一种球头铣刀“S”形刃口曲线的数学建模方法

庞思勤+乔小峰+王西彬+彭松

文章编号：16742974(2014)05004406

收稿日期：20130725

基金项目：国家自然科学基金资助项目(50935001/E050901)

作者简介：庞思勤（1958-），男，安徽宿州人，北京理工大学教授，博士

通讯联系人，Email:xf_qiao@126.com



摘 要：为了简化球头铣刀“S”形刃口的数学模型，推导两个空间平面与球面相交而成的复合型刃口曲线方程,提出并应用了“单球法”和“双球法”两种数学建模方法，并推导了球头铣刀球面部分平面刃口曲线偏转角和螺旋角的数学表达式.结果表明:偏转角和螺旋角两者相等，可以简化球面部分平面刃口曲线的数学模型,既降低了平面刀刃曲线的推导过程的复杂性，同时又为两个或多个空间平面与球头铣刀球面部分相交而成的复合型刃口曲线方程的建模提供了一种有效方法.



关键词：球头铣刀；“S”形刃口曲线；刀刃曲线；数学模型



中图分类号：TG714 文献标识码：A

A Mathematical Modeling Method forthe “S” 

Edge Curves ofa Ball End Mill



PANGSiqin,QIAOXiaofeng,WANGXibin,PENGSong

(Key Laboratory of Fundamental Science for Advanced Machining, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081,China)

Abstract:To simplify the mathematical model for the "S" edge curves of a ball end mill and derive the composite edge curve equations of the intersection of two space planes and the sphere，this paper proposed and applied the "Single Sphere Method" and "Dual Spheres Method" to deduce the mathematical expressions of the deflection angle and helical angle of the flat edge curves on a ball end mill's spherical part. The results have shown that the mathematical relationship between the deflection angle and the helical angle is equal, thus simplifying the mathematical model of the plane edge curves on the spherical part with an equal relationship between the two angles. This reduces the complexity of the derivation process of the plane edge curves and provides an effective method for the composite edge curves' modeling of the intersections of two or more space planes and the spherical part of the ball end mill.

Key words: ball end mill；“S” edge curve ；edge curve；mathematical model



由于球头立铣刀加工复杂曲面时有较好的自适应性和减振性，可以十分方便地加工模具内腔型面以及其他复杂曲面，广泛应用于加工自由曲面机械构件、模具等产业[1].同时，由于刀刃曲线一般为变导程弧形曲线且经过回转轴线，球头立铣刀具有切削力小，波动范围不大，耐用度高，切削过程平稳等优点[2].除此之外，球头立铣刀的切削性能和加工质量在很大程度上也取决于刀刃曲线的合理设计 [3].早期的刀刃曲线以直线刃为主，随着工件加工精度要求的提高，随后便出现了一般曲线刃和螺旋线刀刃.目前，对“S”形刃口曲线的研究和应用较广泛，有关“S”型刃口曲线设计和优化方法的文献层出不穷，易德明等人在分析球头立铣刀刃磨方法的基础上，建立了“S”形刃球头立铣刀的前、后刀面及切削刃的数学模型[4].廖钢等人对“S”形刃球头立铣刀几何参数进行了分析与优化，并对切削机理进行了研究[5].胡思节等人根据球头立铣刀的刃磨参数所需满足的条件，对“S”形刃口曲线进行了数学建模[6].汪云涛等人在已建立球头铣刀前刀面和后刀面数学模型的基础上，研究了“S”形刃口球头铣刀的误差数学模型[7].Lee等人提出在球头铣刀球面部分，以一个与刀轴垂直的圆柱面与之相交而形成的“S”形刃口曲线模型[8].Tai等人使用多项式构造了“S”形刃口曲线模型[9].盛尚雄等人根据加工时前刀面的成形运动,分别研究了圆柱和圆锥球头立铣刀球头部分的“S”形刃口曲线数学模型［10］.Lin等人讨论了“S”刃口球头铣刀的制造问题[11].

由于球头铣刀在切削加工时的点接触状态会使加工效率降低，随着五轴数控机床的广泛引入，球头铣刀在某些加工领域已被侧铣刀所代替.但是，为了降低生产成本，二轴及三轴数控机床加工过程中仍然广泛使用球头铣刀，对球头铣刀的深入研究是有必要的.目前，对球头铣刀“S”形刃口曲线的研究较为广泛，但是对球面与多个平面相交而成的刀刃曲线数学建模问题的研究少之又少.本文在推导文献[12]中提到的“S”形刃口曲线的过程中，结合空间几何理论和微分几何理论，首次提出了“单球法”和“双球法”两种数学建模方法，可以应用于球头铣刀球面与两个成一定夹角空间平面相交所形成的“S”形刃口曲线的数学模型推导问题，也可以应用到多个空间平面与球面相交的问题.

