基于脑与认知科学的数学学习与数学教育

脑科学与认知科学呈现出蓬勃发展的态势，数学认知领域的脑科学研究也取得了较为丰硕的研究成果，那么认知科学、脑科学研究对理解数学学习的本质以及数学教育实践有什么启示，如何看待华人的数学学习与数学教育？为此，北京师范大学脑与数学认知研究中心周新林教授、华南师范大学何小亚教授、北京师范大学张春莉教授、北京师范大学綦春霞教授、国立台湾嘉义大学杨德清教授、东北师范大学孔凡哲教授、杭州师范大学巩子坤教授等和来自各个学校的其他教师一道对这一问题进行了深入研讨。

一、脑、认知科学与数学学习

1.脑认知与数学学习

认知科学作为一门新兴的科学，主要是研究人脑或心智活动机制的一门学科，得到世界科学家的普遍重视。国立台中教育大学杨志坚教授从国际数学成就在语法、语意及认知神经的意义方面展开论述。北京师范大学也设有脑与数学认知研究中心，该中心的周新林教授以“脑认知与数学学习”为题在此次大会中作了主题报告。在作报告之前，周教授先给出了一个画面，画面上给出一些数字，有动物在屏幕上点击这些数字，然后询问所有的参与人员，“大家记住这个顺序了吗，有动物的速度快吗？”其实，他是在告诉我们这就是动物的数学大脑，由此引出此次报告所要讲述的主要内容，即数学潜能是比较大的，人也应该具有这个能力，只是目前还没有被开发，需要依靠数学教育。

同时，周教授指出研究脑科学就是希望用脑科学的方式来研究数学认知与数学学习，从而服务于中小学的数学教育与教育实践，并指出现在全球范围内有30多个脑科学与数学教育研究的实验室。那么，什么是脑科学方法？周教授认为，简略地说就是用于心理与教育的脑科学方法，如脑成像、神经心理学等，并从数目加工、数学脑、数学加工的语言作用、数学经验、脑科学诊断与干预等方面来阐述脑、认知科学与数学学习的关系。

作为数学基础的数目加工，周教授指出，对数量进行比较是动物与人共有的能力。一些神经元可以对点数进行编元，这是数学起源与基础的地方。从数目加工与数学教育的关系来说，数感能力（数目加工）越好，数学成绩就越好，数学能力就越强。因此，他认为提高数目加工能力是干预计算障碍的基本方法。

何谓数学脑？周教授指出，数学思维的关键脑区是顶叶，但并不是说这个区域仅仅为数学服务，这是相对的，而是在将语言加工与数学加工进行对比时，这个区域的数学加工比较发达，即为数学脑，这对数学教育来讲至关重要。如果数学脑顶叶出现问题、大脑顶叶内沟区域损伤后就会出现数字加工障碍，因此，他认为存在数学脑意味着数学教育具有特殊性，不等同于语言教育，不能是一般教育规律的简单推广，要根据数学脑的特征进行数学的促进与干预。

针对数学加工的语言作用，周教授认为当前虽然存在一定的争论，但语言在数学中是可以发挥作用的。脑科学的研究有一定的意义，如在乘法大于加法、精算大于估算、计算大于推理、概念大于计算等领域，按照传统行为进行研究很难，但脑科学可以揭示为什么女生的计算能力要好于男生，指出数学存在稳定的性别差异，并运用偏相关的方法以8～9岁农村与城市的学生进行研究与验证。假设这些学生的语言能力相同，研究结果发现他们的计算能力彼此之间没有差别，但如果假设这些学生除语言能力外其他的能力相等的话，男女生的计算能力差异依旧会存在，从而表明语言中存在一个认知机制，会对数字、数感与数学术语对脑中的活跃区域发生影响，认为语言参与数学的程度依赖数学的能力类型、数字与数学术语，基础教育是可以为教育实践提供参考的。

关于学习经验与大脑的关系，周教授认为学习经验会塑造大脑的数学功能，不同的学习策略导致大脑的计算功能分离，如乘法口诀的背诵，指出乘法在语言区域的激活更强，加减法在视空间加工皮层的激活更强。同时，他也指出，方法不同，大脑功能就会不同；不同的学习内容会导致不同的数学知识长时记忆系统的形成，认为从脑科学的角度而言，早期学习经验塑造的大脑数学认知功能具有即时性与稳定性的特征，小学教师的责任比较重大，可以影响人的一生，进而得出大脑数学功能具有可塑性与持久性的结论。

