广义Calderón-Zygmund算子与加权Lipschitz函数生成交换子的端点有界性

孙 杰

(牡丹江师范学院 理学院，黑龙江 牡丹江 157011)

广义Calderón-Zygmund算子与加权Lipschitz函数生成交换子的端点有界性

孙 杰

(牡丹江师范学院 理学院，黑龙江 牡丹江 157011)

主要研究了广义Calderón-Zygmund算子与加权Lipschitz函数生成的交换子是从Ln/β(ω)到BMO(ω)有界的.

广义Calderón-Zygmund算子；加权Lipschitz空间；加权BMO空间；交换子；权函数

1 引言与结果

文[1]引入了如下的广义Calderón-Zygmund算子.

定义1[1]用F(Rn)表示Rn(n≥2)上所有Schwartz函数构成的空间.F′(Rn)是它的对偶空间.设T：F(Rn)→F′(Rn)是核为K(·，·)的线性算子定义为

称算子T是一个广义Calderón-Zygmund算子，如果它满足如下性质：

(1)T是可以延拓为L2(Rn)上的有界算子；

(2)K在除对角线{(x,y)∈Rn：x=y}外光滑且满足

(1)

这里C>0是不依赖于y和z的常数；

(3)存在一列非负的常数{μj}，使得∀j∈N

(2)

(3)

不难看出定义1中的广义Calderón-Zygmund算子为通常的Calderón-Zygmund算子的推广[2].文献[1]和[3]研究了广义Calderón-Zygmund算子在加权Lp(Rn)空间以及加权Hardy空间上的有界性.

把广义Calderón-Zygmund算子T与函数b生成的交换子定义为

[b,T]f(x)=b(x)T(f)(x)-T(bf)(x).

2007年，Hu和Gu在文[4]中研究了具有标准核的奇异积分算子与加权Lipschitz函数生成的交换子是从Lp(μ)到Lq(μ1-q)有界的.2009年，文[5]研究了当1

本文将研究广义Calderón-Zygmund算子与加权Lipschitz函数生成的交换子在端点p=n/β时的加权有界性.为叙述本文的结果，首先回忆几个定义和引理.

定义A∞=∪p≥1Ap.把满足上面不等式的最小常数C称为ω的Ap权常数，记为[ω]Ap.

定义3[9]设ω∈A∞，我们称一个局部可积函数b(x)属于加权BMO(ω)类，如果对于任意球体B，存在常数C>0，使得

满足上式最小的C记为‖b‖*ω.

定义4[10]设ω∈Ap(1≤p<∞)，如果存在ε>1和一个固定常数C>0，对于任意球体B⊂Rn有

则称ω满足反向Hølder不等式，记为ω(x)∈RHε.

‖[b,T]f‖*ω≤C‖b‖Lipβ,ω‖f‖Ln/β(ω).

2 预备知识及引理

证明一方面，取λ=fB，有

另一方面，

对λ取下确界，然后对B取上确界，有

引理2[11]设ω∈A1，则对于球B的任何可测子集E，存在常数C1，C2>0和0<δ<1，使得

成立.如果ω(x)是常值函数，则δ=1，如果ω(x)不是常值函数，则0<δ<1.

引理3[1]设T是定义1中的广义Calderón-Zygmund算子，如果{μj}∈l1，且ω(x)∈A1∩RHγ′，则

由定义4，利用Hølder不等式可得如下引理.

引理4当1

3 定理的证明

定理1的证明由引理1，只须证明对于任何球体B⊂Rn，总存在常数λ，使得

其中C>0是与f,b,B,λ,ω无关的常数.设B=B(x0,R)是Rn中任意给定的球体.对于f∈Ln/β(ω)，令f1(x)=fχ8B(x),f2(x)=fχ(8B)C(x),，则f(x)=f1(x)+f2(x),于是

=I+J.

对于J，取λ=(T((b-b8B)f2))B，

下面分别估计J1和J2，对于J1，由于n≥2，0<β<1，有n/β>2，使用Hølder不等式，引理3及引理5，有

下面估计J2，对于任意的x,y∈B，设Bj={z∈Rn:|x-z|<2j+1|y-x|}，于是BjBj-1={z∈Rn:2j|y-x|≤|x-z|<2j+1|y-x|}，应用Hølder不等式，有

对于K1，使用式(3)对核进行估计，对于1<γ′

综上所述定理得证.

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WeightedEndpointEstimateforCommutatorofGeneralizedCalderón-ZygmundOperator

Sun Jie

(College of Science, Mudanjiang Normal University, Mudanjiang 157011, China)

In this paper we studied the commutator generated by weighted Lipschitz function and generalized Calderón-Zygmund operator was bounded fromLn/β(ω)to BMO(ω).

generalized Calderón-Zygmund operators; weighted Lipschitz space; weighted BMO space; commutator; weighted function

2013-10-14

牡丹江师范学院省级重点创新预研项目(SY201325)；黑龙江省科技厅科学技术研究项目(12531720).

孙杰(1980-)，女，黑龙江牡丹江市人，讲师，博士在读，研究方向：调和分析及小波.

孙杰.广义Calderón-Zygmund算子与加权Lipschitz函数生成交换子的端点有界性[J].安徽师范大学学报：自然科学版，2014，37(4)：325-329.

O174.2

A

1001-2443(2014)04-0325-05