具有公共顾客的两个学生食堂最优供应模型研究

安树庭，秦文钊，顾恩国

（中南民族大学数学与统计学学院，湖北 武汉430074）

1 问题的提出

2013年1 月17日，习近平总书记作出厉行勤俭节约反对铺张浪费的重要批示，1月20日，中共中央办公厅发出《印发习近平同志关于厉行勤俭节约反对铺张浪费重要批示的通知》，该批示引起了强烈的反响［1-2］.

高校学生食堂是为学生提供就餐饮食及服务的场所.高校学生人数众多，每天前来就餐的学生人数处于动态变化之中，在不确定具体的就餐人数的情况下，如何供应每天的饭菜数量，以达到利润最大化和浪费最小化的双赢，是一个值得研究的问题.然而，目前少见研究高校学生食堂利润最大化和浪费最小化的双赢问题，目前关于高校学生食堂的研究大都集中在如下几个方面：一是研究学生食堂饮食卫生的安全管理问题［3-4］；二是利用结构方程模型及多元统计的方法确定学生对食堂的满意度问题［5-6］；三是模拟学生就餐的动态过程，分析评价学生食堂排队与滞留状况的原因，进而给相关部门提供决策建议［7］.

通过分析食堂的就餐人数变化规律和食堂饭量供应规律，在保证安全、价格合理的前提下，以利润最大化和浪费最小化为目标，建立多目标优化模型，通过考察模型的特点，利用计算机进行模拟，确定供应调整系数的最优取值，进而为食堂管理者提供参考.

2 模型的建立

假设学校开设2个食堂，分别记作i＝1，2，学生可以自主选择是否在食堂就餐以及在哪个食堂就餐；xi（t）表示t时刻（该时刻间隔为一天或者一餐，后文计算机模拟中具体说明）在食堂i就餐的学生人数；x3（t）表示在t时刻不在食堂就餐的学生人数；N表示学生总人数；gi（t）表示t时刻食堂i的供应量

（单位：份），每份满足且仅满足1名学生的就餐需求；p表示每个时刻的人均消费额（单位：元）.

2.1 就餐人数和供应量变化规律的差分方程 为了叙述方便，引进虚拟食堂3，认为不在食堂1，2就餐的学生均在食堂3就餐.鉴于学生在选择具体的就餐地点具有一定的自主性和随机性，引入就餐转移率的概念，用aij（t）（i，j＝1，2，3）表示t时刻在食堂i就餐，t＋1时刻在食堂j就餐的学生人数比例，则食堂的就餐人数的变化规律可用如下差分方程系统表示：

显然有

记

则（1）式等价于

且称A（t）为就餐转移率矩阵.

由于每次就餐的学生人数不确定，若食堂总是维持不变的供应量，则极容易造成资源浪费或者短缺，因此食堂每次的供应量应该有所调整.假设食堂按照类似文献［8］中的自适应方案调整其供应量，t＋1时刻的供应量取决于t时刻的供应是否平衡，如果供大于求，则减少供应；如果供小于求，则增加供应.因此t＋1时刻的供应量与t时刻的供应量和需求量之间存在如下关系：

其中αi＞0为食堂i的供应调整系数.

2.2 食堂的利润函数与剩余函数 食堂每个时刻的利润等于该时刻的收入与成本的差值.收入指饭菜收入与就餐人数和人均消费额有关；成本包括固定成本和可变成本，固定成本包括场地租赁费和器材固有损耗费等，可变成本指食堂的供应成本等.每个食堂的成本与各自的供应量和总供应量有关，假设供应成本满足库布-道格拉斯生产函数［9］，则t时刻食堂i的成本

其中cfi是固定成本，ci＞0反应食堂i的经营管理水平.

所以t时刻食堂i的利润

当供大于求时，才会出现剩余，因此t时刻食堂i的剩余

其中Ⅰ为示性函数，Ⅰ｛gi（t）-xi（t）≥0｝的定义如下：

2.3 模型的确定 在保证安全、价格合理的条件下，食堂应追求利润最大化和剩余最小化.考虑一个时间段T（一个月或者一个学期等）内的总利润和总剩余，得到如下多目标优化模型：

在模型（10）式中，目标函数一H1（i）表示在T时间段中食堂i的总利润；目标函数二H2（i）表示在T时间段中食堂i的总剩余.