借助脑科学中的一个试验，即产生任务与阅读任务的对比，周教授阐述了基于脑科学诊断与干预数学学习困难的内容，主要是对学生、学业认知、认知与脑等进行诊断，对脑、认知、学业认知与学业进行干预，认为产生任务多的话，大脑就会比较活跃，激发的越多，学生的学习效果就会比较好，进一步指出计算障碍的孩子，他们的大脑发育存在一定的问题，这一比例大概是3%～5%，并指出从心理学的角度来说，产生任务本质上是一个做题的过程，这也从侧面说明了做题的价值，认为题海战术有一定的道理。

2.脑与认知科学方法在数学学习研究中的运用

脑与认知科学作为一门新兴的交叉学科，涉及传统的心理学、教育学、生物学、信息科学、计算科学等学科，如何将它运用到数学学习中，北京师范大学博士生张晗介绍了脑与认知科学方法在数学学习研究中的运用，介绍了脑与认知科学采用的一些方法，如脑成像，指出脑成像是采用现代物理学与生物化学原理呈现大脑结构和功能活动的技术手段，如磁共振成像、脑电图、脑磁图、光学成像等，其运作机理是信息源，即参与活动的被试在活动中加工一些数学题目或者其他内容，在这个过程中运用脑成像的一些仪器对被试的大脑活动进行扫描与记录，并对这些信息进行整合、分析，最后得到他们进行这些特殊加工时的大脑活动情况，如大脑激活、神经纤维束。在这里，张晗指出脑成像技术是一种无损伤的技术，可以直接观察大脑的活动，进行数学加工与数学学习，但也会受到时间、空间分辨率的约束。

有关磁共振成像的原理，张晗指出它主要是利用电磁场去兴奋大脑中的原子，这一过程所导致的磁场变化会被一台环绕被试的外磁体所检测，进而由一台计算机处理成三维大脑图像。结合具体的研究——如何在具体的实践中运用磁共振成像的方法，她介绍了一个实验，即被试是12名数学学习困难儿童和12名正常对照组儿童，对参与研究儿童的3D大脑T2结构像进行扫描，借助工具包VBM与SPM进行结构像分离和灰质密度对比分析，结果发现大脑左侧顶内沟区域，正常对照组的灰质密度要大于数学学习困难组，也说明了数学学习困难的儿童不是他们不想学，不好好学，而是他们的大脑发育没有给他们提供可以顺利学会数学知识的生物学基础。

对如何提高顶内沟区域神经元的兴奋性，张晗认为经颅电刺激技术的应用使其成为可能。经颅电刺激技术是一种无创的神经电生理技术，使用电脉冲刺激大脑特定区域的神经元，暂时地兴奋或抑制这一部位的神经活动，可以发现对顶叶进行经颅电刺激能促进学生的数学学习，这对我们今后改善数学学习困难儿童有很大的帮助。

此外，张晗还对心理学的实证研究方法进行了介绍，指出借助专业的实验设备，严格控制刺激的呈现，准确地记录被试的反应时间和正确率，有助于发现彼此之间的因果联系，并具体地阐述了他们运用这一方法对中国幼儿园儿童在数字的心理数轴表征和数学学习成绩方面的相关认知机制进行研究，指出中国幼儿园儿童具有较为显著的数字—空间联合编码效应（SNARC效应），也就是说他们对小数字的反应时间要短于大数字的反应时间，即在儿童的头脑中已经存在一个心理数轴，具备数字空间的表征能力，即小数字在左边、大数字在右边。即使不通过课本进行知识传授，数轴在儿童的大脑中已经自动化地出现，从小数到大数，自左向右排列。

同时，在考查与数学学业成绩密切相关的认知机制时，她指出Numerosity与儿童数学学业成绩高相关，在考查儿童的数量或者数目能力时，收集学生早期数学能力测验与WJ计算分测验，并将其和Numerosity成绩进行相关分析，就会发现Numerosity越高，其数学能力测验与WJ计算分测验的成绩就越高。此外，Numerosity与成人数学学业成绩高相关， Numerosity的强弱与数学学业成绩的高低显著相关。这也给我们一个启示，那就是Numerosity是与数学学业成绩相关的一个很重要的因素。此外，她指出通过对北京师范大学的一些研究生进行高等数学能力与空间能力、语言思维能力等方面的相关测试，可以发现空间能力与高等数学成绩高相关。

最后，张晗认为在大数据时代如何开展数学学习研究，利用信息科学技术快速收集、远程收集实验数据成为可能，也使得基于大数据的分析成为可能，这有利于更好地进行数学学习研究。

