长之和、表面积与体积之间的本质区别。如果教师在课堂上只是讲，学生只是听，那么学生不仅难以理解掌握知识，而且难以形成空间观念。

因此，教学时，只要是能让学生观察和操作的，教师一定要放手，切忌“包办代替”，因为那将是学生感知 “空间观念”的最好契机。

让学生在思考与感悟中，形成“空间观念”

学生对空间与图形的学习，不能只停留在直观感知这个初级阶段，教师还应运用比较手段，让学生在思考中感悟事物的本质特征，通过对形体间的内在联系及外在区别的比较，将“眼中之观察”内化成“脑中之思考”。

第一，通过类比，引起学生思考与感悟。通过类比，同中求异，即引导学生在新、旧知识间寻找相似和相异的地方，或在类比中联想，或在模仿中创新，从而升华思维，突出几何图形之间的逻辑关系。例如，教学“长方形和正方形的认识”时，教师通过将长方形的长不断地缩短，或将长方形的宽不断地增长，或让长变化到和宽相等，引导学生思考比较，让他们认识，这时的图形已经不是一个长方形了，而是正方形。这时，提醒学生比较变化前后的异同点，然后判断这个图形是不是还具有长方形的特征。在此基础上，让学生认识到正方形是特殊的长方形，从而明确特殊与一般的关系。

第二，在“对比”活动中，激发学生思考与感悟。通过对比，异中求同，即联系事物间的变化规律，引导学生发现知识间的内在联系，及时对知识进行整合，形成知识网络，建立起比较完整的知识体系。如在教学多边形的面积S梯=（a+b）h÷2后，引导学生思考，如果将梯形的上底不断变长，当上底和下底一样长时，即a=b时，则梯形就变成了平行四边形，那么，S梯=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah（平行四边形的面积公式）；如果将梯形的上底不断变短，当上底成为0时，即a=0时，梯形就变成了三角形，则S梯=（0+b）h÷2=bh÷2，又变成了三角形的面积公式（b为三角形的底）。这样有联系又有对比的思考，不仅让学生知道了梯形的面积公式是小学数学“万能公式”，自然感受到了“化归”的数学思想方法，而且在潜移默化中培养了学生的“空间观念”。

让学生在综合应用中，发展“空间观念”

长期以来，小学几何教学都以周长、面积、体积（容积）的计算为最终目的，学生在课堂上的大量时间全被耗在计算里面。学生只会列式计算，脑子里根本没有灵活解题的策略。例如，一些学生会计算长方形、正方形的周长，却不知道如何计算三角形、梯形的周长；一些学生会计算长方体的表面积，却不会计算教室里的粉刷面积……这是典型的只会死套公式，而空间观念不清晰的表现。在实施新课程的今天，教师需要将这种只关注计算的教学向关注观念、能力与计算并重的教学转变。

如，在对学生进行圆柱体体积计算的练习中，教师可出示如下两个长方形（如下图一、二）：

图一 图二 图三

若将它们绕相同的边（如AD）旋转一周可以得到两个圆柱体，教师引导学生思考：现在所得到的这两个圆柱体的体积、侧面积、表面积相等吗？它们的大小关系是怎样的？在计算圆锥的体积时，可以利用上图三，让学生思考：三角形能以哪些边为轴旋转后得到圆锥？如果以BC边为轴旋转，旋转后的体积是多少？通过这样的练习，学生就会将以前学过的平移与旋转的知识联系起来，综合考虑问题。同时，在计算体积、侧面积和表面积前，学生必须将二维空间通过想象扩展到三维空间，这是学生对空间观念的又一次升华。

此外，我们要充分利用信息技术手段，来培养和发展学生的空间观念。在数学课堂中由于受时间、空间的限制，难以展示各种图形、物件的真实面目，使学生难以体验空间感。学生仅靠书上的图，是很难想象或体验的，教师可尝试用PPT演示，让学生去观察发现其内在的规律，这样做可以使原来用实物不好展示的部分得到充分展示，降低了观察上的难度，突出了观察的重点，有利于培养学生有序观察和归纳的能力，可使学生的空间意识得到增强，空间观念得到发展。

