利用图式优化数学思想方法的研究

诸锦娟

《数学课程标准》（2011年版）在总目标中指出：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”数学思想对学生认识、分析和解决问题有非常重要的作用，它指引学生如何用数学的眼光、数学的方法去看待事物、提出问题、解决问题。应该说，数学思想方法是数学的灵魂。那么，如何有意识地优化学生的数学思想方法呢？笔者认为，在课堂中可以利用图式引导学生学习，激活学生思维，优化数学思想。

现以苏教版数学六年级上册“解决问题的策略”的教学为例，加以阐述。

一、借助“优学方法导图”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？

师：读题后你获得了哪些信息？你准备怎样来解决这个问题呢？

生1：可以假设10只全是大船。

生2：可以假设10只全是小船。

生3：可以假设一半是大船，一半是小船。

师：同学们提出了三种不同的假设情况，让我们来试试看！

出示优学方法导图：

[借助画图、列表等

方法分析数量关系] [选择一种假设情况，自己尝试画一画，填一填，算一算] [独立思考解答后，

小组探究学习] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.讨论：不同的方法解题时有什么共同的特点]

师：请根据优学图的指引，完成学习单，然后小组交流。

在学习例题前，学生还处于一种“似有所悟”的状态，他们的思考呈现出很多的“碎片”。上述片段中，教师适时出示了“优学方法导图”，帮助学生把这些碎片进行整理，并对学习方法进行优化，让此段的学习进入一个“呈现—纳入—碎片—整理—优化”的过程。这里的“优学方法导图”是一幅学习的流程图，是对学生学习方法的指导。图中用两种颜色进行了区分，绿色方框表示学生独立解决的部分，黄色方框表示小组合作完成的学习内容。学生有了“优学方法导图”的指引，不仅学习步骤清晰了，学习目标也更明确了。

二、利用“优学思维导图”，提炼思路

【片段2】

师：谁愿意来介绍你找到的答案和方法？

生1：我是画图来帮助分析的。先假设10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人数多了8人。因为一条小船被当作大船就会多算2人，8里面有几个2，我就把几条大船调换成小船。

生2：我是画图来思考的。假设10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人数少了12人，12里面有6个2，我就把6条小船调换成大船。

生3：我是列表来分析的。先假设一半是大船，一半是小船，各为5只。再算出假设与实际总人数相差多少，调整后得到大船6只，小船4只。

课堂上，学生发言非常踊跃，呈现出各种不同的解答方法。用画图的方法帮助分析问题的学生都只抽取了与数学有关的“大船”与“小船”的数量特征，而船的具体形态不见了。如果说抽象思维的细胞是概念，形象思维的细胞是表象，那么学生课堂中产生的这些“学习图式”既是形象生动的运演，也是形象思维过渡到抽象思维的一种具体表现。在利用图式导学的过程中，数学思想方法得到了升华。

【片段3】

师：同学们，让我们一起来回顾一下我们是怎样解决这个问题的。

完成板书：

[画图或列表

][假设10只

都是大船][比42人

多几人][一只大船比一

只小船多几人][假设10只都是小船][比42人

少几人][一只大船比一

只小船多几人][调整 验证][假设一半是大船一半是小船][与42人相差几人][一只大船比一只小船多几人]

出示练一练：鸡和兔一共有8只，数一数腿有22条。你知道鸡和兔各有多少只吗？

师：独立解答时如果觉得有困难，可以参照板书的“优学思维导图”，先画一画，再算一算。

生独立完成后，在小组内交流。

师：谁来向大家介绍一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只数；8-3=5（只），求出鸡的只数。我想8只假设都是鸡，就比22条腿少了6条，因为一只兔比一只鸡多2条腿，6里面有几个2，就是有几只兔被看成了鸡。

师相机出示“优学思维导图一”：

[假设都

是鸡] [比22条

少几条] [一只兔比

一只鸡多

几条腿] [调整] [检验]

生2：我把8只假设都是鸡，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只数；8-5=3（只），求出鸡的只数。

师相机出示“优学思维导图二”：

[假设都

是兔] [比22条

多几条] [一只兔比

一只鸡多

几条腿] [调整] [检验]

生3：我是用画图的方法来解答的。

[假设全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（条）][鸡：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：鸡有5只，兔有3只。][假设全部