3.概念图在评价数学概念性理解中的应用

从认知心理学，如知识表征、脑科学等视角，概念图在理论层面与学生的知识储存形式存在一定的共性；从数学概念本身的学习来说，数学概念之间也存在一定的关系；从学生学习的角度而言，概念图可以反映学生概念性理解中的知识缺失和理解性缺失，促进学生的学习。为此，南京师范大学讲师金海月针对“概念图在评价数学概念性理解中的应用”发言，指出通常意义下的概念理解是对单个概念从内涵到外延的全面性把握，会涉及这个概念与其他概念的关系，但她主要强调的是对单个概念的理解。

概念性理解是对关系的把握。她认为概念性理解可以划分为三种层次，首先是单个概念，如定义、例和反例，以及不同的表征形式，对单个概念理解后才能建立概念之间的联系；其次是概念间的相互联系，如等值抽象、弱抽象、广义抽象等；再次是应用，不涉及操作层面的程序性知识，主要指的是对概念及其关系应用的原理性认识，指出概念性理解的重要性是学生灵活地运用及在不同背景条件下恰当地应用知识的前提条件。

此外，她还提出了一个跨领域的学习方法，即社会网络分析法，将一些关系以社会网络图的形式刻画出来，中间的结点表示个体，借助出度与入度，在一定程度上反映数学教育领域中的社会地位与角色，同时它还有一条连线，表示距离与紧密程度，体现紧密度、交流度与可达性。此外，也会存在一定的从属结构、连通性与子群（小群体）。

在此次报告中，她指出她曾借助社会网络分析法对江苏省某初中二年级的48名学生就他们对有关方程、函数相关概念的概念性理解现状进行了试验分析，采用概念定义测试卷、概念构图测试卷与传统题卷作为研究工具，结果发现概念定义测试、概念构图测试与传统题三类试题在评价数学概念性理解上都有一定的优势。但在概念图中，学生很少提及相关概念的例或反例，这能够反映出学生对概念的一些错误理解与概念的组织结构，能促进他们今后的学习。同时，她也指出，前期对概念图进行培训与分析比较费时，而且学生会遗漏或者回避一些联系，假如这些联系比较重要，而在学生的头脑中这种联系缺失的话，教师就要在教学过程中刻意地帮助学生建立这样的联系。

二、有关数学学习的研究

1.数学学习的探索与钻研

数学作为一门重要学科，教师怎样“教”与学生怎样“学”应是数学研究的重要内容，那么如何改进学生的学习，多年来众多数学教育工作者与一线教师都进行了不懈的探索与钻研。美国特拉华大学蔡金法教授用做活动的形式开始了他的讲座内容。这个活动是在白纸上呈现一系列的词语，这些词语之间没有联系，但在这些词中有一些是标志词，如A（北京 抄写 北京）、B（北京 联想 蓝天）、C（北京 抄写 北京 联想 美丽），即A的标志词是“抄写”，B的标志词是“联想”、C的标志词是“抄写”与“联想”，在规定的时间内“抄写”或“联想”，再将所给的词语尽可能多地默写出来，检查默写A、B、C类的数量，查看这些数量之间的差异。这个活动结束后，蔡教授将他在其他地方做的相同活动的统计结果给予简单的回顾，指出不管人数多少、地点在哪，结果是没有什么差别的，认为一旦抄写与联想同时存在的话，学生的学习效果就会好一些，并用卡方检验给予简单的描述性统计。

同时，蔡教授还讲述了他做的另一项研究，即考查1 316名高中生是怎样思考与感知数学的，他会询问学生“如果数学是一种食物、颜色、动物，它可能是什么，为什么？”让学生来思考，并写出自己的真实感受。有的学生会写“数学像牛排，因为数学是一个面很广的学科。然而，牛排有的部分很硬很难啃。虽然整顿饭的最后还是满意的，但吃的过程是挺费力的”；也有的学生会写“数学像蚊子，因为无论你试图做什么躲避它，它总会回来的，让我讨厌的是每年都要上数学课，无论你试图做什么以逃避数学课，你总不会得逞的”。通过这些语言，蔡教授认为，可以看到学生对数学的喜爱与兴趣的程度，并针对学生的回答分成5个等级（1—5分）进行定量分析或者定性分析，揭示学生所使用的比喻类型以及原因，研究兴趣对学习的影响。

