一类分数阶p-Laplace方程积分三点边值问题正解的存在性

汤小松，罗节英

(井冈山大学数理学院，江西吉安343009)

带有p-Laplace算子的微分方程的边值问题，在非牛顿力学、宇宙物理、血浆问题和弹性理论等诸多领域都有广泛的应用.在过去几十年里，对p-Laplace方程的边值问题解的存在性的研究，取得了很多有意义的成果［1-5］.

分数阶微分方程除了在数学各方面的应用，还在流体力学、流变学、粘弹性力学、分数控制系统与分数控制器、各种电子回路、电分析化学、生物系统的电传导、神经的分数模型及回归模型等方面有广泛的应用，特别是在与分形维数有关的物理与工程方面有重要的应用［6-7］，因此引起了许多学者的极大关注.关于分数阶微分方程解(正解)的存在性研究，已取得了一定的成果［8-16］.例如，S.Zhang［10］利用锥上不动点定理和Leggett-Williams不动点定理讨论了如下两点边值问题的1个和3个正解的存在性

其中，是Caputo分数阶导数，1＜α≤2.

汤小松等［11］利用锥上不动点定理讨论了如下积分三点边值问题的1个正解的存在性

为方便起见，本文总假定:

(H1)a(t)∈C(［0，1］，［0，+ ∞))，并且在［0，1］的任何子区间上a(t)不恒等于0；

(H2)f∈C(［0，1］×［0，+∞)，［0，+∞)).

1 准备知识及引理

首先给出一些必要的分数阶计算的定义和定理，这些定义可以参见文献［8-9］.

2 主要结果

利用引理1.3～1.8来证明本文的主要结果.

定理2.1设条件(H1)和(H2)成立，且f还满足

(H3)f0∈(gp-1，+∞)；

(H4)f∞∈［0，σp-1)，

则边值问题(3)至少存在一个正解.

下面按f有界和无界2种情形进行考虑.

情形1 假设f有界，则存在L使得，当0≤t≤1及0≤u＜ +∞ 时，有f(t，u)≤(σL)p-1.令 R1=max{2r1，L}，定义E的开子集

定理2.2设条件(H1)和(H2)成立，且f还满足:

(H5)f0∈［0，σp-1)；

(H6)f∞∈(gp-1，+∞)，

则边值问题(3)至少存在一个正解.

［1］Leibenson L S.General problem of the movement of a compressible fluid in a porous medium［J］.Izv Akad Nauk SSSR Geogr Geophys，1983，9:7-10.

［2］ Jiang D，Gao W.Upper and lower solution method and a singular boundary value problem for the one-dimensionalp-Laplacian［J］.J Math Anal Appl，2000，252:631-648.

［3］陈顺清.二阶p-Laplacian算子方程的正周期解［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2008，31(2):155-158.

［4］刘兴元.具p-Laplacian算子方程多点边值问题3个正解的存在性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2012，35(1):78-81.

［5］郑春华，刘文斌.一类p-Laplacian方程非局部问题解的存在性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2013，36(6):856-861.

［6］Oldham K B，Spanier J.The Fractional Calculus［M］.New York:Academic Press，1974.

［7］Kilbas A A，Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Amsterdam:Elsevier Science，2006.

［8］Kilbas A A，Trujillo J J.Differential equations of fractional order:methods，results and problems II［J］.Appl Anal，2002，81:435-493.

［9］Bai Z，Lü H.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation［J］.J Math Anal Appl，2005，311:495-505

［10］Zhang S.Positive solution for boundary value problem of nonlinear fractional differential equations［J］.Electron J Diff Eqns，2006，36:1-12.

［11］汤小松，刘清.一类分数阶微分方程积分三点边值问题的正解［J］.井冈山大学学报:自然科学版，2013，34(1):11-16.

［12］Agarwal R P，O'Regan D，Stanek S.Positive solutions for Dirichlet problems of singular nonlinear fractional differential equations［J］.J Math Anal Appl，2010，371:57-68.

［13］ Yang W.Positive solutions for a coupled system of nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions［J］.Comput Math Appl，2012，63(1):288-297.

［14］ Cabada Alberto，Wang G.Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions［J］.J Math Anal Appl 2012，389(1):403-411.

［15］杨丹丹.分数阶微分包含三点边值问题解的存在性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2013，36(6):881-886.

［16］张稳根，胡卫敏，刘刚.非线性分数阶微分方程组奇异对偶系统正解的存在性［J］.四川师范大学学报:自然科学版，2013，36(6):887-892.

［17］Guo D，Lakshmikantham V.Nonlinear Problems in Abstract Cones［M］.New York:Academic press，1988.