3 模型的分析

3.1 模型的分析 通过分析模型（10）式不难发现，该模型有6类共计17个参数，包括参数p，cfi，ci，αi，N及变参数aij，对于任意时刻t，如果能够确定这17个参数取值，则很容易确定目标函数一和目标函数二的取值.

由于就餐转移率是随机变化的，所以该模型没有理论上的数值最优解.为了确定最优供应调整系数，先利用计算机模拟研究利润和剩余和就餐转移矩阵的关系.进一步根据他们的关系确定最优供应调整系数.

3.2 矩阵A（x）进一步分析及初值的确定 虽然学生们的就餐选择具有随机性和主观性，但是结合实际，我们还是可以得到如下几个事实：

1）绝大部分学生就餐具有局部固定性：即习惯了某一个食堂的口味之后，除特殊情况下，不会更改就餐选择；

2）虽然学生自主选择是否在食堂就餐，但在食堂就餐的学生人数仍占学生总人数的绝大部分；3）对于大部分学生而言，当在某一个食堂就餐一段时间后，为了换个口味，会偶尔选择更换食堂.基于上述事实，根据在中南民族大学某学院小范围进行的就餐转移选择调查，我们做出如下规定：

1）对在1，2食堂就餐的学生，选择在固定食堂就餐的学生比例服从［0.9，1］的均匀分布，即a11，a22∽U（0.9，1）；选择转移就餐地点的学生比例服从［0，1-aii］的随机分布，且满足

2）由于学生食堂在价格和卫生安全上的优势，很少有学生常年不在学生食堂就餐，通常而言，是因为一些特殊原因才偶尔选择不在食堂就餐，因此假设不在食堂就餐的学生人数服从［0.4，0.6］的均匀分布，即a33∽U（0.4，0.6）；选择转移就餐地点，前往食堂就餐的学生人数比例服从［0，1-a33］的随机分布，且满足

3）假设初始时刻在食堂1，2就餐的人数为0.9N，且在两个食堂就餐人数相同，即

4）假设初试时刻食堂1，2的供应量等于需求量，即

4 计算机模拟

4.1 就餐转移率矩阵A（t）对利润和剩余的影响 为了确定在学生就餐人数不确定的情况下，食堂的利润与供应量是否能够达到稳定状态或者维持在一个固定的水平，用计算机模拟就餐转移率对利润和剩余的影响，计算步骤如下：

step1：确定时间间隔t和时间段T，给参数P，cfi，αi，ci，N赋值；

step2：利用计算机求解模型（10），得到食堂1，2在时间段T内的总利润和总剩余；

step3：重复模拟10 000次，观察10 000次模拟条件下总利润和总剩余的变化规律.

取时间间隔t＝1天，时间段T＝30（天），人均消费额P＝10元／天，固定成本cfi＝50 000元，调整系数α1＝α2＝2，可变成本c1＝c2＝1.5，人数N＝20 000人.

利用MATLAB进行仿真模拟，得到10 000次模拟下两个食堂的总利润和总剩余的变化规律如图1所示（由于数值过于密集，为了便于观看分析，图中仅给出了前100次的数据散点图）.

图1 计算机模拟下两个食堂的月利润和月剩余散点图

从图1可以明显看出，尽管转移率矩阵每次的取值不同，但是对结果的整体影响并不大，为了进一步观察模拟结果，我们重复上述模拟步骤10次，得到数据如表1所示.

表1 10次模拟下两个食堂的利润和剩余数据

从上表可以清晰看出，由于随机模拟存在误差，所以每次所得到的月均利润和月均剩余会有所差异，但是均值非常接近，方差也非常小.食堂的月均利润为200万元左右，我们在成本中只计算了食堂的固定成本和基于供应量的可变成本，尚未包括员工的工资、纳税的费用及煤、电等费用，除去这些费用，剩下的利润也是比较符合实际情况的.该结果说明在我们的分析假设下，就餐转移率矩阵对最终的月平均利润和月平均剩余影响不大，说明食堂的月均利润和月均剩余可以维持在一个比较稳定的水平.

