初中建模教学初探

徐忠

【内容摘要】在教学《锐角三角函数》的习题课时，教师通过对书本上一道实际问题的探究，抽象出数学模型，并和学生一起分析模型，应用模型，培养了学生解决问题的能力，提高了学生的学习兴趣。

【关键词】探究 建模步骤 建模途径

在教学苏教版九年级下册《锐角三角函数》这一单元时，教材中有很多测高、测距、航海、燕尾槽、拦水坝、人子架等生活中的实际问题，这些实际问题都可以抽象出三角模型，转化成解直角三角形的问题。而在练习中我发现，学生就题论题，题目稍加变化，很多学生就束手无策。于是在这一章的复习课上，我尝试着通过书上的一道实际问题进行改编，然后与学生一起建立模型、分析模型、对模型进行变式找出规律，再通过教材找出对应的实际问题，最后让学生根据这些模型自己编写三道实际问题，通过这一系列的操作，帮助学生打开了思路，取得了不错的效果。

【教学片断】

例1：如图，一座塔的高度DC=120m，甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A、B处，测得塔顶的仰角分别是30°、60°，求A、B两点到塔底C的距离。

学生画图解答。

师：这道实际问题的模型是一个双垂直三角形，你除了会求出AC和BC外，还会求那些边和角？

生1：我还会求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

师：想一想！在双垂直三角形中关于边有AD、AC、AB、BC、BD、DC六个元素，关于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四个元素中，要知道几个元素才能求出其它元素？

生2：我发现只要知道两个就行了。

生3：不对，比如两个角就不可以。

生4：我发现一边一角，和两边才可以。

师：生4发现了一个重要规律，就是在双垂直三角形中，已知两个元素（至少一条边）就可以求出其它八个元素。如果△ADB是普通三角形还会有这样的结论吗？（出示图例2）

学生小组讨论，教师参与到小组讨论中。

生5：我觉得已知两个元素不能求出其它条件，我们小组研究发现必须三个元素才行。

生6：我们小组觉得三个元素也不一定行，比如知道三个角就不行。

生7：三个条件中必须至少知道一条边才行。

生8：不一定，我觉得两个直角三角形中，一个三角形知道一个元素，另一个三角形知道两个元素其中必须有一条边才行。

师：生8回答的非常好，找到了解这个模型的关键所在。例2的两个直角三角形在DC的异侧，如果在同侧会不会有这个规律呢？（出示图例3）

生讨论后，发现这个规律仍成立。

学生们为自己发现的结论兴奋不已，大家沉浸在成功的喜悦之中，此时我感觉学生的探究热情高涨，于是因势利导，给出了下列两个变式。

师：如果在直角梯形里又会怎么样呢？（出示图例4）

生9：我发现除DE、BC外，其它元素都和△ABD有关，因此只要知道三角形中的两个元素（至少一条边）其它元素都可以求了。

师；那么如果是一般梯形呢？（出示图例5）

生10：我发现除了DC、EF外其它的跟例（2）是一样的，两个直角三角形中，一个三角形知道一个元素，另一个三角形知道两个元素，其中必须有一条边就行了。

师：生10说的非常好，其实这些模型的实际问题我们书上都有，你能不能从书P54～P63页找出这些模型的实际问题，最好再找出我们没有分析到的模型。

学生找到这些实际问题以后，教师和学生一起分析、解题并对新找到的模型进行分析。

课后作业要求学生任选三个模型自己编写三道实际问题并提供答案，然后让同桌解答。

【教学反思】

这个探究过程是通过实际问题建立一个双垂直三角形的模型，然后和学生一起分析模型找出解题的关键，再把双垂直三角形变成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型进行分析，体现了由特殊到一般的数学思想，而这些模型分散在教材与学生平时练习中，教师将其集中在一起形成序列进行教学，目的是引导学生能够运用一定的数学思想来解题，而不是盲目的就题论题，从而提高学生解决问题的能力，让学生不仅知道题目的解法，还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想，达到举一反三，触类旁通的目的，而这整章的习题基本上是围绕着这几种模型而设计展开的。

