高中数学研究性学习与数学开放题

赵 琴（重庆市南川区道南中学校）

数学研究性学习是学生学习的一个有机组成部分，是在基础性、拓展性课程学习的基础上，进一步鼓励学生运用所学知识解决数学的和现实的问题的一种有意义的主动学习，是以学生动手动脑主动探索实践和相互交流为主要学习方式的学习研究活动.它能营造一个使学生勇于探索争论和相互学习鼓励的良好氛围,给学生提供自主探索、合作学习、独立获取知识的机会.数学研究性学习更加关注学习过程.

用于数学研究性学习的材料，应是建立在学生现有知识经验基础之上，能够激起学生解决问题的欲望，体现数学研究的思想方法和应用价值，有利于营造广阔的思维空间，使学生的思路越走越宽，思维的空间越来越大的一种研究性材料.

数学研究性学习的评价不仅仅关心学习的结果，而且更重要的是关注学生参与学习的程度、思维的深度与广度，学生获得了哪些发展，并且特别注意学生有哪些创造性的见解，同时对学生的情感变化也应予以注意.为了使评价能够真实可靠，起到促进学生发展的目的，因此要充分尊重学生自己对自己的评价以及学生之间的相互评价.既要有定量的评价，也要有定性的评价.

一、数学研究性学习的课题的选择

数学研究性学习课题，主要是指对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究.要充分体现学生的自主活动和合作活动.研究性学习课题应以所学的数学知识为基础，并且密切结合生活和生产实际.高中数学新教材将按《新大纲》的要求编入以下课题，供参考选用，当然教学时也可以由师生自拟课题.提倡教师和学生自己提出问题.

新高中数学新教材研究性学习参考课题有六个：数学在分期付款中的应用；多面体欧拉定理的发现；杨辉三角；向量在物理中的应用；线性规划的实际应用，定积分在经济生活中的应用.其教学目标是：（1） 学会提出问题和明确研究方向；（2） 体验教学活动的过程；（3） 培养创新精神和应用能力；（4）以研究报告或小论文等形式反映研究成果，学会交流.

二、数学开放题与研究性学习

研究性学习的开展需要有合适的载体，即使是学生提出的问题也要加以整理归类.作为研究性学习的载体，应有利于调动学生学习数学的积极性，有利于学生创造潜能的发挥.实践证明，数学开放题用于研究性学习是合适的.

高考命题专家也敏锐地觉察到开放题在考查学生创新能力方面的独特作用，近几年在全国和各地的高考试题中连续出现开放性题目.例如高考数学题中，出现过结论探索性问题，主观试题客观化，条件开放题，结论和条件探索开放.

数学开放题的常见题型，按命题要素的发散倾向分为条件开放型、方法开放型、结论开放型，综合开放型；按解题目标的操作模式分为规律探索型、量化设计型、分类讨论型、数学建模型、问题探求型、情景研究型；按信息过程的训练价值分为信息迁移型，知识巩固型、知识发散型；按问题答案的机构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限离散型、无限连续型.

三、数学研究性学习中开放题的编制方法

用于研究性学习的开放题尽量能有利于解题者充分利用自己已有的数学知识和能力解决问题.编制的开放题应体现某一完整的数学思想方法，具有鲜明的数学特色，帮助解题者理解什么是数学，为什么要学习数学以及怎样学习数学.开放题的编制不仅是教师的任务，它的编制本身也可以成为学生研究性学习的一项内容.

数学开放题的编制方法：

1.以某一数学定理或公设为依据，编制开放题.数学中的定理或公设是数学学习的重要依据，中学生的学习特别是研究性学习，常常是已有的定理并不需要学生掌握，或者是学生暂时还不知道，因此我们可以适当设计问题背景，让学生进行探究，通过自己的努力去发现一般规律，体验研究的乐趣.

2.从封闭题出发引申出开放题.我们平时所用习题多数具有完备的条件和确定的答案，所以称为封闭题，在原有封闭性问题基础上，使学生的思维向纵深发展，发散开去，能够启发学生有独创性的理解，就有可能形成开放题.在研究性学习中首先呈现给学生封闭题，解答完之后，进一步引导学生进行探讨，如探讨更一般的结论，探究更多的情形，或探究该结论成立的其他条件等等.

3.为体现或重现某一数学研究方法编制开放题.数学家的研究方法蕴涵深刻的数学思想，在数学研究性学习中让学生亲身体验数学家的某些研究，做小科学家，点燃埋藏在学生心灵深处的智慧火种.以此为着眼点编制开放题，其教育价值是不言而喻的.

4.以实际问题为背景，体现数学的应用价值编制开放题.在实际问题中，条件往往不能完全确定，即条件的不确定是自然形成的或是实际需要，其不确定性是合理的.如包装的外形、花圃的图案、工程的图纸，这些是需要设计的，而由于考虑的角度不同，设计者的知识背景、价值判断不同，得出的方案也会不同.

将数学开放题作为数学研究性学习的一种载体，首先必须有适合的问题，如何编制能够用于研究性学习的开放题，这是值得研究的.在研究性学习的教学实践中，有充满活力和创造力的学生的参与，必将促进对这一问题认识的深化和提高.