培养空间观念并不是一朝一夕的事，如果教师能做一个好的引领者，从生活实际出发，让学生亲身经历和感悟，那么学生的空间观念就能不断形成和发展，学生才能真正地轻松完成“我会画”之类的试题。

责任编辑 严 芳

冯回祥，华中科技大学附属小学数学教师，湖北省特级教师，中学高级教师。现任湖北省武汉市数学学会理事，华中师范大学硕士研究生首批校外导师。

2014年我校小学毕业考试数学试卷中，有道“我会画”的试题，主要考查学生的动手操作能力和空间观念。笔者查看了大量答卷，发现这道题的正确率很低。对此，有老师埋怨学生画图“不认真”，但到底是学生画图不认真，还是老师平时没有重视学生空间观念的培养呢？这需要我们好好反思，如何在课堂教学中将空间观念的培养落到实处。

要理解和明确“空间观念”的内涵及价值

空间观念是《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中10个重要的核心概念之一。《标准》指出：“在数学学习中，要丰富学生对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。”重视培养空间观念既有助于学生更好地认识世界，解决日常生活中的问题，又能为他们今后进一步系统学习几何知识打下良好的基础。

让学生在观察与操作中，感知“空间观念”

数学是一门具有较强思维性质的学科，观察是进行思维活动的一个窗口，是学生认识事物最直接的一种方法，也是形成和感知空间观念的基本方法之一。因此，教师要在教学中有意识地培养和训练学生的观察能力。传统教学中，多是教师讲，学生听，教师演示，学生看，学生学习的积极性不高，观察能力也没有得到挖掘和培养。教师要根据小学生的年龄特征，充分利用教材中提供的直观图形、实物观察和实际操作，借助视觉、触觉、听觉等多种感官，激励学生参与活动，在观察中感知“空间观念”。

例如，教学“平移与旋转”一课时，教师通过播放游乐园录像资料，让学生观察游乐园里游乐设备的运动方式。接着，教师鼓励学生把每个游乐设备的运动方式用手势表现出来，让学生充分感知这些游乐设备的运动方式。当学生“经历”了这样一次游玩感受后，教师再要求学生根据运动方式把这些游乐设备进行分类。当学生不能正确分类时，教师可以边说边通过手势做平移、旋转运动，再次引导学生仔细观察，并通过肢体语言暗示学生要从这不同运动方式上去考虑分类。这样，学生在充分观察感知中，对平移和旋转就有了深刻的体验。

操作也是丰富学生“空间观念”的重要手段。荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示，是学不会的。”由此可见，培养学生的空间观念，教师必须引导学生进行操作活动。教学时，对一些较为抽象的几何概念，当学生感到难以理解时，教师可引导学生借助直观的操作手段来解决。如，让学生折一折、剪一剪、拼一拼、画一画等，让他们的视觉、触觉等多种感官共同参与，如此，学生的空间观念便易于形成和巩固。

例如，在教学长方体、正方体的棱长之和及表面积与体积的计算时，发现学生很容易将棱长之和、表面积、体积这三个概念混淆。教师可在教学棱长之和前，让学生用细铁丝做一个长方体或正方体框架，通过动手操作，他们就不难发现，棱长之和就是四组长、宽、高之和，这为他们接下来学习将棱长之和按一定比例分配等内容打好了基础。在教学表面积前，教师可要求学生用硬纸板做长方体或正方体，这既能让学生掌握如何求表面积，又能让他们明确立体图形和其对应的平面展开图之间的关系。只要我们把操作落到实处，学生自然能深刻体会棱长之和、表面积与体积之间的本质区别。如果教师在课堂上只是讲，学生只是听，那么学生不仅难以理解掌握知识，而且难以形成空间观念。

因此，教学时，只要是能让学生观察和操作的，教师一定要放手，切忌“包办代替”，因为那将是学生感知 “空间观念”的最好契机。

让学生在思考与感悟中，形成“空间观念”