一、教学中为什么要数学建模

目前的数学教育存在着重知识灌输轻理解方法、重理论记忆轻实际应用的问题，教师经常对学生进行大量机械重复的训练，以期望达到“熟能生巧”的目的，而事实上学生的思维能力并没有提高，其主要原因是训练中缺乏建模数学思想方法的渗透。研究表明，数学训练可以分为三个层次。第一层是“知识堆积”与“解题术”式的。它易操作、易复制，但功能性弱，应用面窄。第二层次是“思维方法”和“解题方法”式的。它与前一层次比，程序性弱，不易复制，但功能性更强，应用面宽。第三层是“数学思想”与“数学观念”式的，它虽然抽象，程序性更弱，但功能性强，它是对前面两个层次的指导和引领。所以，在数学课中应该科学地、有层次地设计练习，让提炼数学思想方法，构建数学模型成为课堂的常态。

二、如何进行数学建模教学

用数学模型解决问题，最关键的一步是找到适当的数学模型，分析模型。第一步，弄清实际问题：通过例1和学生建立了双垂直三角形，学生求解发现十个元素中知道两个元素（至少一边）就能求出其它元素的方法模型，具有了知识迁移的基础；第二步，通过变式建立模型：在和学生发现了双垂直三角形的解题特点后，通过变式让学生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特点，建立了相关的数学结构；第三步，在所建模型的基础上进行验证：教学中让学生在书上找出这些模型的对应习题，和学生们一起分析、解答，通过练习验证了模型；第四步，应用模型：通过解答书上的例题验证了探索出的模型，课后让学生自己编三道题目加深了对模型的理解，巩固了所学知识。纵观整个教学设计，模型方法的渗透做到了有步骤、有计划的层层铺垫，使学生经历了对问题进行抽象-建立模型-验证模型-应用模型的全过程。

三、建模教学中的一些主要途径

数学建模是一个长期的、不断积累经验、不断深化的过程，因此在教学中笔者总结了几个行之有效的途径。

1.加强基础知识教学，为学生进行数学建模奠定基础；

2.实施有效的问题解决策略，引导学生对解题思路进行探索、解题方法和规律进行概括，渗透数学建模思想；

3.注重应用题的教学，培养学生通过建立模型解决实际问题的能力；

4.课堂教学中创设恰当的问题情境，引导学生积极进行建模活动；

5.注重实验教学，让学生在动手操作的过程中建立数学模型。

当然，要使学生能灵活应用数学建模的方法解决问题，不可能通过一节课、一两个例题就能完成的，需要我们有计划有步骤的分步实施，这样才能达到我们预期的效果。

（作者单位：江苏省张家港市南丰中学）

【内容摘要】在教学《锐角三角函数》的习题课时，教师通过对书本上一道实际问题的探究，抽象出数学模型，并和学生一起分析模型，应用模型，培养了学生解决问题的能力，提高了学生的学习兴趣。

【关键词】探究 建模步骤 建模途径

在教学苏教版九年级下册《锐角三角函数》这一单元时，教材中有很多测高、测距、航海、燕尾槽、拦水坝、人子架等生活中的实际问题，这些实际问题都可以抽象出三角模型，转化成解直角三角形的问题。而在练习中我发现，学生就题论题，题目稍加变化，很多学生就束手无策。于是在这一章的复习课上，我尝试着通过书上的一道实际问题进行改编，然后与学生一起建立模型、分析模型、对模型进行变式找出规律，再通过教材找出对应的实际问题，最后让学生根据这些模型自己编写三道实际问题，通过这一系列的操作，帮助学生打开了思路，取得了不错的效果。

【教学片断】

例1：如图，一座塔的高度DC=120m，甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A、B处，测得塔顶的仰角分别是30°、60°，求A、B两点到塔底C的距离。

学生画图解答。

师：这道实际问题的模型是一个双垂直三角形，你除了会求出AC和BC外，还会求那些边和角？

生1：我还会求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

师：想一想！在双垂直三角形中关于边有AD、AC、AB、BC、BD、DC六个元素，关于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四个元素中，要知道几个元素才能求出其它元素？

