关于几个同余命题的分析与证明李新社
2014-08-20 06:27姚俊萍
新课程·中旬 2014年6期
姚俊萍
摘 要：首先分析了中国剩余定理推广原理的证明过程，指出该证明过程没有证明解的唯一性，并补充了解的唯一性证明过程；然后给出了构造一个新排列的算法原理，指出该算法的重要性；最后针对二次互反律证明过程冗长难懂的事实，给出了其关键性证明环节的一种新型证明方法。
关键词：同余命题；中国剩余定理；二次互反律
众所周知，中国剩余定理在初等数论中具有重要的地位，它的应用非常广泛，但中国剩余定理原型中各个模数是互素的，推
广原理中个模数可以不是互素的，但文献[1，2]中给出的证明过程在论述解唯一性时，笔者认为含糊且不清楚，本文给出另外一种证明过程，并用逻辑推理证明了解的唯一性。
一、中国剩余定理推广原理证明过程的分析及其重新证明
定理1：设d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式组x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）
有解的充要条件是d/a1-a2，当此条件成立时，恰好有一个解x≡b（modm）。
上面证明过程思路由文献给出，“因r的唯一性，所以a2+mr
也是唯一的”这难以理解，因为它们分别基于不同的模。另外证明过程中，针对同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程应该有d个不同解，这d个不同解起的作用是否相同，为何导致最终只有唯一解？
下面给出另一种证明过程，其中必要性与上面一样，核心是充分性。
二、序列1，2，…，（m-1）/2的一个排列的构造算法及其证明
定理2：设m≥3是正奇数，a是整数，（a，m）=1，如果整数ak
三、一种二次互反律关键性证明环节的新型证明方法
文献[1，2]里的二次互反律证明环节都比较冗长难懂，这里将其核心关键部分抽取出来形成定理，并给出一种简单而有效的新型证明方法。
四、定理应用分析
定理1的重新证明不仅使我们在应用中国剩余定理时更加自信和灵活，并且明白求得结果唯一，还是我们认识到文献给出的解构造也是正确的。
定理2算法的构造和证明不仅对研究同余命题有支持和诱导作用，而且相对于文献介绍相关内容时所给出的奇素数限制放宽了条件。
定理3抽取和形成对于二次互反律的证明有着较强的支持作用，而且可对进一步研究相关理论和应用二次互反律奠定基础。
本文对中国剩余定理推广原理的证明过程进行了分析和重新证明；给出了构造一个新排列的算法原理并证明了该算法原
理；提炼出了一个有助于二次互反律证明的命题并给出了一种新的证明方法。
参考文献：
[1]胡典顺，徐汉文.初等数论[M].科学出版社，2010-06.
[2]张文鹏，李海龙.初等数论[M].陕西师范大学出版社，2010-06.
（作者单位 陕西省西安高新技术研究所）
编辑 马燕萍endprint
摘 要：首先分析了中国剩余定理推广原理的证明过程，指出该证明过程没有证明解的唯一性，并补充了解的唯一性证明过程；然后给出了构造一个新排列的算法原理，指出该算法的重要性；最后针对二次互反律证明过程冗长难懂的事实，给出了其关键性证明环节的一种新型证明方法。
关键词：同余命题；中国剩余定理；二次互反律
众所周知，中国剩余定理在初等数论中具有重要的地位，它的应用非常广泛，但中国剩余定理原型中各个模数是互素的，推
广原理中个模数可以不是互素的，但文献[1，2]中给出的证明过程在论述解唯一性时，笔者认为含糊且不清楚，本文给出另外一种证明过程，并用逻辑推理证明了解的唯一性。
一、中国剩余定理推广原理证明过程的分析及其重新证明
定理1：设d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式组x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）
有解的充要条件是d/a1-a2，当此条件成立时，恰好有一个解x≡b（modm）。
上面证明过程思路由文献给出，“因r的唯一性，所以a2+mr
也是唯一的”这难以理解，因为它们分别基于不同的模。另外证明过程中，针对同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程应该有d个不同解，这d个不同解起的作用是否相同，为何导致最终只有唯一解？
下面给出另一种证明过程，其中必要性与上面一样，核心是充分性。
二、序列1，2，…，（m-1）/2的一个排列的构造算法及其证明
定理2：设m≥3是正奇数，a是整数，（a，m）=1，如果整数ak
三、一种二次互反律关键性证明环节的新型证明方法
文献[1，2]里的二次互反律证明环节都比较冗长难懂，这里将其核心关键部分抽取出来形成定理，并给出一种简单而有效的新型证明方法。
四、定理应用分析
定理1的重新证明不仅使我们在应用中国剩余定理时更加自信和灵活，并且明白求得结果唯一，还是我们认识到文献给出的解构造也是正确的。
定理2算法的构造和证明不仅对研究同余命题有支持和诱导作用，而且相对于文献介绍相关内容时所给出的奇素数限制放宽了条件。
定理3抽取和形成对于二次互反律的证明有着较强的支持作用，而且可对进一步研究相关理论和应用二次互反律奠定基础。
本文对中国剩余定理推广原理的证明过程进行了分析和重新证明；给出了构造一个新排列的算法原理并证明了该算法原
理；提炼出了一个有助于二次互反律证明的命题并给出了一种新的证明方法。
参考文献：
[1]胡典顺，徐汉文.初等数论[M].科学出版社，2010-06.