1 球面刀刃曲线通用数学模型

如图1所示，设点M为球头铣刀刀刃曲线上任意一点，刀刃曲线方程为：

x=ρcos ψy=ρsin ψz=z （1）

式中ρ为M点处矢径，ψ为相对于zox平面的偏转角，显然，其均为z的函数，即有：ρ=ρz,ψ=ψz.据此可以求出刀刃曲线上M点处的单位切矢量τ，回转面轮廓母线在M处的切矢量τ0和轮廓表面在M点处的单位法矢量n0分别为：

τ=

dρdzcosψ－ρdψdzsinψ,dρdzsinψ+ρdψdzcosψ,1dρdz2+ρdψdz2+1（2）



图1球面“S”形刃口曲线

Fig.1 “S” shape edge curve on sphere

由于锥面为回转面，所以在其经线上dψ/dz=0，代入式（2）可得：

τ0=dρdzcosψ,dρdzsinψ,1dρdz2+1（3）

n0=τ×τ0 （4）

根据螺旋角的定义，刀刃M点处螺旋角为单位切矢量τ和τ0之间的夹角，即

cos β=τ•τ0 （5）

将式（2），（3）代入式（5），得到偏转角的微分方程表达式：

dψdz=tanβρ1+dρdz2（6）

由式（6）解得ψ并代入式（1），便可求得球面刀刃曲线参数方程如式（7）所示:

x=R2－z2cos ψ0+tan β2ln R+z－ln R－zy=R2－z2sin ψ0+tan β2ln R+z－ln R－zz=z（7）

2 球面上平面刀刃曲线的简化数学模型

在刀刃曲线设计过程中，为使刀刃过铣刀回转轴，球面部分采用复合型切削刃，即在刀尖点附近，采用平面曲线刀刃，而在远离刀尖点的部位，采用能与平面曲线刀刃光滑连接的刀刃曲线，通常为螺旋线刀刃曲线，也可以为不同平面上的刀刃曲线，本文主要对两个不同平面上的两段平面刀刃曲线进行数学建模.

如图2（a）所示，平面Ⅰ，Ⅱ相交于球的一条直径线，在平面Ⅰ内过直径线的一个端点作球面的切线t，过切线t作另一个平面Ⅲ，平面Ⅱ，Ⅲ和球面相交于球面上一点M，球面角β即为平面刀刃曲线上任意一点M处的螺旋角，平面Ⅰ，Ⅱ之间的夹角即为平面刀刃曲线上任意一点M处的偏转角ψ的余角.

（a）点M处偏转角和螺旋角关系图

（b）点M处矢量图

图2 球面刀刃曲线上点M处偏转角和螺旋角

Fig.2 The point Mdeflection angle and the spiral

angle on edge curve of sphere



如图2（b）所示，平面Ⅱ，Ⅲ和球面的相交点M坐标、M点在球面上的法矢量nR、平面Ⅱ的法线矢量nx和平面Ⅲ的法线矢量nβ分别如式（8）~（11）所示：

x=Rsin αy=Rcos αcos θz=Rcos αsin θ（8）

nR=sin αcos αcos θcos αsin θ（9）

nx=cos α－sin α0 （10）

nβ=cos βk0－sin βk （11）

式中R为球面半径；α，θ为球面参数；βk为平面与z坐标轴的夹角，且有：

sin α=R－zρtan βk （12）

平面Ⅱ和球面的交线与平面Ⅲ和球面交线在相交点M处的切向量为tx和tβ：

tx=nx×nR，tβ=nβ×nR （13）

由平面Ⅱ和平面Ⅲ在球面上的球面角β的定义，可得：

cos β=tx•tβtxtβ（14）

将式（9）、（10）和式（11）代入式（13），得：

cos β=tx•tβtxtβ=nx×nR•nβ×nRnx×nRnβ×nR=

cos α•cos βkcos βk=cos α ,β=α

即，用过球面直径线端点的切线作任一平面Ⅲ，平面Ⅲ和球面的交线与过同一端点的球面经线所形成的球面角β，与过球面经线的平面Ⅱ和过直径线端点切线的平面Ⅰ相交于直径线所形成的二面角α在数值上相等，如图2所示.如图1中所示，设平面Ⅰ为yoz坐标平面，平面Ⅰ，Ⅱ相交所得直径线为z坐标轴，则平面Ⅲ和球面的交线为球头铣刀刀刃曲线，球面角β为刀刃曲线上任意一点M处的螺旋角，二面角α为点M处偏转角的余角，即：