生2：我发现只要知道两个就行了。

生3：不对，比如两个角就不可以。

生4：我发现一边一角，和两边才可以。

师：生4发现了一个重要规律，就是在双垂直三角形中，已知两个元素（至少一条边）就可以求出其它八个元素。如果△ADB是普通三角形还会有这样的结论吗？（出示图例2）

学生小组讨论，教师参与到小组讨论中。

生5：我觉得已知两个元素不能求出其它条件，我们小组研究发现必须三个元素才行。

生6：我们小组觉得三个元素也不一定行，比如知道三个角就不行。

生7：三个条件中必须至少知道一条边才行。

生8：不一定，我觉得两个直角三角形中，一个三角形知道一个元素，另一个三角形知道两个元素其中必须有一条边才行。

师：生8回答的非常好，找到了解这个模型的关键所在。例2的两个直角三角形在DC的异侧，如果在同侧会不会有这个规律呢？（出示图例3）

生讨论后，发现这个规律仍成立。

学生们为自己发现的结论兴奋不已，大家沉浸在成功的喜悦之中，此时我感觉学生的探究热情高涨，于是因势利导，给出了下列两个变式。

师：如果在直角梯形里又会怎么样呢？（出示图例4）

生9：我发现除DE、BC外，其它元素都和△ABD有关，因此只要知道三角形中的两个元素（至少一条边）其它元素都可以求了。

师；那么如果是一般梯形呢？（出示图例5）

生10：我发现除了DC、EF外其它的跟例（2）是一样的，两个直角三角形中，一个三角形知道一个元素，另一个三角形知道两个元素，其中必须有一条边就行了。

师：生10说的非常好，其实这些模型的实际问题我们书上都有，你能不能从书P54～P63页找出这些模型的实际问题，最好再找出我们没有分析到的模型。

学生找到这些实际问题以后，教师和学生一起分析、解题并对新找到的模型进行分析。

课后作业要求学生任选三个模型自己编写三道实际问题并提供答案，然后让同桌解答。

【教学反思】

这个探究过程是通过实际问题建立一个双垂直三角形的模型，然后和学生一起分析模型找出解题的关键，再把双垂直三角形变成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型进行分析，体现了由特殊到一般的数学思想，而这些模型分散在教材与学生平时练习中，教师将其集中在一起形成序列进行教学，目的是引导学生能够运用一定的数学思想来解题，而不是盲目的就题论题，从而提高学生解决问题的能力，让学生不仅知道题目的解法，还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想，达到举一反三，触类旁通的目的，而这整章的习题基本上是围绕着这几种模型而设计展开的。

一、教学中为什么要数学建模

目前的数学教育存在着重知识灌输轻理解方法、重理论记忆轻实际应用的问题，教师经常对学生进行大量机械重复的训练，以期望达到“熟能生巧”的目的，而事实上学生的思维能力并没有提高，其主要原因是训练中缺乏建模数学思想方法的渗透。研究表明，数学训练可以分为三个层次。第一层是“知识堆积”与“解题术”式的。它易操作、易复制，但功能性弱，应用面窄。第二层次是“思维方法”和“解题方法”式的。它与前一层次比，程序性弱，不易复制，但功能性更强，应用面宽。第三层是“数学思想”与“数学观念”式的，它虽然抽象，程序性更弱，但功能性强，它是对前面两个层次的指导和引领。所以，在数学课中应该科学地、有层次地设计练习，让提炼数学思想方法，构建数学模型成为课堂的常态。

二、如何进行数学建模教学

用数学模型解决问题，最关键的一步是找到适当的数学模型，分析模型。第一步，弄清实际问题：通过例1和学生建立了双垂直三角形，学生求解发现十个元素中知道两个元素（至少一边）就能求出其它元素的方法模型，具有了知识迁移的基础；第二步，通过变式建立模型：在和学生发现了双垂直三角形的解题特点后，通过变式让学生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特点，建立了相关的数学结构；第三步，在所建模型的基础上进行验证：教学中让学生在书上找出这些模型的对应习题，和学生们一起分析、解答，通过练习验证了模型；第四步，应用模型：通过解答书上的例题验证了探索出的模型，课后让学生自己编三道题目加深了对模型的理解，巩固了所学知识。纵观整个教学设计，模型方法的渗透做到了有步骤、有计划的层层铺垫，使学生经历了对问题进行抽象-建立模型-验证模型-应用模型的全过程。

