用U—I图像突破电路疑难问题刘小训

须雪忠

摘 要：图像法是解决物理问题的直观而有效的工具。结合具体实例运用U-I图像巧妙而成功地突破了“分析电路的恒量与变量”“分析电路的功率与效率”“确定非线性元件的工作点”“分析电学实验的系统误差”等电路疑难问题。

关键词：U-I图像；电路；问题

一、U-I图像的意义

1.电阻的U-I图像

对于线性电阻，U-I图像为过原点的直线，图像的斜率即为各状态下导体的电阻值，由图像可知R===tan？兹，而对于非线性电阻（如小灯泡的灯丝电阻），U-I图像为过原点的曲线，图像上各点与坐标原点的连线（过原点的割线）的斜率即为各状态下导体的电阻值，由图像可知R=tan？兹≠=tanα。

2.电源的U-I图像

由函数式U=E-Ir可知，电源的U-I图像（也称电源的外特征曲线）通常为向下倾斜的直线，图像上各点与坐标原点的连线的斜率即为各状态下外电阻的阻值，而图像的斜率则为电源的内电阻。由图像可以看出：tan？兹1==R1≠tan？兹2==R2、tan？琢===r，即不同状态下外电阻的阻值各不相同，但同一电源的内电阻是不变的（中学阶段电路所用电源通常认为是理想电源）。此外，电源的U-I图像（外特征曲线）还有着更为丰富的内涵，反映着电源多方面的特性：如图2乙所示，图线与纵轴的交点表示电源电动势的大小（断路状态时的路端电压）；图线与横轴的交点表示短路电流；斜画线所示“面积”表示某一工作状态下的输出功率，四边形U断OI0所围“面积”表示电源的总功率，四边形U断OPU所围“面积”则表示电源内阻消耗的热功率，当U=时，电源的输出功率最大。

二、U-I图像的应用

1.用U-I图像分析电路的恒量与变量

例1.（2006 上海物理卷）在如图3所示电路中，闭合电键S，当滑动变阻器的滑动触头P向下滑动时，四个理想电表的示数都发生变化，电表的示数分别用I、U1、U2和U3表示，电表示数变化量的大小分别用ΔI、ΔU1、ΔU2和ΔU3表示，下列比值正确的是

（ ）。

A.U1/I不变，ΔU1/ΔI不变 B.U2/I变大，ΔU2/ΔI变大

C.U2/I变大，ΔU2/ΔI不变 D.U3/I变大，ΔU3/ΔI不变

解析：由于是串联回路，电流表测得的是流经各部分电路的电流，电压表测得的是定值电阻R1两端的电压，由线性电阻的U-I图像（如图1甲所示）可知：U1/I=ΔU1/ΔI=R1是不变的；电压表测得的是电源两端的电压（即路端电压），由电源的U-I图像可知：U3/I为外电路的总电阻R1+R2，将随滑动触头P向下滑动而增大，但ΔU3/ΔI为电源的内电阻r，显然是不变的；电压表测得的是可变电阻R2两端的电压，若将定值电阻R1等效地放入电源内电阻，则测得的电压将变成等效路端电压，同样由电源的U-I图像可知：U2/I为等效外电阻R2，也将随滑动触头P向下滑动而增大，但ΔU2/ΔI为电源的等效内电阻r+R1，显然也是不变的。故正确答案为A、C、D。

点评：本题很好地考查了学生对内外电路局部与整体关系的

把握能力以及电路变化过程中恒量与变量的分析水平。不少学生能分析U1/I、ΔU1/ΔI、U2/I、U3/I的变化情况，但分析ΔU2/ΔI、ΔU3/ΔI是否改变则感到非常困难。采用U-I图像辅助分析则使学生对这一错综复杂的疑难问题有了直观而本质的认识。