此外，蔡教授指出他对美国联邦政府支持的改革型课程与传统型的课程进行了长期的跟踪研究，研究对象是从六年级升到八年级的1 300名学生与升入高中后的1 000名学生，结果发现学生从六年级升到八年级时，如果之前实施的是改革型课程，学生对问题理解的增长情况要比传统型课程来得好；在计算问题上，学习两种课程的学生差不多，高中（9—12年级）学习两种课程的学生在高中课程完全一样的情况下，学习改革型课程的学生在数学态度与数学成绩上都要高于学习传统型课程的学生，这说明以问题解决为主的课程与教学有比较正面的影响。

2.理论研究与数学学习

任何领域的研究都离不开理论的支撑，数学领域也不例外。来自东北师范大学的郭民副教授与史宁中教授从数感的发展规律与特征入手，具体介绍了其在数学领域的实证研究。他们认为数感是人们对数和数的关系的一种感悟，以及运用数字关系和数字模式进行推理与解决问题的能力，但这一定义有待商榷，同时也指出综合已有文献与《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，数感的构成要素包括数的意义、数的表示、数的关系、数的运算、数的估算、数的问题解决，并对小学生数感发展阶段做了一个假设性划分，即数觉阶段，在还未建立数概念符号时对数的大小与多少形成的直观感受；符号阶段，基于数觉，依靠知识、经验技能发展起来的建立在概念符号基础上对数和数字关系的感悟能力；模型阶段，或者问题解决阶段，建立在模型基础上对数字关系和数字模式的感悟，以及运用数字进行推理与解决问题的能力。

此外，他们还对小学教师进行了问卷调查与访谈，研究发现90%的教师知道课程标准中有数感概念，但不知道数感是什么；80%的教师认为数感比较重要，但不知道怎样培养学生的数感。通过测试与分析，郭教授认为，总体而言，小学生的数感发展水平随着年级的升高逐渐提高，二年级与三年级学生的数感发展水平存在显著差异，三年级与四年级、四年级与五年级学生的数感发展水平并不存在显著差异，五年级与六年级学生的数感发展水平则存在显著性的差异；对各个分测试结果进行分析，可以得知二年级的学生处于第一个发展阶段，三至五年级的学生处于第二发展阶段，六年级的学生处于第三发展阶段。基于此，他们认为教师可以对小学数学课程进行内容设计，在一二年级的数学学习中设计数的意义、数的表示、数的关系与数的运算的部分内容；在三至五年级的数学学习中设计数的意义、数的表示、数的关系、数的运算的全部内容和数的估算、数的问题解决的部分内容；六年级学生的数学学习中可以设计数的估算、数的问题解决的其他内容。

在数学理论研究层面，人们不仅对数感内容进行了研究，还以基膜导向数学理论为理论基础对学生的数学学习进行了研究。来自国立台中教育大学的陈嘉皇教授指出，2014年8月台湾地区开始实施“十二年国民基本教育”，主要是想培养学生运算与理解的能力、抽象化的能力与在日常生活中运用与推理的能力。他认为基膜是一种认知机制，可存储、综合、归纳及提取经验，让个体组织相似的经验，进而协助辨别额外的经验，简单地说就是学生正在学习的数学概念与技巧，而教师的任务就是怎样发现、激活学生大脑中已有的基膜与能力。因此，陈教授认为基膜导向解题教学的操作历程是辨识问题情境中运用的基膜关联知识，将问题或问题类型里重要的元素予以配对及呈现其关系，计划和选择所核实的数学等式进行运算及执行此计划。同时，他以某公立小学一年级升入二年级的26名学生进行前测后选择12名学生，按照高低分分成两组进行测验，主要测试的题型包括数学算式对错判断问题、数字填充问题和相等概念配合题，一个月后进行后测。通过研究，陈教授指出，经过基膜导向解题教学实验后，学生能够获得等号反身性、单边运算与双边运算相等关系的概念，学生学习等号概念的路径从单边运算、反身性、双边运算的教学效果最佳；其次是反身运算、单边运算、双边运算；依据学生认知能力差异，等号概念之间的转化与连接有不同的表现。而且，陈教授还对台湾南部某公立小学六年级33名学生运用一般化基膜进行图形规律问题研究，针对学生发想、链接与归纳三个阶段对他们的解题过程进行分析，他指出，从发想阶段来看，学生会运用两种模式进行发想，一是整体图形关系、部分结构要素，二是乘法、加法、乘法与加法的结合；在链接与归纳阶段，学生也会有自己的想法。

因此，陈教授指出，学生学习数学时一定要有一定的基本能力。在数学领域上，基膜已成为代数知识研究与模式化知识过程的一个重要的理论工具。在组织与拓展代数知识上，学生若能成功地发展变数的基膜，就可以拓展到等式、函数的概念，有助于提升数学学习的成绩。

