基于齿面印痕偏移的弧齿锥齿轮安装错位识别*

蔡香伟 方宗德† 苏进展

(1.西北工业大学 机电学院，陕西 西安 710072;2.长安大学 道路施工技术与装备教育部重点实验室，陕西 西安 710064)

弧齿锥齿轮因具有传动平稳、承载能力强等优点，被广泛应用于航空、车辆及机床的动力系统中.在传动过程中，两相互啮合的轮齿形成的齿面印痕，其位置、大小、形状对于传动系统的强度性能等有着极其明显的影响.实际工况下，由于箱体、轴承、轴系及齿轮本身的变形以及制造误差、温度等因素的影响，印痕将偏离理论位置，这种偏离反映为齿轮副的当量安装错位［1］.当错位大到使得印痕超出齿面范围或靠近齿面边缘时，将发生边缘接触、撞击、敲击等现象，导致传动系统产生强烈的振动与噪声，影响齿轮副的正常运转.因此，对于印痕偏移的传动系统，首要问题是识别相应的当量安装错位(以下简称为安装错位)，然后可将其反馈到零部件的公差分配及齿面的再设计中，这对提高齿轮副实际工况下的啮合质量具有重要的工程意义.

国内外学者就安装错位与齿面印痕的相互关系进行了研究，包括安装错位作用下齿面印痕的变化［2-5］、齿面印痕对安装错位的敏感性［6-9］、齿面印痕的稳定性设计［10］及安装错位的容差性问题等［11-12］;对于安装错位的识别，相关研究较少，仅见文献［13］，通过载荷变化与印痕移动的近似线性关系计算安装错位，由于多种安装错位的组合可能引起相同的印痕偏移量，即这一问题存在多解性，而该文献中并未对其进行有效说明.

文中主要探讨了安装错位存在多解性的原因及相应的识别算法.建立了考虑安装错位的弧齿锥齿轮几何接触分析模型，基于“空间等效向量”的概念，分析不同错位组合之间的内部联系，说明多解性的产生机理;根据齿面印痕的数值特征，以逼近接触轨迹曲线为目标，建立最小二乘法优化模型，识别与当前印痕匹配的当量安装错位;通过有限元分析软件ABAQUS，分别在实际安装错位与当量安装错位下进行加载接触分析，比较轮齿的应力过程，验证识别算法的正确性与可行性.

1 安装错位与齿面印痕

根据GB11365—1989 的规定，弧齿锥齿轮副在实际的安装中，需要考虑的错位因素主要有小轮齿圈轴向错位ΔP、大轮齿圈轴向错位ΔG、齿轮副的轴间距错位ΔE 与轴夹角错位ΔΣ，如图1 所示.

图1 弧齿锥齿轮副的安装错位Fig.1 Misalignment of spiral bevel gears

1.1 啮合坐标变换与几何接触分析

由图1 建立弧齿锥齿轮副的啮合坐标系，如图2 所示.坐标系S1和S2分别刚性连接在小轮与大轮上，Sh为固定参考坐标系，添加辅助坐标系Sc用以描述安装中的错位，φ1、φ2为小轮与大轮的啮合转角.

图2 啮合坐标变换Fig.2 Meshing coordinate system conversion

图中各错位正方向规定如下:小轮轴向错位ΔP 为“+”时移向小轮大端，大轮轴向错位ΔG 为“+”时移向大轮大端，轴间距错位ΔE 为“+”时小轮轴线在大轮轴线下方，轴交角错位ΔΣ 为“+”时轴交角增大.

将小轮与大轮的齿面位矢及法矢分别表示在坐标系Sh中:

式中，ξi为齿面参数，ξi=［θi，φi］(i=p，g)，小轮与大轮的位矢及法矢具体表达式可参考文献［14］，Mh1、Mc2、Mhc分别为坐标系S1到Sh、S2到Sc、Sc到Sh的齐次变换矩阵，即

小轮与大轮齿面在固定坐标系Sh中连续相切接触，得到轮齿接触分析(TCA)基本方程为

一般情况下，安装错位D=［ΔP ΔG ΔE ΔΣ］已知，由于，式(3)只有5 个独立的标量方程，未知量有6 个，取小轮啮合转角φ1为输入量，可得齿面上的一个接触点，然后以一定步长改变φ1，继续求解，直至求出的接触点超出齿面的有效边界，即可得到齿面的接触轨迹.在啮合点处，由齿面参数确定两齿面的相对曲率，结合齿面的弹性变形量不大于0.006 35 mm，计算该点处的接触椭圆，一系列的接触椭圆将构成齿面的接触印痕.