2.用U-I图像分析电路的功率与效率

例2.如图4所示，R1为定值电阻，R2为可变电阻，E为电源电动势，r为电源内电阻，若R1>r，可变电阻的总阻值为R2>R1+r，则当R2调至何值时，（1）电源的输出功率最大？（2）R2获得的功率最大？（3）R1获得的功率最大？（4）电源的工作效率最高？

解析：如图5甲所示，a为外电阻的U-I图线，b为电源的U-I图线，由数学知识不难得到当a图线的倾角？兹与b图线的倾角？琢越接近的时候斜画线所示“面积”越大，即外电阻越接近内电阻的

时候，电源的输出功率越大；而当甲图线的倾角？兹与乙图线的倾角？琢相等的时候斜画线所示“面积”最大，即外电阻等于内电阻的时候，电源的输出功率最大。因此当R2调至零（外电阻R1+R2最接近内阻r）时，电源的输出功率为实际的最大值；当R2调至R2=R1+r时，R2获得的功率最大（将定值电阻R1等效地放入电源内电阻，R2获得的功率即为等效电源的输出功率，此时图线a的斜率为R2，图线b的斜率为R1+r）；当R2调至零时，R1获得的功率最大[将可变电阻R2等效地放入电源内电阻，如图5乙所示，a为定值外电阻R1的U-I图线，b为内阻可变等效电源（电动势E，内阻R2+r）的U-I图线，当b图线的斜率越小即等效内阻越小时，工作点越高，斜画线所示面积越大，外电阻R1获得的功率越大]；电源的工作效率？浊=×100%=×100%，由图5甲不难看出，当a图线的斜率越大即外电阻越大时，工作电压（路端电压）U越大，电源的工作效率越高，因此当R2调至阻值最大时，电源的工作效率最高。

点评：解答此题的一般思路是先研究输出功率与外电阻的关系：P出=I2R=≤，得出当R=r时，输出功率最大为P出max=。但在回答第一问时就会遇到无法获得理论上最大输出值的疑难，为了让学生直观地认识到输出功率与外电阻的定性与定量关系，教师往往要介绍P出-R图像。由前述函数式可知，输出功率与外电阻是非线性关系，图线较难描绘，若给出大致的图线，学生将信将疑，不利于知识的有效顺应。如果运用U-I图像进行分析，则可以通过工作点的变化动态把握电路的供电与供能情况。

3.用U-I图像确定非线性元件的工作点

例3.（2004 上海物理卷）小灯泡灯丝的电阻会随温度的升高而变大。某同学为研究这一现象，用实验得到如下数据（I和U分别表示小灯泡上的电流和电压）：endprint

（1）在左下框中画出实验电路图。可用的器材有：电压表、电流表、滑线变阻器（变化范围0～10 Ω）、电源、小灯泡、电键、导线

若干。

（2）在右图中画出小灯泡的U-I曲线。

（3）如果将本题中的小灯泡接在电动势是1.5 V，内阻是2.0 Ω的电池两端，小灯泡的实际功率是多少？（简要写出求解过程；若需作图，可直接画在第（2）小题的方格图中）

解析：根据实验数据绘出小灯泡的U-I图线，如图6所示，显然是非线性的，即不同工作状态下其电阻值是变化的，因此要计算其实际功率，工作状态的确定是一难点。我们可在同一坐标系中作出电源的U-I图线，该图线与小灯泡的U-I曲线的交点即为反映此电源对上述小灯泡供电时工作状态的工作点，由此可得小灯泡的工作电流为0.35 A，工作电压为0.80 V，实际功率为0.28 W。

点评：本题第（3）问对实验数据的处理进行了拓展、延伸，很好地考查了学生对电阻和电源的U-I图线的理解和应用能力，那些只知道死套公式的学生，面对这样非常规的问题往往是束手无策的。