3.教学实践与数学学习

《普通高中数学课程标准（实验）》颁布以来，有关立体几何部分课程结构和教学要求的调整引起了人们的许多争论，为此，来自常熟理工学院的黄兴丰、裔晶晶与杨丹丹指出，根据范希尔理论，学生的几何学习分为5个水平，即视觉、描述/分析、抽象/关系、形式演绎、严谨/元数学等，但范希尔理论存在一个问题，即它认为学生几何思维的发展有先后顺序，只有达到前一个水平后，才有可能跳跃到后一个水平。在现实生活中，很多学生的思维发展规律和范希尔理论是不一致的，且学生的思维水平一般达不到元数学的水平。因而，他们指出，1999年意大利学者Gutiérrez断言，人的几何思维发展可能是连续的，可能各个水平的发展会同时发生，并非单一的，所以，他们引入四维向量对范希尔理论的5个水平给予表示，说明其四个方向上都可以发展，并将每个水平分成5个连续的发展阶段，即未获得（水平1）、低水平获得（水平2）、中等水平获得（水平3）、高水平获得（水平4）、完全获得（水平5），运用定量的数值区间（0～100）刻画学生在各个水平上的发展状况。为了验证这一理论的科学性，他们对苏南某县的7所普通高中内最好、最差与排名中间的学校的高三学生进行具体分析，结果发现，高三学生在水平1、水平2上没有什么问题，如果说在水平3上还可以的话，那么学生在水平4上则表现得很低，处于未获得、低水平获得阶段，从而他们指出大部分学生的思维发展属于水平2到水平4，并在前两个水平上得到了充分发展，在后两个水平上有待提升，尚处于数学推理阶段。

数学学习离不开样例（教材中的例题）的学习。通过样例学习，掌握一定的知识与技能，培养学生解决问题的能力。那么怎样才能了解学生能否通过数学运算的样例学习，领悟、归纳运算规则呢？为此，来自辽宁师范大学的张奇教授针对数学运算规则的样例学习进行了研究。他主要做了三个实验，第一个实验是对二年级学生进行“四则混合运算”的样例研究，考查他们能否通过运算样例学会四则混合运算，把某个运算规则进行分解，如无括号、小括号、中括号，他指出多数被试可以通过样例学会小括号与中括号的运算规则，但他们很难学会无括号的四则混合运算法则。第二个实验是选择小学三至五年级的学生作为被试，以“有理数去括号”的运算规则进行样例学习，每个运算规则设计2个运算样例，在样例学习阶段增加样例归类作业，最后他指出3个年级的学生可以不同程度地学会去括号的运算规则，前2个子规则的样例成绩要显著好于后2个子规则，而且年级越高，成绩越好，存在一定的年级差异。第三个实验是代数运算规则的样例学习，对“完全平方和”与“平方差”进行样例学习，考查六年级学生能否通过运算样例学会代数规则。研究表明多数被试很难学会“平方差”的运算规则，少数被试可以学会“完全平方和”的运算规则。那为什么代数运算规则比较难呢？为此，张教授进行了深入的探索，认为代数运算符号存在一定的变化，学生可能不理解代数运算符号，在符号代替数字方面存在一定的难度。基于此，张教授指出，教师可以用已经学过的运算符号与运算规则来解释新的运算符号，可以用解释法设计样例，如5×3=5+5+5，此外，还可以运用解释—标记法，用虚线进行标记，并针对此内容进行了对照实验。他指出，研究发现有转换标记组的样例学习迁移成绩明显优于对照组，而且解释法的样例设计在“对数运算”的样例学习中发挥着有效的促进作用。最后，张教授指出，样例学习是自主学习，但要从教学效果上进行样例设计，符合不同个体的需求，对优秀学生，样例要有一定的难度，解释与标记少一点；对学困生，要增加一些标记，使其学习更容易些，增强他们自主学习的成就感。但同时，张教授也指出样例学习并不是主流方式，只是起辅助作用，是提供学生自主学习的方法。

