部分因式展开法拉普拉斯反变换深层探析

郎佳红，蒋顺利，王 彦，郑诗程，章家岩

(安徽工业大学 安徽马鞍山 243002)

部分因式展开法拉普拉斯反变换深层探析

郎佳红，蒋顺利，王 彦，郑诗程，章家岩

(安徽工业大学 安徽马鞍山 243002)

运算电路的解析，常用部分因式展开法进行拉普拉斯反变换，以求取时域解。对象函数分母进行因式分解，可能出现复根情况的讨论，相关课程、文献分析不够深入，给出的求取原函数方法单一，解题容易出错。为此，对复根情况进行了较为深入的探讨，并提出了一种新颖的求解原函数的方法，消除了求解高阶象函数的原函数困惑，并很大提高了求取原函数的速度和准确率。

运算电路；拉普拉斯逆变换；部分因式展开法；复根； 配平方法

在电路理论分析中，对于动态电路、尤其是高阶动态电路，根据基尔霍夫定律和元件的VCR列出的是微分方程，根据换路后的动态元件的初值求解微分方程。对于高阶动态电路，运用经典法求解高阶微分方程比较困难。拉普拉斯变换方法就是一种数学上的积分变换方法，可将时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程来求解。但是此解为频域解，为了得到时域解，需要对该解进行拉氏逆变换。

时域函数一般称为原函数，经拉氏变换得到频域函数称为象函数。从象函数求取原函数，一般采用部分因式展开法，得到几个因式之和，然后根据拉氏变换性质和象函数和原函数一一对应关系，求出原函数。电路课程中对于象函数分母因式分解为复根情况的部分因式展开法的讨论内容少，而且采用单根法求解比较机械费时，为此在本文中对于拉氏逆变换部分因式展开法进行了有益探索，并介绍一种新颖、快捷求解方法。

1 拉氏逆变换部分因式展开法

拉氏逆变换的基本定义：

记作f(t)=L-1[F(s)]

(1)

运用(1)式进行拉氏逆变换很繁琐，在实际的拉氏逆变换中很少采用，而是采用其他的求解方法，其中部分因式展开法最为常用。

象函数一般可以表示：

(2)

F(s)表达式，一般n≤m。若n

所谓部分因式展开法，简单地说，就是将象函数F(s)的分母D(s)进行因式分解，即求D(s)=0的根，然后将F(s)展开成几个因式的和，然后根据拉氏变换的定义和基本性质求解原函数。对于D(s)的根，无外乎三种情况，单根、重根、复根。由于实数单根和实数重根情况，比较容易求取F(s)的原函数，而当D(s)=0为非实数复根，如果采取与实数单根、实数重根F(s)的一样的方法求取F(s)原函数显得有些繁琐，为此在此提出一种新颖的求取原函数的方法，本文称为配平方法。为了更快捷地使用配平方法，需要对主要函数拉氏变换(见表1)以及拉氏变换的频域延迟性质比较熟悉。一般电路理论很少介绍拉氏频域延迟性质，在此本文首先简单证明一下拉氏频域延迟性质[1、2]。

一些常用函数的拉普拉斯变换见表1所示，拉普拉氏变换的基本性质见表2所示。

拉普拉斯变换的基本性质主要有线性性质、微分性质、积分性质、频域延迟性质以及时域延迟性质等等。一般文献专著中对于频域延迟性质很少介绍，在此对该性质做个简单的证明，以备下文运用。

表1 主要函数的拉普拉氏变换

由拉氏变换定义，原函数f(t)的象函数F(s)为：

则原函数f(t)est的象函数F1(s)为：

2 配平方法

针对象函数的特点和拉氏变换基本性质，本文提出一种新颖的求取象函数F(s)所对应原函数F(t)的方法，并称为配平方法。如果D(s)=0为实数单根或实数重根，求其原函数比较容易。如果D(s)=0为复根，按照单根处理方法求F(s)原函数比较繁琐，如果采用配平方法求解，则简单快捷。这种方法在电路课程、文献没有介绍。下面对二阶D(s)=0复根的情况，采用常规(单根处理)法和配平方法求取原函数进行简单比较。