三、建模教学中的一些主要途径

数学建模是一个长期的、不断积累经验、不断深化的过程，因此在教学中笔者总结了几个行之有效的途径。

1.加强基础知识教学，为学生进行数学建模奠定基础；

2.实施有效的问题解决策略，引导学生对解题思路进行探索、解题方法和规律进行概括，渗透数学建模思想；

3.注重应用题的教学，培养学生通过建立模型解决实际问题的能力；

4.课堂教学中创设恰当的问题情境，引导学生积极进行建模活动；

5.注重实验教学，让学生在动手操作的过程中建立数学模型。

当然，要使学生能灵活应用数学建模的方法解决问题，不可能通过一节课、一两个例题就能完成的，需要我们有计划有步骤的分步实施，这样才能达到我们预期的效果。

（作者单位：江苏省张家港市南丰中学）

【内容摘要】在教学《锐角三角函数》的习题课时，教师通过对书本上一道实际问题的探究，抽象出数学模型，并和学生一起分析模型，应用模型，培养了学生解决问题的能力，提高了学生的学习兴趣。

【关键词】探究 建模步骤 建模途径

在教学苏教版九年级下册《锐角三角函数》这一单元时，教材中有很多测高、测距、航海、燕尾槽、拦水坝、人子架等生活中的实际问题，这些实际问题都可以抽象出三角模型，转化成解直角三角形的问题。而在练习中我发现，学生就题论题，题目稍加变化，很多学生就束手无策。于是在这一章的复习课上，我尝试着通过书上的一道实际问题进行改编，然后与学生一起建立模型、分析模型、对模型进行变式找出规律，再通过教材找出对应的实际问题，最后让学生根据这些模型自己编写三道实际问题，通过这一系列的操作，帮助学生打开了思路，取得了不错的效果。