任何一个运算都要了解运算的意义、算理与法则，小数乘法的意义也不例外。然而，教师不应该用整数乘法的意义来代表小数乘法的意义，为此，来自杭州师范大学的巩子坤教授通过对小数乘法意义的调查研究来分析学生对数学意义的理解水平。他主要对两所城市学校的2个班级（五、六年级）的学生进行研究，采用质与量的问卷调查法了解学生理解水平的纵向变化，对符号到语言的转化、从现实情境到语言的转化、从语言到符号的转化、从符号到现实的转化、用图示直观表征等5类问题进行分析。根据研究结果，巩教授认为对小数乘法意义的正确理解主要有：第一，从书面符号表征到口头语言表征的转化，如8.2×10的意义是什么？第二，从口头语言表征到书面符号表征的转化，6个2.05的和是多少？第三，直接叙述小学乘法的意义，如一个数乘小数的意义是什么？第四，从现实情境表征到书面符号表征的转化，如小明有7.5千克苹果，小华的苹果是小明的32%，小明有多少千克苹果？给出现实背景，列出式子。第五，从书面符号表征到现实情境的表征。同时，他也指出了对小数乘法意义的错误理解有：第一，整数运算的负迁移，如加与和、用几个几的和来表征；第二，关键字策略，如出现“和”字、“取走”与“用”字；第三，分数知识欠缺、错误的分数表征、混淆分数的绝对性与相对性、肢解分数的意义……最后，巩教授认为由于小数乘法具有层次性与有限性，学生的分数知识有限且教材内容的设计使学生对小数乘法意义的理解有限，在今后的教学中教师应加强分数教学，丰富学生的认知结构，同时也要改变教科书的呈现顺序，完善学生的认知结构，并注重直观教学。

幼儿园的孩子对某些问题会解决得很好，但进入小学之后会出现一些不能理解的错误，那我国是不是也存在这样的问题，为此，北京石景山区苹果园第二小学教师张岭通过对学生在学习理解加减法运算意义中所形成的“情境原型”的研究试图对这一问题进行回答。张岭指出，“情境原型”指的是与加减乘除这四种一步运算相对应的现实情境，加减的“现实情境”原型有聚合、比较、增加性变化与减少性变化。通过对北京郊区县一至三年级的500名学生进行抽样测试、追踪访谈和比较研究，深入了解了学生用加减法原型解决问题中会遇到的主要困难，也探查了影响学生解决问题的可能影响因素。在他的研究中可以看到，学生会遇到的主要困难是见“多”就加、见“少”就减、看见“还剩”就减、见“飞”就减、看见“一共”就加等。因此，他认为学生对加法的聚合、增加变化与减法的减少变化理解得比较多，但对比较原型的掌握比较困难，指出从中找到一些可以应用的步骤对其给予正确理解、与正确计算方法对接、避免一些错误定势，这对问题的理解与表征比较重要。教师在教学过程中要注意利用好直观的教具与学具，做好直观学具与抽象算式之间的沟通。

评价=事实描述+价值判断+增值探索。北京教育学院张丹教授认为对评价的认识不仅需要进行测量，还要有事实的描述，进行一定的价值判断。她讲述了她们在2013年对东、中、西部地区的三年级学生进行的“数的运算”掌握情况的调查，重点对东部某省的情况进行了分析。根据课标的要求，张教授将能力维度分为了解、理解、掌握与运用，将内容维度分为数与代数、空间与图形、统计与概率，并围绕“数的运算”设计了一定的题目。她指出，测试结果表明学生在如何理解这一定义上遇到了较大的问题，在“计算与算理”方面的正答率较高，但在“估算”作答方面，学生在判断是否符合题目要求时发生了错误。因此，张教授认为，在运算意义方面，三年级学生在熟悉的实际情境到符号的转化、符号到图形表征的转化方面表现得不错，同时指出他们还会进一步对现实情境、图形表征、文字表征、符号表征的其他转化方面开展测试；在计算和算理方面，需要进一步研究学生能完成什么样的任务才能说明其在算理理解上达到合格水平；在估算方面，主要集中在四舍五入与余数计算上，不少学生在解决实际问题时不能很好地捕捉到复杂情境中的信息。为此，她认为教师要重视教材和具体情境，鼓励学生列式，重视对算式的理解与解释，避免将估算当作近似计算、四舍五入等进行教学，使得学生不会根据实际情境进行大估。

4. 中考数学改革趋势分析

评价改革是制约教育改革的瓶颈，“你考什么我就教什么”的传统习惯一直是我国中小学校遵循的潜规则，更被社会广泛认同。如何切实发挥中考的“指挥棒”作用，让中考切实引领初中数学日常教学走向科学、规范之路，成为中考改革的关键，中考命题与评价的研究也成为促进教育改革的关键点。吉林市第二十九中学教师朱航与吉林省教育学院副教授孟祥静基于全国中考数学的命题趋势对中学数学的改革趋势进行了分析，指出今后中考数学命题会突出“四基”与“四能”的考查，关注学生的数学素养，主要表现在继续强化基础知识与基本技能的考查、注重数学基本思想与数学基本活动经验的考查，以期以探究的形式有效地引导学生提出有价值的问题。此外，他们认为中考试题要体现课程标准的理念，改善学生的数学学习方式，丰富他们的数学学习体验，有效地评价他们的数学学习状况。

