一类正负相间对偶三角函数级数

张来萍， 及万会

(银川能源学院 基础部， 宁夏 银川 750105)

一类正负相间对偶三角函数级数

张来萍， 及万会

(银川能源学院 基础部， 宁夏 银川 750105)

根据一个已知级数，利用裂项法得到一些正负相间二项式系数倒数的级数，然后利用复变数的理论给出系数为二项式系数倒数的正负相间对偶三角函数级数封闭形和式.

二项式系数；裂项；倒数；级数；对偶；正负相间；封闭形

定理1 系数为正负相间的二项式系数倒数的级数：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

定理2 角的偶数倍正负相间对偶三角函数的级数恒等式：

(6)

(7)

以下式中A,B分别表示式(6),(7),

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

定理3 角的奇数倍正负相间对偶三角函数的级数恒等式：

(16)

(17)

以下式中C,D分别表示式(16)和(17),

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

1)对(1)式左端裂项，

令n-1=m，

由于D1已知，整理得(2)式.

2)设(2)式右端为D3,对(1)式左端裂项

令n-2=m，

两个分式乘积化成部分分式,得

由于D1，D3已知，整理得(3)式.

3) 设(3)式右端为D5，对(1)式左端裂项，

令n-3=m，

两个分式乘积化成部分分式，得

由于D1，D3，D5已知，整理得(4)式.

4) 设(4)式右端为D7,对(1)式左端裂项，

令n-4=m，

即

4个分式乘积化成部分分式，计算得

由于D1，D3，D5，D7已知,整理得 (5)式.

定理2的证明

所以，

于是,

将A，B代入(1)式,得到(6), (7)式.

将x=cost+isint与A,B，D1依次代入(2)，(3)，(4)，(5)式，利用复数相等得到(9)～(15)式.

定理3的证明

[1]LEHMERDH.Interestingseriesinvolvingthecentralbinomialcoefficients[J].AmerMatMonthly,1985, 92:449-457．

[2]SURYB,WANGTIANNING,ZHAOFZ.Someidentitiesinvolvingofbinomialcoefficients[J].JournalofIntegralSequences, 2004(7),Article04.2.8．

[3]SOFOA.GeneralpropertiesinvolvingreciprocalofBinomialcoefficients[J].JournalofIntegralSequences, 2006(9),Article.06.4.5．

[4]BORWEINJM,GIRGENSOHNR.Evaluationofbinomialseries[J].AequationensMath,2005,70:25-36．

[5]GRADSHTEYNIS,ZYZHIKIM.Atableofintegral,seriesandproducts[M].7thEd.Beijing：Elsevier，46-47．

[6] 钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社,2004:88-90.

One Class of Series Alternated with Positive and Negativeof Dual Trigonometric Function

ZHANG Lai-ping, JI Wan-hui

(DepartmentofBasic,YinchuanEnergyCollege,Yinchuan750105,China)

According to a known series, by splitting terms, the reciprocals series alternated with positive and negative of binominal coefficients is obtained. And by complex function, the closed formal is obtained. The closed form of sum of the dual trigonometric function series alternated with positive and negative, whose coefficients involving reciprocals of binominal coefficients, is given.

binominal coefficients； splitting terms； reciprocal; series； dual; alternated with positive and negative；closed form

2014-08-27

银川能源学院科学研究基金项目(2011-37-15)

张来萍(1979—),女，宁夏银川人，银川能源学院基础部讲师.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.003

O173

A

1007-0834(2014)04-0011-06