【教学片断】

例1：如图，一座塔的高度DC=120m，甲、乙两人分别站在塔的西、东两侧的点A、B处，测得塔顶的仰角分别是30°、60°，求A、B两点到塔底C的距离。

学生画图解答。

师：这道实际问题的模型是一个双垂直三角形，你除了会求出AC和BC外，还会求那些边和角？

生1：我还会求AD、BD、AB、∠ADC、∠BDC。

师：想一想！在双垂直三角形中关于边有AD、AC、AB、BC、BD、DC六个元素，关于角∠A、∠B、∠ADC、∠BDC四个元素中，要知道几个元素才能求出其它元素？

生2：我发现只要知道两个就行了。

生3：不对，比如两个角就不可以。

生4：我发现一边一角，和两边才可以。

师：生4发现了一个重要规律，就是在双垂直三角形中，已知两个元素（至少一条边）就可以求出其它八个元素。如果△ADB是普通三角形还会有这样的结论吗？（出示图例2）

学生小组讨论，教师参与到小组讨论中。

生5：我觉得已知两个元素不能求出其它条件，我们小组研究发现必须三个元素才行。

生6：我们小组觉得三个元素也不一定行，比如知道三个角就不行。

生7：三个条件中必须至少知道一条边才行。

生8：不一定，我觉得两个直角三角形中，一个三角形知道一个元素，另一个三角形知道两个元素其中必须有一条边才行。

师：生8回答的非常好，找到了解这个模型的关键所在。例2的两个直角三角形在DC的异侧，如果在同侧会不会有这个规律呢？（出示图例3）

生讨论后，发现这个规律仍成立。

学生们为自己发现的结论兴奋不已，大家沉浸在成功的喜悦之中，此时我感觉学生的探究热情高涨，于是因势利导，给出了下列两个变式。

师：如果在直角梯形里又会怎么样呢？（出示图例4）

生9：我发现除DE、BC外，其它元素都和△ABD有关，因此只要知道三角形中的两个元素（至少一条边）其它元素都可以求了。

师；那么如果是一般梯形呢？（出示图例5）

生10：我发现除了DC、EF外其它的跟例（2）是一样的，两个直角三角形中，一个三角形知道一个元素，另一个三角形知道两个元素，其中必须有一条边就行了。

师：生10说的非常好，其实这些模型的实际问题我们书上都有，你能不能从书P54～P63页找出这些模型的实际问题，最好再找出我们没有分析到的模型。

学生找到这些实际问题以后，教师和学生一起分析、解题并对新找到的模型进行分析。

课后作业要求学生任选三个模型自己编写三道实际问题并提供答案，然后让同桌解答。

【教学反思】

这个探究过程是通过实际问题建立一个双垂直三角形的模型，然后和学生一起分析模型找出解题的关键，再把双垂直三角形变成一般三角形、直角梯形和一般梯形等模型进行分析，体现了由特殊到一般的数学思想，而这些模型分散在教材与学生平时练习中，教师将其集中在一起形成序列进行教学，目的是引导学生能够运用一定的数学思想来解题，而不是盲目的就题论题，从而提高学生解决问题的能力，让学生不仅知道题目的解法，还能领悟和运用解题时所反映和蕴含的数学建模思想，达到举一反三，触类旁通的目的，而这整章的习题基本上是围绕着这几种模型而设计展开的。

一、教学中为什么要数学建模

目前的数学教育存在着重知识灌输轻理解方法、重理论记忆轻实际应用的问题，教师经常对学生进行大量机械重复的训练，以期望达到“熟能生巧”的目的，而事实上学生的思维能力并没有提高，其主要原因是训练中缺乏建模数学思想方法的渗透。研究表明，数学训练可以分为三个层次。第一层是“知识堆积”与“解题术”式的。它易操作、易复制，但功能性弱，应用面窄。第二层次是“思维方法”和“解题方法”式的。它与前一层次比，程序性弱，不易复制，但功能性更强，应用面宽。第三层是“数学思想”与“数学观念”式的，它虽然抽象，程序性更弱，但功能性强，它是对前面两个层次的指导和引领。所以，在数学课中应该科学地、有层次地设计练习，让提炼数学思想方法，构建数学模型成为课堂的常态。

二、如何进行数学建模教学

用数学模型解决问题，最关键的一步是找到适当的数学模型，分析模型。第一步，弄清实际问题：通过例1和学生建立了双垂直三角形，学生求解发现十个元素中知道两个元素（至少一边）就能求出其它元素的方法模型，具有了知识迁移的基础；第二步，通过变式建立模型：在和学生发现了双垂直三角形的解题特点后，通过变式让学生去探索一般三角形、直角梯形、普通梯形等模型的特点，建立了相关的数学结构；第三步，在所建模型的基础上进行验证：教学中让学生在书上找出这些模型的对应习题，和学生们一起分析、解答，通过练习验证了模型；第四步，应用模型：通过解答书上的例题验证了探索出的模型，课后让学生自己编三道题目加深了对模型的理解，巩固了所学知识。纵观整个教学设计，模型方法的渗透做到了有步骤、有计划的层层铺垫，使学生经历了对问题进行抽象-建立模型-验证模型-应用模型的全过程。

三、建模教学中的一些主要途径

数学建模是一个长期的、不断积累经验、不断深化的过程，因此在教学中笔者总结了几个行之有效的途径。

1.加强基础知识教学，为学生进行数学建模奠定基础；

2.实施有效的问题解决策略，引导学生对解题思路进行探索、解题方法和规律进行概括，渗透数学建模思想；

3.注重应用题的教学，培养学生通过建立模型解决实际问题的能力；

4.课堂教学中创设恰当的问题情境，引导学生积极进行建模活动；

5.注重实验教学，让学生在动手操作的过程中建立数学模型。

当然，要使学生能灵活应用数学建模的方法解决问题，不可能通过一节课、一两个例题就能完成的，需要我们有计划有步骤的分步实施，这样才能达到我们预期的效果。

（作者单位：江苏省张家港市南丰中学）