巧用正方体解立体几何问题

姜丽丽

摘 要：立体几何问题一直是中职学生学习的难点，大多数学生一看到立体几何问题就头疼，尤其是碰到判断命题真假时，更是无从下手。本文就如何巧妙地运用正方体解决几何问题展开分析。

关键词：立体几何 命题真假 正方体

立体几何是高职考的一个重要内容，这一章所包含的定理、性质比较多，又很相近，学生特别容易混淆。判断一些命题的真假又必须要用到这些定理和性质，尤其是立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断。通过几年对学生高职考复习的指导，笔者发现如果借助于正方体来判断命题的真假就简单了很多。

一、如何利用正方体判断命题的真假

例1：下列命题正确的是：

（1）若a//β，b//β 则a//b

（2）若a//b，a//β 则b//β

（3）若a//β，则a平行β内的所有直线

（4）若一直线a┴平面β，另一直线b//平面β，则直线a┴直线b

要想准确地判断这四个命题的真假需要较强的空间想象能力，还要对直线与平面平行、垂直的判定定理、性质定理熟练掌握，这对职业学校的学生来说是一个很难突破的难点。如果能合理地利用正方体来解决这些问题，就容易理解多了。

1.命题1

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选择平面ABCD作为平面β，棱A1B1，B1C1，C1D1，A1D1都与平面ABCD平行，都可以选作直线a，b，若选A1B1作为直线a，B1C1作为直线b，则a与b相交与结论不一致，命题1是假命题。

2.命题2

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选棱AB为直线a，平面A1B1C1D1作为平面β，棱A1B1，CD，C1D1可选作直线b，选棱A1B1为直线b，则b平面β，与结论不一致，命题2是假命题。

3.命题3

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选棱A1B1为直线a，平面ABCD作为平面β，棱BC是平面β内的直线与a异面，与结论不一致，命题3是假命题。

4.命题4

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选平面ABCD作为平面β，棱AA1作为直线a，棱A1B1，B1C1，C1D1，A1D1可作为直线b，无论选哪一条都与a垂直，与结论一致，命题4是真命题。

通过实例可发现，要想利用正方体中的顶点、棱、面来解决判断命题真假的问题，关键是在立方体中找出命题中的已知条件，在正方体中满足已知的线、面不是唯一的。

要确定已知条件，一般情况下先选定一个参照物，选择参照物的标准时，若已知的条件都与一个面有关，就先确定面，如命题1、4，先确定平面β；如果已知条件都与一条直线有关，就先确定线，如命题2；如果已知条件只有一条线和一个面，就先确定面，如命题3。

参照物确定好后再找出其他相关条件，这时可以先确定一个条件，另外的条件往往是不固定的，情况有好几种。如果每种情况结论都与命题所给结论一致，则命题是真命题，如果不一致，则命题是假命题。利用正方体判断命题的真假，大部分问题只要利用正方体中的顶点、棱、面就可以了，个别问题需要用到正方体的面对角线和体对角线。

二、利用正方体可以解决的其他问题

例2：在空间中，已知直线a，b，平面α，且aα，b//α，则a，b的位置关系式（ ）

A 平行 B 相交 C 异面 D 平行或异面

解题思路：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选平面 ABCD作为平面α，棱AB为直线a，棱A1B1，B1C1，C1D1，A1D1可作为直线b，选A1B1，C1D1作为b，则a与b平行，选B1C1，A1D1作为b，则a与b异面，故选D。

例3：在空间中，过平面外一点向平面做垂线和平行线，分别可做（ ）

A 1条，无数条 B 无数条，无数条

C 1条，1条 D 无数条，1条

解题思路：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选平面ABCD作为平面，点B1作为平面外的点，过点B1与平面垂直的直线只有棱BB1，所以过平面外一点可以做一条直线与平面垂直。过点B1与平面平行的直线有棱A1B1，B1C1，在A1B1，B1C1所确定的平面内过点B1的直线都与平面平行，所以过平面外一点可以做无数条直线与平面平行，选A。

例4：已知直线a平行于平面β，点A∈β，则过点A且平行于直线a的直线（ ）

A 只有一条，且一定在平面β内

B 只有一条，但不一定在平面β内

C 有无数条，但不都是在平面β内

D 有无数条，都在平面β内

解题思路：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，选平面ABCD作为平面β，顶点A作为A，选棱A1B1为直线a，过点A与直线a平行的只有棱AB，棱AB在平面β内，故选A。

（作者单位：浙江省海盐理工学校）