限定表面温度的边界层流方程的Galerkin有限元数值解

胡敏

(攀枝花学院数学与计算机学院， 四川攀枝花617000)

限定表面温度的边界层流方程的Galerkin有限元数值解

胡敏

(攀枝花学院数学与计算机学院， 四川攀枝花617000)

利用一个变换将限定表面温度的边界层流方程转化成二阶边值问题，然后利用Galerkin有限元方法将其转化成n元非线性方程组，再利用Newton迭代法求出在给定初始值和最大误差容忍度的数值解。

边界层流方程；二阶边值问题；Galerkin有限元法；Newton迭代法；数值解

引言

自治的三阶非线性微分方程

(1)

边界条件

(2)

是半无限竖直平板上不可压缩流体定常自由对流边界层问题的相似性解[1]，其中，a,m∈R且m受限于表面温度。

方程(1)、(2)的解取决于两个参数a和m。当m=0时，方程(1)、(2)就是著名的Blasius方程[2]；当a=0时，方程(1)、(2)表示流体流经的表面是不可渗透的[3-4]；当a<0时，方程(1)、(2)表示流体流经的表面可以注入流体；当a>0时，方程(1)、(2)表示流体流经的表面可以流出流体[4-5]。

关于方程(1)、(2)的解的研究[6-13]，可以追溯到一个世纪以前。利用积分运算，Weyl[6]对方程(1)、(2)进行了严格的分析，但是没有得出解析解。通过引入两种不同的代换，Brighi and Sari[7]和Guo and Tsai[8]将方程(1)、(2)转化成由两个一阶常微分方程组成的自治系统，并且得到解的详细信息。Je-Chiang Tsai[9]通过分析讨论，得出当m∈(-1/3,0),a∈R时，方程(1)、(2)有唯一有界解；并讨论了当m∈(-1/2,-1/3),a≤0时解的结构。

本文只讨论m∈(-1/3,0),a<0情形。首先利用一个变换将方程(1)、(2)转化成二阶边值问题，然后利用Galerkin有限元方法求出其数值解。

1 二阶边值问题

对于方程(1)、(2)，由于f′(η)在[0,+∞)上单调递增[9]，则它必存在单调递增的反函数。于是令：

t=f′(η),η∈[0,+∞)

(3)

并记其反函数为η=g(t),t∈[0,1]。对(3)式两边关于t求导得：

1=f″g′(t),t∈[0,1]

(4)

记

w(t)=f″(η),t∈[0,1]

(5)

对(5)式两边关于t求导得：

f‴=w′(t)w(t),t∈[0,1]

(6)

在t=f′(η)=f′(g(t))两边同乘g′(t)得：

对其两边从t到1积分得：

由于f(g(1))=f(0)=a，则

(7)

把式(3)、(5)、(6)和(7)代入方程(1)得：

将其两端同除以w(t)得：

(8)

当t=1时有

(9)

对(8)式两端关于t求导得

将其两端同乘以w2(t)得

又因w(0)=f″(+∞)=0，则将方程(1)、(2)转化成二阶边值问题

(10)

2 有限元方法及其求解方法

2.1 Galerkin有限元方程组

令

(11)

其中

(12)

由变分原理得方程(10)的Galerkin有限元基本公式：

j=1,2,…,N

(13)

(14)

和

(15)

将式(11)、(12)分别代入式(14)、(15)计算得

j=1,2,…,N-1

(16)

其中

和

(17)

2.2 Newton迭代法求解方程组

令

wT=[w0,w1,…,wN]

(18)

和

HT(w,m)=[H1(w,m),H2(w,m),…,HN(w,m)]

(19)

其中

Hj(w,m)=Ajwj-1+Bjwj+Cjwj+1+

和

求式(16)、(17)的解w就是求解如下n×n非线性方程组

H(w,m)=0

(20)

的解。记H(w,m)的Jacobian矩阵为：

其中

从而矩阵JH(w)是三对角的。

3 数值结果

选定步长h=0.001，最大误差容忍度ε=10-8，取定初值w0=[0,0.1,0.1,…,0.1]T，再取不同的a和m计算f″(0)(=w(1)=wN)的值，利用Matlab软件编写程序计算数值结果(表1)。

表1f ″(0)的值

从表1可以看出，对任意取定的初值w0和误差容忍度ε，都可以计算出f″(0)的迭代值，并且为正值。

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Galerkin Finite Element Numerical Solutions of Boundary Layer Flows Equation with Prescribed Surface Temperature

HUMin

(School of Mathematics and Computer Science, Panzhihua University, Panzhihua 617000, China)

By using a transformation, the two order boundary value problem of the boundary layer flows equation with prescribed surface temperature is obtained. And then it is turned inton-dimensional nonlinear equations by utilizing the Galerkin finite element method. After that, the numerical solutions for the nonlinear equations under given value and maximum error tolerance are determined through Newton iterative method.

boundary layer flows equation; two order boundary value problem; Galerkin finite element method; Newton iterative method; numerical solution

2014-06-23

攀枝花学院计算机学院预研项目(Y2011-05)；攀枝花学院校级项目(2014YB38)

胡 敏(1981-)，女，四川宜宾人，助教，硕士，主要从事微分方程及其应用方面的研究，(E-mail)pzhhm@sina.cn

1673-1549(2014)06-0080-04

10.11863/j.suse.2014.06.20

O175.8

A