β=α=π2－ψ（15）

联立式（12），（15），便可求得刀刃上任意一点M处的偏转角为：

ψ=arccos R－zρtan βk（16）

将式（16）代入式（1），得球面上简化的平面刀刃曲线的参数方程如式（17）所示：

x=R－ztan βky=ρsin arccos R－zρtan βkz=z（17）

对比式（17）和式（7），可以明显看出刀刃曲线方程得到了有效简化，更易于求解.

3 一种“S”形刃口曲线的数学模型

3.1 新型“S”形刃口曲线特征

本文应用简化的平面刀刃曲线的参数方程，对文献[12]提出的球头铣刀“S”形刃口曲线进行数学建模.如图3所示，该球头铣刀的刃型特点有以下特征[12]：

1）刃型曲线由平面Pa与球面的交线和平面Pb与球面的交线组合而成，即由图3所示的两段平面圆弧a和b组成.圆弧b的一端与圆弧a相切于点N，另一端与半球面沿刀具回转轴线方向的顶点K（刀尖）重合.

2）平面Pb与圆弧刃a段的后刀面相切，切线通过圆弧a和b的切点N.

3）b段圆弧刃的前刀面为圆柱面，并与Pb相切.

4）圆弧a和b所在的平面Pa和Pb分别与刀具轴线不平行也不垂直.平面Pa为a段圆弧刃的前刀面，平面Pb为b段圆弧刃的后刀面.

3.2 “单球法”和“双球法”理论

本文基于简化的球头铣刀平面刃口曲线数学方程和图3所示球头铣刀球面部分刃口曲线几何特征，首次提出了“单球法”和“双球法”的理论方法，基于此方法可以解决球头铣刀球面部分任意数量和任意位置平面与球面相交而成的刃口曲线数学建模问题.

（a）“S”形刃口曲线平面视图

（b）“S”形刃口曲线三维视图

图3 “S”刃口曲线图

Fig.3 Figure of “S”shape edge curve

“单球法”是在同一个球面上或同一个坐标系中对两段或多于两段平面刃口曲线进行数学建模.图3中所示的平面刃口曲线由两个平面Pa和Pb分别与球面相交而得.平面Pb在坐标系oxyz中的位置符合式（17）的推导条件，可直接带入参数求得b段刃口曲线数学方程，即：1）平面与y坐标轴平行；2）平面过球面顶点，并与z坐标轴之间的夹角不为零.平面Pa在坐标系oxyz中的位置不符合上述条件，对平面Pa进行坐标旋转变换和平移变换得平面P′a，使其在坐标系oxyz中的位置符合上述条件，如图4所示.由式（17）便可求得a段刃口曲线的过渡数学模型，可归纳为：坐标变换→满足条件→过渡数学模型→坐标逆变换→数学模型.



图4平面P′a位置关系图

Fig.4 Location diagram of plane P′a

同样，“双球法”是在不同球面上或不同坐标系中对两段或多段平面刃口曲线进行数学建模，两球面半径须相等.如图5所示，平面Pa位置不变，建立能使平面Pa满足上述条件的过渡坐标系o1x1y1z1，将平面参数代入式（17）可求得过渡坐标系o1x1y1z1中a段刃口曲线的数学模型，对过渡坐标系o1x1y1z1进行坐标变换使其与坐标系oxyz重合，求得过渡坐标系变换为固定坐标系的变换矩阵，对过渡坐标系中的刃口曲线进行同样的坐标变换，即可求得a段刃口曲线在坐标系oxyz中的数学模型，可归纳为：建立过渡坐标系→满足条件→过渡数学模型→坐标变换→数学模型.