1.2 错位多解性分析

由式(1)、(2)可知，小轮、大轮齿面上的点在固定坐标系中的位置是由齿面参数ξi、安装错位D 及各自的啮合转角φ1、φ2确定的，齿面上任意两点的相对位矢

不同的错位组合作用下，啮合的每一瞬时两齿轮在固定坐标系Sh中的绝对坐标是不同的，但相对坐标如果相同，即小轮与大轮齿面上任意两点的相对位矢Δr 一致，存在唯一的“空间等效向量”，则齿轮副的啮合状态是等价的，这将产生相同的齿面印痕.

由于“空间等效向量”的唯一性，在进行错位识别时，只需根据实际齿面印痕的偏移确定一组满足“空间等效向量”的当量错位即可，无需精确计算出真实的错位，错位的识别由寻找“真解”转换为寻找“等效解”，避免了从结构、受力等方面分析产生印痕偏移的原因，大大降低了问题的研究难度.

2 安装错位识别

2.1 齿面印痕的数值描述

实际齿面印痕的物理资源为印痕拓片或照片，必须提取其数值特征，才能进行后续处理.图3 为齿面印痕参数化示意图，数值特征包括印痕中心坐标、印痕面积、印痕方向角.其中印痕方向角为接触轨迹曲线上进入啮合点与退出啮合点连线与节锥的夹角.从图中可以看出，中心点坐标x、y 代表齿面印痕的整体位置，印痕面积s 反映了轮齿的承载情况，印痕方向角α 表示啮合点在齿面的运动方向.

图3 齿面印痕参数化Fig.3 Parameterization of contact pattern

2.2 优化模型

有效的算法是保证错位识别精度的关键因素.由于齿面接触轨迹代表了轮齿从进入啮合到退出啮合的完整过程，这里通过对接触轨迹曲线的控制，可以实现高精度的错位识别.

给定一组安装错位D，由几何啮合仿真得到齿面上的接触点，拟合成接触轨迹曲线记为ld，ld上离散点的位置矢量与法线矢量分别表示为

式中，m 为离散点的个数.

根据实际齿面印痕拟合的接触轨迹曲线记为lt，lt与ld的偏差如图4 所示，优化的目标是寻求一组错位，使得ld逼近于lt.

图4 接触轨迹偏差Fig.4 Deviation of contact path

lt上的离散点可表示如下:

将上式代入lt的曲线方程中，求解非线性方程即可计算当前离散点的偏差hi.

以两曲线偏差的平方和最小，建立最小二乘法目标函数模型

由于多解性的存在，为保证所求安装错位的量值合理，需对D=［ΔP ΔG ΔE ΔΣ］进行约束:选择一个分量，作为优化常值，其余3 个分量作为优化变量，并对其取值范围进行限制，算例中对位移分量取值“- 1.0～ + 1.0 mm”，角度分量取值“-1.0～+1.0 deg”.Cp与Cg为加权系数，分别表示与小轮和大轮接触轨迹曲线逼近的重要程度，可根据实际情况取值，这里均为0.5.

3 算例

以一对弧齿锥齿轮(大轮展成法加工，小轮变性法加工)为例说明上述方法，轮坯参数见表1，假定大轮凸面与小轮凹面啮合，机床参数分别列于表2、3.

表1 轮坯参数Table 1 Blank data

表2 大轮机床参数Table 2 Machine-tool settings for gear

表3 小轮机床参数Table 3 Machine-tool settings for pinion

齿轮副的标准安装位置为D0，仿真分析中，人为拟定错位量Dt作为实际错位(安装错位的真值)，以大轮的轴向位移分量ΔG 作为不变量，给定初值为-0.05 mm，优化得到1 组当量安装错位De，3 组错位的分量见表4.