4.用U-I图像分析电学实验的系统误差

例4.试分析以下两种“测定电池的电动势和内阻”实验电路的系统误差。

解析：采用图7甲所示电路进行测量时，由于电压表的分流作用，电流表读数将小于通过电池的电流，从而产生系统误差。设电压表读数为U测，电流表读数为I测，电压表的内阻为RV，通过电压表的电流为IV，电池电动势的真实值为E，电池内阻的真实值为r，则由图7甲电路分析可得U测=E-（I测+IV）r，其中IV=，所以有U测=E-（I测+）r，整理可得U测=E-I测，由此函数式可知，在由实验测得的多组U测、I测数据描点画出的U-I图像上，图线纵截距和斜率大小分别为E测=E， r测=，与理论上的图线比较可以看出：电动势和内阻的测量值均偏小；而采用图7乙所示电路进行测量时，系统误差则主要来源于电流表的分压作用（电压表读数小于路端电压）。设电流表的内阻为RA，电压表和电流表的读数分别为U测和I测，则由图7乙电路分析可得U测=E-I测（RA+r），由此函数式可知，在由实验测得的多组U测、I测数据描点画出的U-I图像上，图线纵截距和斜率大小分别为E测=E，r测=r+RA，与理论上的图线比较可以看出：电动势的测量值是准确的，内阻的测量值偏大。

点评：电学实验系统误差的分析是学生学习中的难点，借助于电源的U-I图像，可以使学生在领会“测定电池的电动势和内阻”实验原理的基础上，直观而又深刻地认识到系统误差的产生以及相应实验电路的优化选择（设计）：为了减小系统误差，当电压表内阻远大于电池内阻时（如实验室常用的干电池），应采用图7甲所示电路；而当电流表内阻远小于电池内阻时（如水果电池），应采用图7乙所示电路。

（作者单位 浙江省杭州市第四中学）

编辑 谢尾合endprint

（1）在左下框中画出实验电路图。可用的器材有：电压表、电流表、滑线变阻器（变化范围0～10 Ω）、电源、小灯泡、电键、导线

若干。

（2）在右图中画出小灯泡的U-I曲线。

（3）如果将本题中的小灯泡接在电动势是1.5 V，内阻是2.0 Ω的电池两端，小灯泡的实际功率是多少？（简要写出求解过程；若需作图，可直接画在第（2）小题的方格图中）

解析：根据实验数据绘出小灯泡的U-I图线，如图6所示，显然是非线性的，即不同工作状态下其电阻值是变化的，因此要计算其实际功率，工作状态的确定是一难点。我们可在同一坐标系中作出电源的U-I图线，该图线与小灯泡的U-I曲线的交点即为反映此电源对上述小灯泡供电时工作状态的工作点，由此可得小灯泡的工作电流为0.35 A，工作电压为0.80 V，实际功率为0.28 W。

点评：本题第（3）问对实验数据的处理进行了拓展、延伸，很好地考查了学生对电阻和电源的U-I图线的理解和应用能力，那些只知道死套公式的学生，面对这样非常规的问题往往是束手无策的。

4.用U-I图像分析电学实验的系统误差

例4.试分析以下两种“测定电池的电动势和内阻”实验电路的系统误差。

解析：采用图7甲所示电路进行测量时，由于电压表的分流作用，电流表读数将小于通过电池的电流，从而产生系统误差。设电压表读数为U测，电流表读数为I测，电压表的内阻为RV，通过电压表的电流为IV，电池电动势的真实值为E，电池内阻的真实值为r，则由图7甲电路分析可得U测=E-（I测+IV）r，其中IV=，所以有U测=E-（I测+）r，整理可得U测=E-I测，由此函数式可知，在由实验测得的多组U测、I测数据描点画出的U-I图像上，图线纵截距和斜率大小分别为E测=E， r测=，与理论上的图线比较可以看出：电动势和内阻的测量值均偏小；而采用图7乙所示电路进行测量时，系统误差则主要来源于电流表的分压作用（电压表读数小于路端电压）。设电流表的内阻为RA，电压表和电流表的读数分别为U测和I测，则由图7乙电路分析可得U测=E-I测（RA+r），由此函数式可知，在由实验测得的多组U测、I测数据描点画出的U-I图像上，图线纵截距和斜率大小分别为E测=E，r测=r+RA，与理论上的图线比较可以看出：电动势的测量值是准确的，内阻的测量值偏大。