学生对空间与图形的学习，不能只停留在直观感知这个初级阶段，教师还应运用比较手段，让学生在思考中感悟事物的本质特征，通过对形体间的内在联系及外在区别的比较，将“眼中之观察”内化成“脑中之思考”。

第一，通过类比，引起学生思考与感悟。通过类比，同中求异，即引导学生在新、旧知识间寻找相似和相异的地方，或在类比中联想，或在模仿中创新，从而升华思维，突出几何图形之间的逻辑关系。例如，教学“长方形和正方形的认识”时，教师通过将长方形的长不断地缩短，或将长方形的宽不断地增长，或让长变化到和宽相等，引导学生思考比较，让他们认识，这时的图形已经不是一个长方形了，而是正方形。这时，提醒学生比较变化前后的异同点，然后判断这个图形是不是还具有长方形的特征。在此基础上，让学生认识到正方形是特殊的长方形，从而明确特殊与一般的关系。

第二，在“对比”活动中，激发学生思考与感悟。通过对比，异中求同，即联系事物间的变化规律，引导学生发现知识间的内在联系，及时对知识进行整合，形成知识网络，建立起比较完整的知识体系。如在教学多边形的面积S梯=（a+b）h÷2后，引导学生思考，如果将梯形的上底不断变长，当上底和下底一样长时，即a=b时，则梯形就变成了平行四边形，那么，S梯=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah（平行四边形的面积公式）；如果将梯形的上底不断变短，当上底成为0时，即a=0时，梯形就变成了三角形，则S梯=（0+b）h÷2=bh÷2，又变成了三角形的面积公式（b为三角形的底）。这样有联系又有对比的思考，不仅让学生知道了梯形的面积公式是小学数学“万能公式”，自然感受到了“化归”的数学思想方法，而且在潜移默化中培养了学生的“空间观念”。

让学生在综合应用中，发展“空间观念”

长期以来，小学几何教学都以周长、面积、体积（容积）的计算为最终目的，学生在课堂上的大量时间全被耗在计算里面。学生只会列式计算，脑子里根本没有灵活解题的策略。例如，一些学生会计算长方形、正方形的周长，却不知道如何计算三角形、梯形的周长；一些学生会计算长方体的表面积，却不会计算教室里的粉刷面积……这是典型的只会死套公式，而空间观念不清晰的表现。在实施新课程的今天，教师需要将这种只关注计算的教学向关注观念、能力与计算并重的教学转变。

如，在对学生进行圆柱体体积计算的练习中，教师可出示如下两个长方形（如下图一、二）：

图一 图二 图三

若将它们绕相同的边（如AD）旋转一周可以得到两个圆柱体，教师引导学生思考：现在所得到的这两个圆柱体的体积、侧面积、表面积相等吗？它们的大小关系是怎样的？在计算圆锥的体积时，可以利用上图三，让学生思考：三角形能以哪些边为轴旋转后得到圆锥？如果以BC边为轴旋转，旋转后的体积是多少？通过这样的练习，学生就会将以前学过的平移与旋转的知识联系起来，综合考虑问题。同时，在计算体积、侧面积和表面积前，学生必须将二维空间通过想象扩展到三维空间，这是学生对空间观念的又一次升华。

此外，我们要充分利用信息技术手段，来培养和发展学生的空间观念。在数学课堂中由于受时间、空间的限制，难以展示各种图形、物件的真实面目，使学生难以体验空间感。学生仅靠书上的图，是很难想象或体验的，教师可尝试用PPT演示，让学生去观察发现其内在的规律，这样做可以使原来用实物不好展示的部分得到充分展示，降低了观察上的难度，突出了观察的重点，有利于培养学生有序观察和归纳的能力，可使学生的空间意识得到增强，空间观念得到发展。

培养空间观念并不是一朝一夕的事，如果教师能做一个好的引领者，从生活实际出发，让学生亲身经历和感悟，那么学生的空间观念就能不断形成和发展，学生才能真正地轻松完成“我会画”之类的试题。