表4 安装错位数值Table 4 Value of misalignment

图5 -7 是齿轮副在3 种错位下的齿面印痕(为了定量分析安装错位对齿面印痕的影响，依次取接触椭圆长轴端点相连组成的四边形区域作为齿面印痕)，相关数值特征列于表5，下标p、g 分别表示小轮与大轮，偏差比的计算公式为| (当量值-真值)/真值| ×100%.

从以上计算结果可以看出:标准安装位置的齿面印痕位于齿宽中部，接触轨迹曲线呈一定角度的倾斜;在实际错位下，齿面印痕的形状改变不大，但印痕中心位置移动明显，齿面印痕向小端偏移，印痕的面积也有一定程度的减小;当量错位下的齿面印痕，其大小、方向、位置均与实际错位下的齿面印痕非常接近，数值特征的偏差比均处于较小的范围，说明了识别算法取得了较高的求解精度.

图5 标准安装位置D0 下的齿面印痕Fig.5 Contact pattern under misalignment D0

图6 实际安装错位Dt 下的齿面印痕Fig.6 Contact pattern under misalignment Dt

图7 当量安装错位De 下的齿面印痕Fig.7 Contact pattern under misalignment De

上述安装错位的识别仅基于几何接触分析，需通过加载后的齿面印痕验证De与Dt的等价性.在一定的载荷、边界条件下，齿面印痕与轮齿的应力过程有着严格的对应关系.因此，这里借助于有限元软件ABAQUS 分别对在两组安装错位De、Dt下啮合的齿轮副进行加载接触分析，通过对比轮齿应力状态，以替代加载的齿面印痕实现上述验证.根据轮坯设计参数及机床参数，生成齿面坐标，按照一定的规律编排节点与单元信息，建立齿轮副的网格模型，并在错位下进行装配，如图8 所示.两组加载接触分析的条件设置相同［15］，采用隐式、静力学分析算法，大轮阻力矩为750 N·m，单齿从进入啮合到退出啮合分为35 步.

表5 齿面印痕的数值特征Table 5 Numerical features of contact pattern

图8 弧齿锥齿轮副的有限元模型Fig.8 Finite element of spiral bevel gear

提取中间齿对的齿面接触应力(CPRESS)、齿根弯曲应力(Mises)如图9、10 所示.在当量错位De与实际错位Dt作用下应力曲线基本吻合，说明轮齿的受力与变形状况基本一致，这将导致齿轮副的加载印痕亦基本相同.

图9 接触应力比较Fig.9 Comparison of contact stress

图10 工作面弯曲应力比较Fig.10 Comparison of bending stress for working surfaces

将加工好的试验件齿轮安装在着色检验机上，如图11 所示，通过调整两轮的相对位置，观察印痕区域的变化情况以研究安装错位对齿面印痕的影响.在检验机上，大、小轮的轴向位置变动量ΔG、ΔP以及轴间距变动量ΔE 通过相应的位置调整手轮实现;松开锁紧装置，转动托板台可进行轴夹角变动量ΔΣ的调整;检验机的转速有两档，分别为1400 r/min和3 000 r/min;试验时对大齿轮的加载通过加载手柄实现，所加载荷范围仅使齿面保持接触不脱开.

图11 弧齿锥齿轮滚检试验Fig.11 Meshing testing of spiral bevel gears

分别按照错位Dt和De调整齿轮副的安装位置，小轮转速为1 400 r/min，对滚时间为5 min.观察小轮凹面印迹，如图12(a)、12(b)所示.由图可知，在两组安装错位作用下，接触区均偏向小端，形状基本一致，与计算机仿真结果基本相符，验证了两组安装错位的等价性.

4 结论

(1)不同的安装错位可以导致相同的齿面印痕，但这些错位组合之间存在等价关系，安装错位的识别问题由确定真解转换为计算一组等效解.

(2)提取齿面印痕的数字化特征，以逼近齿面接触迹线为优化目标，可以高精度地识别与齿面印痕匹配的当量安装错位.

(3)以一对弧齿锥齿轮副为例，通过有限元分析软件，在实际安装错位与当量安装错位下分别进行加载接触分析，比较齿轮副的受力状态，结合齿轮副的滚检试验，验证两组错位的等价性，说明了识别算法的精度及有效性.

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