2.1 常规法

求待定系数k1、k2，得：

根据象函数与原函数一一对应关系，可得原函数f(t)：

根据欧拉公式ejθ=cosθ+jsinθ，并整理可得：

2.2 配平方法

根据表1中的cosωt、sinωt的拉氏变换及s域延迟性质，不难得到原函数f(t)：

比较发现，配平方简单快捷，而且不容易出错。下面举个应用配平方法求解原函数的例子。

根据表1中的cosωt、sinωt、的拉氏变换及s域延迟性质，得到原函数f(t)：

3 高阶 复根分析

对于高阶D(s)的分析，本文由于篇幅限制和电路课程中动态电路内容特点，在此只讨论三阶和四阶的情况，有兴趣的读者可以参考相关文献。

3.1 三阶D(s)

设D(s)=as3+bs2+cs+d，a≠0。D(s)可以分解成一阶因式和二阶因式的乘积形式，根据文献[3、4]，令

良好的开端，是成功的一半，也就说“前奏”奏得响，就能先声夺人，引发学生渴望追求新知的心理状态。如果说，先声夺人的课堂前奏是一堂课成功的一半，那么，轻松活跃、余味无穷的课堂尾声，也必使一节课得到升华。

当Δ>0时，D(s)有一个实根和两个共轭虚根。其中实根s1为:

则D(s)可以分解成

D(s)=as3+bs2+cs+d=(s-s1)(a's2+b's+c')

则真分式F(s)展开部分因式之和，如下：

(1)

式(1)中m、d'、e'为待定系数，通过还原法可以求解。上式右边第一项为实数单根，很容易求出其原函数，第二项可以根据配平方法求出其原函数，则F(s)对应的象函数为：

(2)

式(2)中，其中Δ'=b'2-4a'b'。

3.2 四阶

设D(s)=as4+bs3+cs2+ds+e，a·e≠0。

(3)

式(3)中D(s)可以分解成两个二阶因式的乘积形式[5、6]，具体思路如下 ：

D(s)=a'x4+b'x2+c'x+d'

(4)

对于D(s)=a'x4+bx2+c'x+d'，可以转换成下列形式：

D(s)=a'(x2+px+q)(x2-px+r)，与式(4)比较，可以求取待定系数p、q、r。至此，象函数F(s)可以展开成以下几个因式之和形式。

(5)

式(5)中，k1、k2、k3、k4，为待定系数，通过还原法可以求解[4、5]。

(6)

对式(6)配平方，并整理可得：

4 结论

[1] 黄瑞芳，汪俭彬.关于拉氏逆变换延迟性质的探讨[J].河西学院学报.2010.5

[2] 吴波，杨秀德. RLC暂态电路的理论分析和数值模拟[J]. 物理与工程. 2010.1

[3] 范盛金一元三次方程的新求根公式与新判别法[J]. 海南师范学院学报(自然科学版), 1989.2

[4] 田慧竹，宋从芝.利用拉普拉斯变换求解微分方程[J].高等数学研究.2012.1

[5] 权小刚. 利用分解因式法解一元四次方程[J]. 考试周刊，2012.20

[6] 邢富冲. 一元三次方程求解新探[J]. 中央民族大学学报(自然科学版)，2003.3

Deep Analysis of Partial Factor Summation for Inverselaplace Transformation

LANG Jia-hong，JIANG Shun-li etc.

To solve time solution of operational equation by using Inverse Laplace Transformation through partial factor summation. There are three situations to factorization of image function denominator, namely real single root, multiple root, complex roots. There is little information for analysis on complex roots with a few methods, that prone to error. Deep Analysis on high order image function and a new method were showed in this paper, to Improving solution of the equation of velocity and rate of accuracy.

Operational Circuit, Inverse Laplace Transformation, Partial factor summation method，Complex root，Paired squareDeep analysis of partial factor summation for inverse Laplace transformation

2013-11-11

郎佳红(1973-)，男，安徽工业大学电气信息学院，副教授，硕士生导师。

安徽省重大教研项目，立项编号：2013ZDJY074；安徽省教育厅教研项目(2012jyxm189)；安徽工业大学教改项目(2011jg12,2013jg18)资助。

TM13:G434

B

1672-9994(2014)01-0036-04