交错三角格的链环分支数的进一步结论

林跃峰

(漳州城市职业学院经济管理系，中国 漳州 363000)

交错三角格的链环分支数的进一步结论

林跃峰*

(漳州城市职业学院经济管理系，中国 漳州 363000)

链环投影图与符号平图有着一一对应关系,这种对应被应用于构造链环图表.研究平图对应的链环分支数,是研究通过平图的中间图构造所对应的链环的基本问题之一.给出了关于交错三角格图的链环分支数的进一步结论.

交错三角格图;Reidemeister变换; 链环分支数

平面图的平面嵌入称为平图,即无符号平图.给一个连通平图G,定义G的中间图M(G)如下:若G是一个平凡图,则M(G)是围绕G的顶点的一条简单闭曲线;若G是一个非平凡图,则M(G)的顶点是G的边,G的面f=v1e1v2e2…vnenv1确定M(G)的位于面f内的两两不相交的n条边{eiei+1:1≤i≤n-1}∪{ene1},特别地,G的环面f=vev确定M(G)的以e为顶点的位于面f内的一个环.因此,每个连通平图G的中间图M(G)都是4-正则连通平图[1].

在纽结理论中,链环分支数是链环的一个不变量.由一个平图得到的链环的分支数不依赖于平面图的平面嵌入方式[2].文献[3]研究平图G的左右回路数,即平图G对应的中间图M(G)的直走闭迹回路数[4],即平图G通过中间图M(G)构造所对应的链环图L(G)的链环投影图D(G)的连通分支数,即平图G的链环分支数[5-6],记为μ(D(G)).文献[2，7]分别研究了二维方格图Lm×n=Pm×Pn和三角格图Tm×n的链环分支数.文献[8]研究交错三角格图ATm×n(即由二维方格图Lm×n的每个小方格内分别增加一条对角边,其左起奇数(偶数)列的小方格内增加的对角边以该小方格左下(上)角和右上(下)角的顶点为两端点,所得的m×n三角格图)的链环分支数,证明了交错三角格图ATm×(2m-2)(m≥2)和ATm×n(2≤m≤4)的链环分支数.关于图的结构和平图的链环分支数有关的工作,详见文献[9～13].本文延续文献[8]的工作,给出交错三角格图ATm×n(m=5,6,7,8)的链环分支数的计数.

1 几个已知的引理

约定无符号平图的3类Reidemeister变换简记为平图的R-变换[8],约定G1∪G2表示两个图G1和G2的不交并.

引理1[14]平图在R-变换下不改变其对应的链环分支数.

引理2[2]平图G中,μ(D(G))=k当且仅当G能通过有限次无符号平图的R-变换变换为空图Ok.

引理3[2]设G和H是两个平图,x1,x2,…,xn和u1,u2,…,un分别是G的外部面F的n个顶点和H的某个面的n个顶点.对于每个i(i=1,2,…,n),当dG(xi)≤1时,设Ci是D(G)的围绕G的顶点xi且将xi与G其他顶点分离的分支;当dG(xi)>1时,设Ci是D(G)的连续穿过面F的边界上的顶点xi的连续的两条关联边,且与G的这两个交叉点之间的连边在面F内的分支.若μ(D(G))=n且D(G)的分支C1,C2,…,Cn两两不同,则μ(D(G(x1,x2,…,xn)∪H(u1,u2,…,un)))=μ(D(H)).

引理4[2]设m是正整数,则μ(D(Lm×m))=m.

由二维m×n方格图Lm×n对左起第一列方格中的每一个小方格分别都增加一条以该小方格左下角和右上角的顶点为两端点的对角边,且对最后一行的除左起第一条边之外的每一条边分别都新增一个剖分点,所得的m×n格图记为图Bm×n.

引理5[8]设m是正整数,且m≥2,则μ(D(Bm×m))=m.

引理6[8]设m,n是正整数,m≥2.若n=0(mod 2m-1),则μ(D(ATm×n))=1.

引理7[8]设m,n是正整数,m≥2,n>2m-1,则μ(D(ATm×n))=μ(D(ATm×(n-2m+1))).

约定,gcd(p,q)表示正整数p和q的最大公约数.

2 交错三角格图ATm×n(m=5,6,7,8)的链环分支数

本节研究并证明交错三角格图ATm×n(m=5,6,7,8)的链环分支数.

图1 平图的σ-变换Fig.1 Plane graphical σ-transformation

由二维m×n方格图Lm×n对第一行的每一条边分别都新增一个剖分点,所得m×n格图记为图Cm×n.

引理11 设m是正整数,则μ(D(Cm×m))=1.

又k+1=(k-8) (mod 9),故

根据归纳法原理,定理1成立.

仿定理1的证明,可以证明下面的定理2和定理3.证明过程略.

又k+1=(k-14) (mod 15),故

根据归纳法原理,定理4成立.

致谢作者的导师金贤安老师提出了格图的链环分支数问题,并对本文的研究提出了许多宝贵建议.在此表示感谢!

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(编辑 沈小玲)

Further Conclusions on the Link Component Number of Alternating Triangular Lattices

LINYue-feng*

(Department of Economic Management, Zhangzhou City Vocational College, Zhangzhou 363000, China)

There is a one-to-one correspondence between signed plane graphs and link diagrams, which was once used to link tabulations. Determining the component number of links corresponding to plane graphs is one of the basic problems in studying links via graphs. Further conclusions on the link component number of alternating triangular lattices are obtained.

alternating triangular lattices; Reidemeister move; link component number

2012-11-25

福建省教育厅A类科技基金资助项目(JA11332)

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,E-mailgads707@163.com

O157.5

A

1000-2537(2014)01-0086-04