此外，在“四基”的考查方式方面，如何避免机械记忆、重复训练，如何改变简单地、机械化地解答数学题的模式，也是他们要重点探索的问题。他们同时也希望对“四基”的考查能关注对初中阶段核心知识、核心思想的真正理解和灵活运用，体现数学对未来公民素养培养的普及性与基础性。在“四能”的考查方面，他们认为在如何分析与解决问题的基础上要为学生留有发现问题、提出问题的空间，给予合理的评价，关注学生应用意识与创新思维的考查，体现数学的发展性。

三、有关数学教育与教学评价的研究

我国基础教育课程改革已进行多年，如何更好地观察基础教育课程改革下的课程教学实践的变化，对课程教师教学质量进行评价，来自深圳大学的讲师李小青与来自香港中文大学的倪玉菁教授具体讲述了课堂教师教学质量评价工具的编制过程，采用自我报告法与观察法对课程改革背景下的教师教学情况进行了评价，通过编制本土化的教师课堂教学质量观测工具，关注数学课堂师生对话的状况，从对话内容中对教师课堂质量进行评估。她指出，她们主要是从解释性的教学行为进行评估的，认为教学性解释是课堂中教师和学生共同建构的、服务于教学的、用以回答学科的各种疑问，指出评价工具的编制视角有科学哲学、传播学、教学，工具编制的主要维度是准确性、丰富性与连贯性。同时，她指出准确性指的是教师在解释中能够提供准确的数学知识，教师的数学语言是准确无误的；丰富性指的是教师能够为学生呈现丰富的数学语言，能够使用一题多解的方式，能够联系核心数学概念及法则；连贯性指的是解释围绕一个内容展开，教师能够积极地回应学生作答。同时，她还对河南郑州20个学校58名五年级教师连续3节课的录像进行分析，对教师的解释与延伸性对话等教学片断进行评估。通过检测，她指出这个工具具有稳定性，信度也比较好，在内容效度、准则关联效度方面的效果较佳，但结构效度有待提高，认为这一研究工具能够运用在指导教学实践上，帮助教师了解和反思个人教学，为评价新课程改革下小学数学课堂教师教学状况，尤其是课堂师生对话的状况提供一定的参考。

区域教育质量监测主要是为了测评、改进与提升教育质量，以能力为导向、以常模参照为标准、以诊断改进为功能。来自北京师范大学的张新颜、王祎及淮北师范学院副教授李孝诚针对初中八年级学生数学素养的基本情况进行了汇报，认为数学素养是人的潜在能力，要将素养聚焦在能力上，并指出数学素养应存在三个视角，即价值取向、要素取向和能力取向，同时也指出在这个研究中主要采用要素取向，认为数学素养测评的核心领域为概念理解、运算、推理、几何直观。他们主要针对639所中学初中九年级83 792人（内容是八年级的）进行学业的纸笔测验，主要测试内容是数与代数、图形与几何、统计与概率。为了保证数学素养测验的信度与效度，采用专家评定法与加权平均的方式确定测评题目。在概念理解与推理问题上，学生的不合格率是5%，且概念理解的优秀率要明显高于推理，而且成绩较好的学生在概念理解与推理上的能力更强。不同性别的学生差异不明显，差异关键体现在地区性质、教学资源的分配上。因此，他们认为应建立“以能力为导向、以标准为参照、以诊断与改进为主要功能”的学业测评标准，在教学过程中关注差异，尤其是学校之间的差异。