[2]张文鹏，李海龙.初等数论[M].陕西师范大学出版社，2010-06.
（作者单位 陕西省西安高新技术研究所）
编辑 马燕萍endprint
摘 要：首先分析了中国剩余定理推广原理的证明过程，指出该证明过程没有证明解的唯一性，并补充了解的唯一性证明过程；然后给出了构造一个新排列的算法原理，指出该算法的重要性；最后针对二次互反律证明过程冗长难懂的事实，给出了其关键性证明环节的一种新型证明方法。
关键词：同余命题；中国剩余定理；二次互反律
众所周知，中国剩余定理在初等数论中具有重要的地位，它的应用非常广泛，但中国剩余定理原型中各个模数是互素的，推
广原理中个模数可以不是互素的，但文献[1，2]中给出的证明过程在论述解唯一性时，笔者认为含糊且不清楚，本文给出另外一种证明过程，并用逻辑推理证明了解的唯一性。
一、中国剩余定理推广原理证明过程的分析及其重新证明
定理1：设d=（m1，m2），m=[m1，m2]，同余式组x≡a1（modm1）x≡a2（modm2）
有解的充要条件是d/a1-a2，当此条件成立时，恰好有一个解x≡b（modm）。
上面证明过程思路由文献给出，“因r的唯一性，所以a2+mr
也是唯一的”这难以理解，因为它们分别基于不同的模。另外证明过程中，针对同余方程m2y≡a1-a2（modm1），因d=（m1，m2）/（a1-a2），所以此同余方程应该有d个不同解，这d个不同解起的作用是否相同，为何导致最终只有唯一解？
下面给出另一种证明过程，其中必要性与上面一样，核心是充分性。
二、序列1，2，…，（m-1）/2的一个排列的构造算法及其证明
定理2：设m≥3是正奇数，a是整数，（a，m）=1，如果整数ak
三、一种二次互反律关键性证明环节的新型证明方法
文献[1，2]里的二次互反律证明环节都比较冗长难懂，这里将其核心关键部分抽取出来形成定理，并给出一种简单而有效的新型证明方法。
四、定理应用分析
定理1的重新证明不仅使我们在应用中国剩余定理时更加自信和灵活，并且明白求得结果唯一，还是我们认识到文献给出的解构造也是正确的。
定理2算法的构造和证明不仅对研究同余命题有支持和诱导作用，而且相对于文献介绍相关内容时所给出的奇素数限制放宽了条件。
定理3抽取和形成对于二次互反律的证明有着较强的支持作用，而且可对进一步研究相关理论和应用二次互反律奠定基础。
本文对中国剩余定理推广原理的证明过程进行了分析和重新证明；给出了构造一个新排列的算法原理并证明了该算法原
理；提炼出了一个有助于二次互反律证明的命题并给出了一种新的证明方法。
参考文献：
[1]胡典顺，徐汉文.初等数论[M].科学出版社，2010-06.
[2]张文鹏，李海龙.初等数论[M].陕西师范大学出版社，2010-06.
（作者单位 陕西省西安高新技术研究所）
编辑 马燕萍endprint