责任编辑 严 芳

冯回祥，华中科技大学附属小学数学教师，湖北省特级教师，中学高级教师。现任湖北省武汉市数学学会理事，华中师范大学硕士研究生首批校外导师。

2014年我校小学毕业考试数学试卷中，有道“我会画”的试题，主要考查学生的动手操作能力和空间观念。笔者查看了大量答卷，发现这道题的正确率很低。对此，有老师埋怨学生画图“不认真”，但到底是学生画图不认真，还是老师平时没有重视学生空间观念的培养呢？这需要我们好好反思，如何在课堂教学中将空间观念的培养落到实处。

要理解和明确“空间观念”的内涵及价值

空间观念是《全日制义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中10个重要的核心概念之一。《标准》指出：“在数学学习中，要丰富学生对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。”重视培养空间观念既有助于学生更好地认识世界，解决日常生活中的问题，又能为他们今后进一步系统学习几何知识打下良好的基础。

让学生在观察与操作中，感知“空间观念”

数学是一门具有较强思维性质的学科，观察是进行思维活动的一个窗口，是学生认识事物最直接的一种方法，也是形成和感知空间观念的基本方法之一。因此，教师要在教学中有意识地培养和训练学生的观察能力。传统教学中，多是教师讲，学生听，教师演示，学生看，学生学习的积极性不高，观察能力也没有得到挖掘和培养。教师要根据小学生的年龄特征，充分利用教材中提供的直观图形、实物观察和实际操作，借助视觉、触觉、听觉等多种感官，激励学生参与活动，在观察中感知“空间观念”。

例如，教学“平移与旋转”一课时，教师通过播放游乐园录像资料，让学生观察游乐园里游乐设备的运动方式。接着，教师鼓励学生把每个游乐设备的运动方式用手势表现出来，让学生充分感知这些游乐设备的运动方式。当学生“经历”了这样一次游玩感受后，教师再要求学生根据运动方式把这些游乐设备进行分类。当学生不能正确分类时，教师可以边说边通过手势做平移、旋转运动，再次引导学生仔细观察，并通过肢体语言暗示学生要从这不同运动方式上去考虑分类。这样，学生在充分观察感知中，对平移和旋转就有了深刻的体验。

操作也是丰富学生“空间观念”的重要手段。荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“数学学习是一种活动，这种活动与游泳、骑自行车一样，不经过亲身体验，仅仅从看书本、听讲解、观察他人的演示，是学不会的。”由此可见，培养学生的空间观念，教师必须引导学生进行操作活动。教学时，对一些较为抽象的几何概念，当学生感到难以理解时，教师可引导学生借助直观的操作手段来解决。如，让学生折一折、剪一剪、拼一拼、画一画等，让他们的视觉、触觉等多种感官共同参与，如此，学生的空间观念便易于形成和巩固。

例如，在教学长方体、正方体的棱长之和及表面积与体积的计算时，发现学生很容易将棱长之和、表面积、体积这三个概念混淆。教师可在教学棱长之和前，让学生用细铁丝做一个长方体或正方体框架，通过动手操作，他们就不难发现，棱长之和就是四组长、宽、高之和，这为他们接下来学习将棱长之和按一定比例分配等内容打好了基础。在教学表面积前，教师可要求学生用硬纸板做长方体或正方体，这既能让学生掌握如何求表面积，又能让他们明确立体图形和其对应的平面展开图之间的关系。只要我们把操作落到实处，学生自然能深刻体会棱长之和、表面积与体积之间的本质区别。如果教师在课堂上只是讲，学生只是听，那么学生不仅难以理解掌握知识，而且难以形成空间观念。

因此，教学时，只要是能让学生观察和操作的，教师一定要放手，切忌“包办代替”，因为那将是学生感知 “空间观念”的最好契机。

让学生在思考与感悟中，形成“空间观念”