教学是一种特殊的认识活动，是学生为主体、教师为主导的以师生之间沟通活动为主的社会实践活动。基于绿色理念的数学教学评价要有四个基本原则，即评价指标要兼顾科学性与可操作性、内容要兼顾教师的“教”与学生的“学”、方法要兼顾定量与定性方法的结合、评价功能重在诊断与改进。北京师范大学教授綦春霞、淮北师范大学副教授李孝诚和北京石景山区基础教育研究中心教师李文从促进教师专业发展的视角阐述了初中数学绿色课堂教学的评价标准，认为数学教学活动要体现数学内容设计的科学性、学生参与的主动性、学生个人和教师共同体关系的处理及活动规则创设的方式与有效分工，分为4个维度，即教学内容的处理、教学组织形式的选择、对学生数学学习的关注、师生情感交流场的建立，共27项内容。此外，他们还进行了一定的统计分析，从中发现教师的6个专业素养，即对学生的关注、教学方法、教学效果、师生的可持续发展、教学设计、教学本质的关注，并对其进行分解组合，从而形成数学绿色课堂教学的评价标准。为了进一步检验初中数学绿色课堂教学评价标准的科学性与操作性，他们在石景山区的3个学校进行了一个学期的试用，并对指标体系进行研讨与优化，指出评价指标维度要精简，指标内容要精确化，要体现数学绿色课堂的基本特征，最好实行等级评分制；要内化绿色课堂的基本理念，构建和谐的课堂文化；符合初中学生数学学习的特点，关注学生的可持续发展；凸显初中数学的学科特点，注重数学本质的理解；引领教师反思，促进教师专业化发展。

现代教育评价强调建立一个评价目标多元、评价方法多样的发展性评价体系，强调发展性与过程性评价。为此，北京师范大学张春莉教授从数学学习的发展性评价入手进行了理论与实践的探究，认为新课程改革之后，学校教育发生了很大的变化，教师不再仅仅以成绩来评价学生的学习表现，把学生的学习能力体现在他们的各种学习活动实践中，在能力上相互促进与影响。同时，她指出了七种多样化的评价方法，如日常观察、纸笔测试、表现性任务、成长记录袋、二次评价、评语、家校合作，并进行具体的阐述，认为日常观察主要是对学生的学校表现、综合素质进行关注，认为激励不等于一味地表扬，正确地指导与批评也是必须的；在进行纸笔测验时，不但要重视结果，更要重视过程，要淡化横向比较，加强纵向比较，并且要对高低年级的学生体现出不同的人文关怀；表现性任务是要挖掘儿童熟悉的情景，进行动手操作，要有民主和谐的课堂氛围，在教材中加强嵌入式的表现性评价；成长记录袋要体现评价的激励、学习、教育等功能，具有鲜明的学科性与可操作性，重视发展学生的个性，进行多元性评价，但要体现出年级之间的差异；二次评价，是“要我改”变为“我要改”，使教育从成功走向“成功”，采用重考与免考制度；评语要在平时收集，有感而发，进行较正规的阶段性总结，以论点与论据结合的方式呈现；家校合作的联系方式有卡片、网络、信息等，将学生的表现呈现给家长，但要防止完全依赖家校互联平台而忽视与学生面对面地交流与对话，还要考虑如何尊重学生的隐私权。最后，她指出，数学教学评价未来的研究方向是如何将评价更好地融入到教学中，为教学服务；如何使评价标准做到公平、公正与公开；如何在实践中使各种评价工具协调一致地发挥作用。

不管是基础教育课程改革提倡的发展性评价，抑或是当前我国提倡的绿色评价，其根本宗旨就是促进学生终身的可持续发展，因此，东北师范大学南湖实验学校的孔凡哲等认为小学数学评价要关注过程与结果，更要关注学生的潜质，要基于可持续发展的视角进行小学数学教学的评价研究，指出评价的内容应有浓厚的学习兴趣、良好的学习习惯、科学的学习方法、健全的身心、初步的社会责任感、向上的精神与创造的激情。同时，他们认为要有将激励、诊断与改进等多种功能融为一体引导学生开窍的课堂即时性评价，有聚焦理解性掌握、关注测评学生对数学新知的自我建构过程的数学口试，有关注兴趣、方法、应用意识等的综合性专题活动评价，从而激发学生数学学习的潜质，有效地发挥评价的多元功能。同时，该校教师还讲述了他们运用电脑语言辅助评价对课堂评价的一些案例，认为在课内外评价方面，要采用“课内铺垫+课外评价拓展+多角度评价卡”相结合的方式进行整合性评价。最后，他们认为学校教育需要潜移默化，从自然的人到社会的人，而数学教育的作用在于帮助学生开启一扇思维之窗、启迪学生终身受用的智慧。评价不仅在于甄别、检测，更在于激励、改进，学生学业评价的根本在于促进学生的可持续发展。

大脑作为人们认知学习的重要物质载体，脑科学与认知科学的发展推动着人们对数学学习与教学评价进行更为深入的研究，它们之间存在着密切的联系。数学教育问题是复杂的，如何在这一复杂的体系中较为清晰地发现某种脉络进行学习与教学，这是所有数学工作者与一线数学教师不断追求的梦想，他们也正在这条道路上前行着。

（责任编辑：孙建辉）