都是鸡] [16条腿

少6条][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][鸡：8-3=5（只）][答：鸡有5只，

兔有3只。][设全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32条][比原来多了10条][应用5只兔换5只鸡][正确：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22条]

在学完例题后，教师根据学生归纳的思路，完成了板书的“优学思维导图”，这是对学生解题思路的梳理。这幅“优学思维导图”既是学生解题思路的总结图，也是学生练习时思考问题的引导图。

苏霍姆林斯基说：“如果哪个孩子学会了画应用题，我就可以有把握地说，他一定能学会解应用题。”作为老师，我们时常发现学生没有理清数量关系，可这是为什么呢？根源在于学生还没有掌握解题的思考方法。因此，借助“优学思维导图”帮助学生整理信息，理清思路，把抽象的文字语言变成直观的图形语言，对学生学习数学有很大的帮助。

三、构建“隐性思路导图”合理运用

【片段4】

练一练2 六年级学生制作了176件蝴蝶标本，分别在13块展板上展出。每块小展板贴8件，每块大展板贴20件，各有几块？

师：估一估大、小展板可能各有几块？你是怎么想的？

师：用你喜欢的方法算一算。

学生汇报，集体交流。

生1：我是这么想的：假设13块全是大展板，就比176多多少件标本呢？再想……

生2：我是这么想的：假设13块全是小展板，就比176少多少件标本呢？再想……

从学生的回答可以发现，学生已经把板书呈现的“优学思维导图”，逐步过渡到在脑海中形成一幅隐性的思路导图，并能利用这样一幅隐性图式，在具体解决问题的过程中合理、灵活地运用。教师在巡视学生的解法时，发现班级中绝大多数学生都不再需要借助列表或画图的方法来分析了。这就说明，学生对策略的理解和运用已经越来越娴熟了。

钢琴教育家但昭义先生曾说：“过了一段时间，孩子可能不再弹钢琴了，但是，音乐已经留在他的心底。”由此及彼，数学课堂应该最终留给孩子什么呢？我想应该是数学思想方法。一旦学业结束，时过境迁，某些知识、技巧可能被遗忘，但是数学思想方法已经积淀在他们心底，照亮他们前进的道路。纵观整节课，数学思想方法蕴含在知识的构建、发展和运用中。先通过“优学方法导图”的指引自主学习；再通过小组探究概括出“优学思维导图”，提炼出解题思路；最后过渡到在脑海中形成“隐性思路导图”。整个学习过程，既优化了认知结构，又体现了数学思想方法。我想：这就是数学课的魅力所在，也是我们永远追寻的优质课堂的“根”。?endprint

《数学课程标准》（2011年版）在总目标中指出：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”数学思想对学生认识、分析和解决问题有非常重要的作用，它指引学生如何用数学的眼光、数学的方法去看待事物、提出问题、解决问题。应该说，数学思想方法是数学的灵魂。那么，如何有意识地优化学生的数学思想方法呢？笔者认为，在课堂中可以利用图式引导学生学习，激活学生思维，优化数学思想。

现以苏教版数学六年级上册“解决问题的策略”的教学为例，加以阐述。

一、借助“优学方法导图”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？

师：读题后你获得了哪些信息？你准备怎样来解决这个问题呢？

生1：可以假设10只全是大船。

生2：可以假设10只全是小船。

生3：可以假设一半是大船，一半是小船。

师：同学们提出了三种不同的假设情况，让我们来试试看！

出示优学方法导图：

[借助画图、列表等

方法分析数量关系] [选择一种假设情况，自己尝试画一画，填一填，算一算] [独立思考解答后，

小组探究学习] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.讨论：不同的方法解题时有什么共同的特点]

师：请根据优学图的指引，完成学习单，然后小组交流。

在学习例题前，学生还处于一种“似有所悟”的状态，他们的思考呈现出很多的“碎片”。上述片段中，教师适时出示了“优学方法导图”，帮助学生把这些碎片进行整理，并对学习方法进行优化，让此段的学习进入一个“呈现—纳入—碎片—整理—优化”的过程。这里的“优学方法导图”是一幅学习的流程图，是对学生学习方法的指导。图中用两种颜色进行了区分，绿色方框表示学生独立解决的部分，黄色方框表示小组合作完成的学习内容。学生有了“优学方法导图”的指引，不仅学习步骤清晰了，学习目标也更明确了。