学生对空间与图形的学习，不能只停留在直观感知这个初级阶段，教师还应运用比较手段，让学生在思考中感悟事物的本质特征，通过对形体间的内在联系及外在区别的比较，将“眼中之观察”内化成“脑中之思考”。

第一，通过类比，引起学生思考与感悟。通过类比，同中求异，即引导学生在新、旧知识间寻找相似和相异的地方，或在类比中联想，或在模仿中创新，从而升华思维，突出几何图形之间的逻辑关系。例如，教学“长方形和正方形的认识”时，教师通过将长方形的长不断地缩短，或将长方形的宽不断地增长，或让长变化到和宽相等，引导学生思考比较，让他们认识，这时的图形已经不是一个长方形了，而是正方形。这时，提醒学生比较变化前后的异同点，然后判断这个图形是不是还具有长方形的特征。在此基础上，让学生认识到正方形是特殊的长方形，从而明确特殊与一般的关系。

第二，在“对比”活动中，激发学生思考与感悟。通过对比，异中求同，即联系事物间的变化规律，引导学生发现知识间的内在联系，及时对知识进行整合，形成知识网络，建立起比较完整的知识体系。如在教学多边形的面积S梯=（a+b）h÷2后，引导学生思考，如果将梯形的上底不断变长，当上底和下底一样长时，即a=b时，则梯形就变成了平行四边形，那么，S梯=（a+a）h÷2=2ah÷2=ah（平行四边形的面积公式）；如果将梯形的上底不断变短，当上底成为0时，即a=0时，梯形就变成了三角形，则S梯=（0+b）h÷2=bh÷2，又变成了三角形的面积公式（b为三角形的底）。这样有联系又有对比的思考，不仅让学生知道了梯形的面积公式是小学数学“万能公式”，自然感受到了“化归”的数学思想方法，而且在潜移默化中培养了学生的“空间观念”。

让学生在综合应用中，发展“空间观念”

长期以来，小学几何教学都以周长、面积、体积（容积）的计算为最终目的，学生在课堂上的大量时间全被耗在计算里面。学生只会列式计算，脑子里根本没有灵活解题的策略。例如，一些学生会计算长方形、正方形的周长，却不知道如何计算三角形、梯形的周长；一些学生会计算长方体的表面积，却不会计算教室里的粉刷面积……这是典型的只会死套公式，而空间观念不清晰的表现。在实施新课程的今天，教师需要将这种只关注计算的教学向关注观念、能力与计算并重的教学转变。

如，在对学生进行圆柱体体积计算的练习中，教师可出示如下两个长方形（如下图一、二）：

图一 图二 图三

若将它们绕相同的边（如AD）旋转一周可以得到两个圆柱体，教师引导学生思考：现在所得到的这两个圆柱体的体积、侧面积、表面积相等吗？它们的大小关系是怎样的？在计算圆锥的体积时，可以利用上图三，让学生思考：三角形能以哪些边为轴旋转后得到圆锥？如果以BC边为轴旋转，旋转后的体积是多少？通过这样的练习，学生就会将以前学过的平移与旋转的知识联系起来，综合考虑问题。同时，在计算体积、侧面积和表面积前，学生必须将二维空间通过想象扩展到三维空间，这是学生对空间观念的又一次升华。

此外，我们要充分利用信息技术手段，来培养和发展学生的空间观念。在数学课堂中由于受时间、空间的限制，难以展示各种图形、物件的真实面目，使学生难以体验空间感。学生仅靠书上的图，是很难想象或体验的，教师可尝试用PPT演示，让学生去观察发现其内在的规律，这样做可以使原来用实物不好展示的部分得到充分展示，降低了观察上的难度，突出了观察的重点，有利于培养学生有序观察和归纳的能力，可使学生的空间意识得到增强，空间观念得到发展。

培养空间观念并不是一朝一夕的事，如果教师能做一个好的引领者，从生活实际出发，让学生亲身经历和感悟，那么学生的空间观念就能不断形成和发展，学生才能真正地轻松完成“我会画”之类的试题。

责任编辑 严 芳