点评：电学实验系统误差的分析是学生学习中的难点，借助于电源的U-I图像，可以使学生在领会“测定电池的电动势和内阻”实验原理的基础上，直观而又深刻地认识到系统误差的产生以及相应实验电路的优化选择（设计）：为了减小系统误差，当电压表内阻远大于电池内阻时（如实验室常用的干电池），应采用图7甲所示电路；而当电流表内阻远小于电池内阻时（如水果电池），应采用图7乙所示电路。

（作者单位 浙江省杭州市第四中学）

编辑 谢尾合endprint

（1）在左下框中画出实验电路图。可用的器材有：电压表、电流表、滑线变阻器（变化范围0～10 Ω）、电源、小灯泡、电键、导线

若干。

（2）在右图中画出小灯泡的U-I曲线。

（3）如果将本题中的小灯泡接在电动势是1.5 V，内阻是2.0 Ω的电池两端，小灯泡的实际功率是多少？（简要写出求解过程；若需作图，可直接画在第（2）小题的方格图中）

解析：根据实验数据绘出小灯泡的U-I图线，如图6所示，显然是非线性的，即不同工作状态下其电阻值是变化的，因此要计算其实际功率，工作状态的确定是一难点。我们可在同一坐标系中作出电源的U-I图线，该图线与小灯泡的U-I曲线的交点即为反映此电源对上述小灯泡供电时工作状态的工作点，由此可得小灯泡的工作电流为0.35 A，工作电压为0.80 V，实际功率为0.28 W。

点评：本题第（3）问对实验数据的处理进行了拓展、延伸，很好地考查了学生对电阻和电源的U-I图线的理解和应用能力，那些只知道死套公式的学生，面对这样非常规的问题往往是束手无策的。

4.用U-I图像分析电学实验的系统误差

例4.试分析以下两种“测定电池的电动势和内阻”实验电路的系统误差。

解析：采用图7甲所示电路进行测量时，由于电压表的分流作用，电流表读数将小于通过电池的电流，从而产生系统误差。设电压表读数为U测，电流表读数为I测，电压表的内阻为RV，通过电压表的电流为IV，电池电动势的真实值为E，电池内阻的真实值为r，则由图7甲电路分析可得U测=E-（I测+IV）r，其中IV=，所以有U测=E-（I测+）r，整理可得U测=E-I测，由此函数式可知，在由实验测得的多组U测、I测数据描点画出的U-I图像上，图线纵截距和斜率大小分别为E测=E， r测=，与理论上的图线比较可以看出：电动势和内阻的测量值均偏小；而采用图7乙所示电路进行测量时，系统误差则主要来源于电流表的分压作用（电压表读数小于路端电压）。设电流表的内阻为RA，电压表和电流表的读数分别为U测和I测，则由图7乙电路分析可得U测=E-I测（RA+r），由此函数式可知，在由实验测得的多组U测、I测数据描点画出的U-I图像上，图线纵截距和斜率大小分别为E测=E，r测=r+RA，与理论上的图线比较可以看出：电动势的测量值是准确的，内阻的测量值偏大。

点评：电学实验系统误差的分析是学生学习中的难点，借助于电源的U-I图像，可以使学生在领会“测定电池的电动势和内阻”实验原理的基础上，直观而又深刻地认识到系统误差的产生以及相应实验电路的优化选择（设计）：为了减小系统误差，当电压表内阻远大于电池内阻时（如实验室常用的干电池），应采用图7甲所示电路；而当电流表内阻远小于电池内阻时（如水果电池），应采用图7乙所示电路。

（作者单位 浙江省杭州市第四中学）

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