解平行四边形板弯曲问题的GD法

杨 柳，彭建设

（成都大学 工业制造学院，四川 成都 610106）

0 引 言

在弹性薄板的弯曲问题中，矩形板和圆形板较易获得精确解答，但对于平行四边形板，因边界条件不易满足，通常其精确解很难获得，因而常采用数值解法.在数值解法中，常用的有康托洛维奇变分法、有限元法、有限差分法、微分求积法、无网格法等［1－7］.这些方法各有优缺点，在不同的领域都有成功的应用.本研究运用常微分方程（General Differential，GD）解法对平行四边形板弯曲问题进行了求解，该方法从泰勒级数出发，用全域内节点函数的加权和来表示该点的各阶导数值，其权系数只取决于节点的分布而与具体问题无关.数值计算结果表明，GD 法是求解平行四边形等异形板弯曲问题的一种较好的数值方法.

1 GD 法基本原理

将某连续函数f（x）在基点xi处做泰勒展开，在此基础上，将某节点的导数用全域内节点函数的加权和来表示，从而将偏微分方程转化为由待求节点函数值表述的代数方程组，通过求解线性方程组，而使原微分方程得解.

设f＝f（x）为弹性体内的某一连续函数，该函数只随x坐标而变化.以第i个节点为基点，第m（m≠i）点的表达式为，

其中，fi（i＝2，3，…，N－1）为内节点，f1，fN为外边界节点.将各节点展开整理为如下矩阵，

其中，

采用Gauss－Jordan消去法，A、B 所组成的增广矩阵经k＋1次消元后得到系数矩阵的逆阵，

式中，j＝k＋1，k＋2，…，N－1.

式中，m ＝1，2，…，N－1.

式中，J ＝k＋1，k＋2，…，N－1；z＝1，2，…，N－1（z≠k）.

式中，z＝1，2，…，N－1（z≠k）；m ＝1，2，…，N－1.

经过N 次消元后，将（1）整理为如下形式，

式中，

将域内不同节点的同阶导数的系数列阵整理为，

分析式（13）易知，该节点的k阶导数为，

权系数C 为，

2 GD 法解平行四边形板静力问题

通常，平行四边形板的控制微分方程为，

采用如图1所示坐标变换系统，斜坐标（u，v）与直角坐标（x，y）之间的关系［8］为，

图1 坐标变换系统

或者，

则原平行四边形域可变换到矩形域.将其做无量纲化，令，

则矩形域变换成边长为1的正方形域，相应的，控制方程（16）可在坐标系oζη 中表达为，

将板划分为Nx×Ny个节点，对每一节点（ζi，ηj），都可由式（19）得到其GD 方程，

式中，i＝1，2，…，Nx；j＝1，2，…，Ny.

其矩阵形式为，

式中，｛δ｝为Nx×Ny行的待定节点位移w（αi，βj）的列阵，［C］为Nx×Ny行Nx×Ny列的权系数矩阵，｛Q｝为Nx×Ny行的广义载荷列阵.

坐标变换后的正方形板有4个边界，共有8个边界条件.例如，四边固支时，其8个边界条件为，

通过以上边界条件可得4（Nx＋Ny）个代表边界条件的GD 方程.用该边界条件方程取代式（20）的对应边界位置的方程，即得其可解线性方程组.求解该线性方程组即得节点位移w（ζi，ηj）的列阵｛δ｝，其全域的位移场可由拉格朗日插值得到，

例1 四边简支平行四边形薄板（见图1），在均布载荷q作用下，μ ＝0.2，不同角度对应中点挠度如表1所示.

例2 四边固支平行四边形薄板，在均布载荷作用下，θ0＝60°，r＝1，s＝sin60°，四边形中点位移的本研究方法解为其康托洛维奇法解［10］为0.000551，两者相差2%.

4 结 语

本研究先利用坐标变换使平行四边形板域变换成正方形板域，然后运用GD 法对变换后的新控制方程进行了求解.数值计算结果表明，GD 法在对平行四边形板弯曲问题的求解中，具有数学原理严谨、精度高、易于编程计算等优点，是一种较好的数值方法.

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