随机函数乘积的几乎处处中心极限定理

邹广玉

(长春工程学院理学院， 长春130012)

随机函数乘积的几乎处处中心极限定理

邹广玉

(长春工程学院理学院， 长春130012)

利用ρ-混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理，给出了一类随机函数(统计量)乘积的几乎处处中心极限定理，推广了独立情形的结论。

随机函数；ρ-混合序列；几乎处处中心极限定理

引言

针对此类随机函数，众多学者对其极限性质进行了研究。文献[1]得到了随机函数的几乎处处中心极限定理，文献[2]得到了随机函数大数定律和重对数律的精确渐近性质，文献[3-4]分别讨论了{Xn,n≥1}为独立同分布和NA序列时随机函数乘积的几乎处处中心极限定理，本文讨论{Xn,n≥1}为ρ-混合序列时随机函数乘积的几乎处处中心极限定理。

则称随机变量序列{Xn,n≥1}是ρ-混合的。

ρ-混合序列的概念由Kolmogrov和Rozanov在文献[5]中引入。本文的主要结论如下：

(H1)对某个ε>2，ρ(n)=O(n-1(logn)-ε)

那么对任意的x，有

F(x),a.s.

(1)

1 主要引理

引理1设{Xn,n≥1}是正的严平稳的ρ-混合随机变量列，满足EX1=μ>0和VarX1=σ2<∞，假设

(H1)对某个ε>2，ρ(n)=O(n-1(logn)-ε)

那么对任意的x，有

(2)

其中，Φ(x)表示服从标准正态分布随机变量的分布函数。下同。

证明见文献[6]引理2.5。

引理2在定理1的条件下，对任意的x，有

Φ(x)，a.s.

(3)

证明

注意到

由(2)式，有

(4)

故

于是，对任意小的ε>0和几乎所有的样本点ω，存在正整数N1=N1(ω，ε，x)，使得当k>N1时有

I(A1≤x+ε)

由(4)式可知(3)式成立，于是证明了引理2。

证明见文献[6]引理2.2。

2 定理1的证明

易知(1)式等价于

Φ(x),a.s.

(5)

又由定理1条件(H3)知，

于是，对于充分大的i，有

注意到当|x|<1时，log(1+x)=x-Q(x)，且

于是，对任意小的ε>0和几乎所有的样本点ω，存在正整数N2=N2(ω，ε，x)，使得当k>N2时有

由(3)式即知(5)式成立，即证明了定理1。

[1] 陆传荣,邱 瑾,徐建军.随机函数的几乎处处中心极限定理[J].中国科学:A辑,2006,36(9):1045-1056.

[2] 周君兴,杨辉煌,陆传荣.一类统计量的强大数定律和重对数律的精确渐近性质[J].数学年刊,2006,27A(6):807-814.

[3] 邱 瑾,陆传荣.一类统计量的乘积的渐近性质和几乎处处中心极限定理[J].数学物理学报,2013,33(3):475-482.

[4] 邹广玉.一类统计量乘积的几乎处处中心极限定理[J].长春工程学院学报:自然科学版,2014,15(1):126-128.

[5] Kolmogrov A N,Rozanov U A.On the strong mixing conditions of a stationary Gaussian process[J].Probab.Theory Appl.,1960(2):222-227.

[6] 金敬森,王建峰,张立新.ρ-混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理[J].数学学报,2007,50(4):729-736.

An Almost Sure Central Limit Theorem for the Product of Random Functions

ZOUGuangyu

(School of Science, Changchun Institute of Technology, Changchun 130012, China)

Applying the almost sure central limit theorem for the product of partial sums ofρ-mixing sequences, an almost sure central limit theorem for the product of a class of random functions(or statistics) was obtained, which extended the result of the i.i.d case.

random functions;ρ-mixing sequences; almost sure central limit theorem

2014-08-01

国家自然科学基金项目(11401090)；吉林省教育厅重点项目(120120113);长春工程学院青年基金项目(320130019)

邹广玉(1982-)，男，吉林通化人，讲师，博士，主要从事概率极限理论方面的研究，(E-mail)jingyang999@126.com

1673-1549(2014)06-0072-03

10.11863/j.suse.2014.06.18

O211.4

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