二、利用“优学思维导图”，提炼思路

【片段2】

师：谁愿意来介绍你找到的答案和方法？

生1：我是画图来帮助分析的。先假设10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人数多了8人。因为一条小船被当作大船就会多算2人，8里面有几个2，我就把几条大船调换成小船。

生2：我是画图来思考的。假设10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人数少了12人，12里面有6个2，我就把6条小船调换成大船。

生3：我是列表来分析的。先假设一半是大船，一半是小船，各为5只。再算出假设与实际总人数相差多少，调整后得到大船6只，小船4只。

课堂上，学生发言非常踊跃，呈现出各种不同的解答方法。用画图的方法帮助分析问题的学生都只抽取了与数学有关的“大船”与“小船”的数量特征，而船的具体形态不见了。如果说抽象思维的细胞是概念，形象思维的细胞是表象，那么学生课堂中产生的这些“学习图式”既是形象生动的运演，也是形象思维过渡到抽象思维的一种具体表现。在利用图式导学的过程中，数学思想方法得到了升华。

【片段3】

师：同学们，让我们一起来回顾一下我们是怎样解决这个问题的。

完成板书：

[画图或列表

][假设10只

都是大船][比42人

多几人][一只大船比一

只小船多几人][假设10只都是小船][比42人

少几人][一只大船比一

只小船多几人][调整 验证][假设一半是大船一半是小船][与42人相差几人][一只大船比一只小船多几人]

出示练一练：鸡和兔一共有8只，数一数腿有22条。你知道鸡和兔各有多少只吗？

师：独立解答时如果觉得有困难，可以参照板书的“优学思维导图”，先画一画，再算一算。

生独立完成后，在小组内交流。

师：谁来向大家介绍一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只数；8-3=5（只），求出鸡的只数。我想8只假设都是鸡，就比22条腿少了6条，因为一只兔比一只鸡多2条腿，6里面有几个2，就是有几只兔被看成了鸡。

师相机出示“优学思维导图一”：

[假设都

是鸡] [比22条

少几条] [一只兔比

一只鸡多

几条腿] [调整] [检验]

生2：我把8只假设都是鸡，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只数；8-5=3（只），求出鸡的只数。

师相机出示“优学思维导图二”：

[假设都

是兔] [比22条

多几条] [一只兔比

一只鸡多

几条腿] [调整] [检验]

生3：我是用画图的方法来解答的。

[假设全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（条）][鸡：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：鸡有5只，兔有3只。][假设全部

都是鸡] [16条腿

少6条][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][鸡：8-3=5（只）][答：鸡有5只，

兔有3只。][设全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32条][比原来多了10条][应用5只兔换5只鸡][正确：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22条]

在学完例题后，教师根据学生归纳的思路，完成了板书的“优学思维导图”，这是对学生解题思路的梳理。这幅“优学思维导图”既是学生解题思路的总结图，也是学生练习时思考问题的引导图。

苏霍姆林斯基说：“如果哪个孩子学会了画应用题，我就可以有把握地说，他一定能学会解应用题。”作为老师，我们时常发现学生没有理清数量关系，可这是为什么呢？根源在于学生还没有掌握解题的思考方法。因此，借助“优学思维导图”帮助学生整理信息，理清思路，把抽象的文字语言变成直观的图形语言，对学生学习数学有很大的帮助。

三、构建“隐性思路导图”合理运用

【片段4】

练一练2 六年级学生制作了176件蝴蝶标本，分别在13块展板上展出。每块小展板贴8件，每块大展板贴20件，各有几块？

师：估一估大、小展板可能各有几块？你是怎么想的？

师：用你喜欢的方法算一算。

学生汇报，集体交流。

生1：我是这么想的：假设13块全是大展板，就比176多多少件标本呢？再想……

生2：我是这么想的：假设13块全是小展板，就比176少多少件标本呢？再想……

从学生的回答可以发现，学生已经把板书呈现的“优学思维导图”，逐步过渡到在脑海中形成一幅隐性的思路导图，并能利用这样一幅隐性图式，在具体解决问题的过程中合理、灵活地运用。教师在巡视学生的解法时，发现班级中绝大多数学生都不再需要借助列表或画图的方法来分析了。这就说明，学生对策略的理解和运用已经越来越娴熟了。