3.3 “单球法”建立平面刃口数学模型

3.3.1 平面Pb与球面相交刃口曲线方程

如图3所示，b段刃口曲线由平面Pb和球面相交而成，平面Pb与y平行，符合式（17）推导条件.将平面Pb和z坐标轴夹角βk代入式（17），可得b段刃口曲线数学模型如式（18）所示：

（a）a段刃口曲线图

（b）平面Pa位置坐标图

图5 坐标系o1x1y1z1与平面Pa位置关系图

Fig.5Location figure between coordinate system

o1x1y1z1 and plane Pa



xPb=R－ztan βkyPb=ρsin arccos R－zρtan βkzPb=z（18）

3.3.2 平面Pa与球面相交刃口曲线方程

如图4所示，平面Pa通过绕z旋转角度φ和沿坐标轴平移可得到平面P′a，平面P′a与z坐标轴夹角β′k，即：

xP′ayP′azP′a=MzφxPayPazPa+－xN－yNR－zN（19）

式中Mzφ为平面Pa绕坐标轴z旋转角度φ时的变换矩阵，如式（20）.xN，yN，zN为刀刃曲线连接点N在坐标系oxyz中的坐标值.

Mzφ=cos φ－sin φ0sin φcos φ0001（20）

通过旋转和平移所得到的平面P′a符合第2节中球面上平面刀刃曲线的参数方程式（17），由此可求得平面P′a与球面相交所得的刃口曲线方程如式（21）所示：

xP′a=R－ztan β′kyP′a=ρsin arccos R－zρtan β′kzP′a=z（21）

将式（18），（20）代入式（19）便可得平面Pa在同一坐标系oxyz中的刀刃曲线方程如式（22）所示:

xPayPazPa=M－1zφxP′ayP′azP′a+xNyNzN－R （22）

式中xP′a，yP′a，zP′a分别为平面P′a与球面相交所得平面曲线上任意一点的坐标值;xPa，yPa，zPa分别为平面Pa与球面相交所得平面曲线上任意一点的坐标值;M－1zφ为旋转变换矩阵Mzφ的逆矩阵.由式（18）和式（22）可得球面上平面刀刃曲线方程为：

xPayPazPa=M－1zφxP′ayP′azP′a+xNyNzN－R0≤z＜zNxPb=R－ztan βkyPb=ρsin arccos R－zρtan βk zN≤z≤RzPb=z（23）

式中zN为a，b两段刃口曲线连接点N的坐标值，可由Pa和Pb平面参数βk和β′k确定.

3.4 “双球法”建立平面刃口数学模型

本文提出的“双球法”，即以N点为球面直径线端点，在坐标系o1x1y1z1中建立一个等半径的球面，z1轴和z轴在空间坐标系中平行，如图5所示.平面Pa与坐标轴y1平行，且与z1坐标轴之间的夹角为β1，符合式（17）推导条件，由此可得a段刃口曲线在o1x1y1z1坐标系中的数学方程如式（24）所示:

x1Pa=R－ztan β1y1Pa=ρsin arccos R－zρtan β1z1Pa=z1 （24）

式中x1Pa，y1Pa，z1Pa分别为a段刃口曲线上任意一点在o1x1y1z1坐标系的坐标值.

将式（24）所示刃口曲线方程通过坐标变换转换到oxyz坐标系中，即可得到a段刃口曲线在oxyz坐标系中的数学方程如式（25）所示:

xPayPazPa=Mzλx1Pay1Paz1Pa－xo′yo′zo′（25）

由式（18）和式（25）可得球面上平面刀刃曲线方程为：

xPayPazPa=Mzλx1Pay1Paz1Pa－xo′yo′zo′0≤z＜zNxPb=R－ztan βkyPb=ρsin arccos R－zρtan βkzN≤z≤RzPb=z（26）

式中 Mzλ为平面Pa绕坐标轴z旋转角度φ时的变换矩阵，如式（27）.xo′，yo′，zo′分别为坐标原点o1在坐标系oxyz中的坐标值.zN为a,b两段刃口曲线连接点N的坐标值，可由Pa和Pb平面参数βk和β1确定.

Mzλ=cos λ－sin λ0sin λcos λ0001（27）

4 结 论

本文通过对空间平面理论和球面相交理论进行推导的基础上，证明了球面部分平面刃口曲线偏转角和螺旋角相等的简明数学关系，简化了球面部分平面刃口曲线的数学模型.同时，应用本文提出的“单球法”和“双球法”数学建模方法，并结合简化的平面刃口曲线数学模型，对一种新型“S”形刃口曲线进行了数学建模，应用此建模方法可以求解球头铣刀不同数量空间平面与球面相交所形成的刃口曲线方程，既降低了平面刀刃曲线推导过程的复杂性，同时又为两个或多个空间平面与球头铣刀球面部分相交而成的复合型刃口曲线方程的数学建模提供了一种有效方法.

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