4.2 供应调整系数αi对总利润和总剩余的影响 在4.1中通过计算机仿真，证明了就餐转移率矩阵对月均利润和月均剩余的影响不大.在此基础上，为了给管理者提供决策建议，考虑供应调整系数对总利润和总剩余的影响.采用如下思路进行计算机模拟：

step1：确定参数P，cfi，ci，N，T的取值；

step2：令系数向量α1＝α2＝α，α＝0∶0.1∶2.4.

step3：利用计算机求解模型（10）式，观察食堂的月均利润和月均剩余在不同的调整系数下的变化规律，从而确定最优调整系数.

取时间间隔t＝1天，时间段T＝30（天），人均消费额P＝10元／天，固定成本p＝20 000元，经营管理水平c1＝c2＝1.5，人数N＝20 000人.

利用计算机进行模拟，得到25组不同的调整系数值下两个食堂的利润和剩余量如表2所示.

表2 不同供应调整系数下两个食堂的利润和剩余数据表

从表2可以发现，随着供应调整系数的增大，两个食堂的利润刚开始不会发生明显的变化，但是剩余量则会越来越多，显然不满足剩余最小化的要求.

4.3 最优供应调整系数的确定 由于需要同时兼顾利润最大化和剩余最小化两个方面的要求，为了确定最优供应调整系数，不能但看某一项指标的取值，为此，引入供应调整系数适应指标

其中Rα，Lα表示供应调整系数为α时两个食堂的平均剩余和利润.

显然，该指标越小，供应调整系数越优.同时需要注意到，当α≤1.8时，总有一个食堂的剩余量为0，即总有一个食堂处于供不应求的状态.在实际中这种情况是不合理的，长期供不应求容易降低学生们的就餐满意度，也不符合食堂服务学生的宗旨.因此仅考虑两个食堂平均剩余均大于0的情形，例如根据表2的模拟结果，可取调整系数α1＝α2＝1.9.

考虑到仅仅依靠一次模拟确定最优供应调整系数具有一定的误差，重复进行4.2中的计算机模拟20次，得到每一次模拟条件下的最优供应调整系数如表3所示.

表3 20次重复模拟下的最优供应调整系数

从表3可以看出，最优供应调整系数总是处于区间［1.5，2.0］之中，因此认为当供应调整系数αi属于区间［1.5，2.0］时，学生食堂按照（5）式来调整自己的供应量，可以达到利润最大化和剩余最小化的双赢目标.

5 结语

提出的是具有公共顾客的两个学生食堂的利润与剩余的问题.建立随机动态规划模型，通过分析模型的特点，利用计算机仿真，得到食堂就餐人数的局部转移对利润和总剩余的影响并不大的结论，进一步根据计算机模拟确定供应调整系数的最优取值范围，对高校学生食堂管理决策者而言具有实用的参考价值.

［1］民政部办公厅.民政部办公厅关于贯彻落实习近平总书记厉行勤俭节约、反对铺张浪费重要批示的通知［EB／OL］.http：／／www.mca.gov.cn／article／zwgk／tzl／201301／20130100411302.shtml，2013-4-13.

［2］新华网.习近平总书记厉行勤俭节约、反对铺张浪费重要批示引起强烈反响［EB／OL］.http：／／news.xinhuanet.com／politics／2013-01-29／c＿114545327.htm，2013-4-13.

［3］姚吉成.高校学生食堂饮食卫生安全隐患与对策［J］.中国学校卫生，2004，25（3）：375-376.

［4］沙德银.HACCP在高校学生食堂卫生管理中的应用［J］.中国学校卫生，2006，27（5）：455-456.

［5］高庆，曹忠鹏，盛鹏.基于SEM的高校学生食堂服务满意度模型分析［J］.西南民族大学学报：人文社会科学版，2010（6）：255-259.

［6］高庆.公共服务满意度影响因素的统计分析—以高校学生食堂为例［J］.软科学，2009，23（2）：80-89.

［7］程钊，潘越，郝淘，等.学生食堂就餐动态过程的数学模型及仿真研究［J］.武汉理工大学学报，2008，30（6）：153-155.

［8］Bischi G I，Kopel M.Equilibrium selection in nonlinear duopoly game with adaptive expections［J］.J of Economics Behavior Organization，2001，46：73-100.

［9］顾恩国，褚青涛.不同理性两个体捕捞公共渔业资源的非线性分析［J］.中南民族大学学报：自然科学版，2009，28（2）：109-115.