钢琴教育家但昭义先生曾说：“过了一段时间，孩子可能不再弹钢琴了，但是，音乐已经留在他的心底。”由此及彼，数学课堂应该最终留给孩子什么呢？我想应该是数学思想方法。一旦学业结束，时过境迁，某些知识、技巧可能被遗忘，但是数学思想方法已经积淀在他们心底，照亮他们前进的道路。纵观整节课，数学思想方法蕴含在知识的构建、发展和运用中。先通过“优学方法导图”的指引自主学习；再通过小组探究概括出“优学思维导图”，提炼出解题思路；最后过渡到在脑海中形成“隐性思路导图”。整个学习过程，既优化了认知结构，又体现了数学思想方法。我想：这就是数学课的魅力所在，也是我们永远追寻的优质课堂的“根”。?endprint

《数学课程标准》（2011年版）在总目标中指出：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。”数学思想对学生认识、分析和解决问题有非常重要的作用，它指引学生如何用数学的眼光、数学的方法去看待事物、提出问题、解决问题。应该说，数学思想方法是数学的灵魂。那么，如何有意识地优化学生的数学思想方法呢？笔者认为，在课堂中可以利用图式引导学生学习，激活学生思维，优化数学思想。

现以苏教版数学六年级上册“解决问题的策略”的教学为例，加以阐述。

一、借助“优学方法导图”，探究新知

【片段一】

出示例1：全班42人去公园划船，一共租用了10只船。每只大船坐5人，每只小船坐3人。租用的大船和小船各有几只？

师：读题后你获得了哪些信息？你准备怎样来解决这个问题呢？

生1：可以假设10只全是大船。

生2：可以假设10只全是小船。

生3：可以假设一半是大船，一半是小船。

师：同学们提出了三种不同的假设情况，让我们来试试看！

出示优学方法导图：

[借助画图、列表等

方法分析数量关系] [选择一种假设情况，自己尝试画一画，填一填，算一算] [独立思考解答后，

小组探究学习] [1.交流：你找到的答案和方法] [2.讨论：不同的方法解题时有什么共同的特点]

师：请根据优学图的指引，完成学习单，然后小组交流。

在学习例题前，学生还处于一种“似有所悟”的状态，他们的思考呈现出很多的“碎片”。上述片段中，教师适时出示了“优学方法导图”，帮助学生把这些碎片进行整理，并对学习方法进行优化，让此段的学习进入一个“呈现—纳入—碎片—整理—优化”的过程。这里的“优学方法导图”是一幅学习的流程图，是对学生学习方法的指导。图中用两种颜色进行了区分，绿色方框表示学生独立解决的部分，黄色方框表示小组合作完成的学习内容。学生有了“优学方法导图”的指引，不仅学习步骤清晰了，学习目标也更明确了。

二、利用“优学思维导图”，提炼思路

【片段2】

师：谁愿意来介绍你找到的答案和方法？

生1：我是画图来帮助分析的。先假设10只全是大船，每只大船坐5人，共可以坐50人，比全班人数多了8人。因为一条小船被当作大船就会多算2人，8里面有几个2，我就把几条大船调换成小船。

生2：我是画图来思考的。假设10只全是小船，每只小船坐3人，共可以坐30人。比全班人数少了12人，12里面有6个2，我就把6条小船调换成大船。

生3：我是列表来分析的。先假设一半是大船，一半是小船，各为5只。再算出假设与实际总人数相差多少，调整后得到大船6只，小船4只。

课堂上，学生发言非常踊跃，呈现出各种不同的解答方法。用画图的方法帮助分析问题的学生都只抽取了与数学有关的“大船”与“小船”的数量特征，而船的具体形态不见了。如果说抽象思维的细胞是概念，形象思维的细胞是表象，那么学生课堂中产生的这些“学习图式”既是形象生动的运演，也是形象思维过渡到抽象思维的一种具体表现。在利用图式导学的过程中，数学思想方法得到了升华。

【片段3】

师：同学们，让我们一起来回顾一下我们是怎样解决这个问题的。

完成板书：

[画图或列表

][假设10只

都是大船][比42人

多几人][一只大船比一

只小船多几人][假设10只都是小船][比42人

少几人][一只大船比一

只小船多几人][调整 验证][假设一半是大船一半是小船][与42人相差几人][一只大船比一只小船多几人]

出示练一练：鸡和兔一共有8只，数一数腿有22条。你知道鸡和兔各有多少只吗？

师：独立解答时如果觉得有困难，可以参照板书的“优学思维导图”，先画一画，再算一算。

生独立完成后，在小组内交流。

师：谁来向大家介绍一下你是怎么做的，又是怎么想的？

生1：我用（22-2×8）÷（4-2）=3（只），求出兔的只数；8-3=5（只），求出鸡的只数。我想8只假设都是鸡，就比22条腿少了6条，因为一只兔比一只鸡多2条腿，6里面有几个2，就是有几只兔被看成了鸡。

师相机出示“优学思维导图一”：

[假设都

是鸡] [比22条

少几条] [一只兔比

一只鸡多

几条腿] [调整] [检验]

生2：我把8只假设都是鸡，用（4×8-22）÷（4-2）=5（只），求出兔的只数；8-5=3（只），求出鸡的只数。

师相机出示“优学思维导图二”：

[假设都

是兔] [比22条

多几条] [一只兔比

一只鸡多

几条腿] [调整] [检验]

生3：我是用画图的方法来解答的。

[假设全部

都是兔。] [5×2+3×4=22（条）][鸡：（8×4-22）÷（4-2）][=10÷2

=5（只）][兔：8-5=3（只）][答：鸡有5只，兔有3只。][假设全部

都是鸡] [16条腿

少6条][兔：（22-8×2）÷（4-2）][=（22-16）÷2

=6÷2

=3（只）][鸡：8-3=5（只）][答：鸡有5只，

兔有3只。][设全部是兔] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [32条][比原来多了10条][应用5只兔换5只鸡][正确：] [2] [2] [2] [2] [4] [4] [4] [4] [22条]

在学完例题后，教师根据学生归纳的思路，完成了板书的“优学思维导图”，这是对学生解题思路的梳理。这幅“优学思维导图”既是学生解题思路的总结图，也是学生练习时思考问题的引导图。

苏霍姆林斯基说：“如果哪个孩子学会了画应用题，我就可以有把握地说，他一定能学会解应用题。”作为老师，我们时常发现学生没有理清数量关系，可这是为什么呢？根源在于学生还没有掌握解题的思考方法。因此，借助“优学思维导图”帮助学生整理信息，理清思路，把抽象的文字语言变成直观的图形语言，对学生学习数学有很大的帮助。

三、构建“隐性思路导图”合理运用

【片段4】

练一练2 六年级学生制作了176件蝴蝶标本，分别在13块展板上展出。每块小展板贴8件，每块大展板贴20件，各有几块？

师：估一估大、小展板可能各有几块？你是怎么想的？

师：用你喜欢的方法算一算。

学生汇报，集体交流。

生1：我是这么想的：假设13块全是大展板，就比176多多少件标本呢？再想……

生2：我是这么想的：假设13块全是小展板，就比176少多少件标本呢？再想……

从学生的回答可以发现，学生已经把板书呈现的“优学思维导图”，逐步过渡到在脑海中形成一幅隐性的思路导图，并能利用这样一幅隐性图式，在具体解决问题的过程中合理、灵活地运用。教师在巡视学生的解法时，发现班级中绝大多数学生都不再需要借助列表或画图的方法来分析了。这就说明，学生对策略的理解和运用已经越来越娴熟了。

钢琴教育家但昭义先生曾说：“过了一段时间，孩子可能不再弹钢琴了，但是，音乐已经留在他的心底。”由此及彼，数学课堂应该最终留给孩子什么呢？我想应该是数学思想方法。一旦学业结束，时过境迁，某些知识、技巧可能被遗忘，但是数学思想方法已经积淀在他们心底，照亮他们前进的道路。纵观整节课，数学思想方法蕴含在知识的构建、发展和运用中。先通过“优学方法导图”的指引自主学习；再通过小组探究概括出“优学思维导图”，提炼出解题思路；最后过渡到在脑海中形成“隐性思路导图”。整个学习过程，既优化了认知结构，又体现了数学思想方法。我想：这就是数学课的魅力所在，也是我们永远追寻的优质课堂的“根”。?endprint