勾股定理的实际应用

刘顿

一、确定小鸟飞行距离

例1 （2013年贵州省安顺市中考题）如图1，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A.8米 B.10米

C.12米 D.14米

分析根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可求出两点之间的距离。

解 如图1，设大树高为AB＝10 m，小树高为CD＝4 m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是长方形，连接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案应选B。

点评 本题考查勾股定理的运用，善于观察题目的信息是解题的关键。

二、确定车子是否超速

例2 （2013年辽宁省本溪市中考题）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图2，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/小时，若测得某校车从点B到点C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由。（参考数据：■＝1.41，■＝1.73）

分析 过点D作DE⊥AB于点E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，从而可判断校车是否超速。

解 过点D作DE⊥AB于点E，因为∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因为∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因为∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因为AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因为∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以这辆车在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小时＜50千米/小时，所以该车没有超速。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要运用两次勾股定理。

三、求楼的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高。小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图3所示，其中矩形CDEF表示楼体，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四点在同一直线上，问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由。（参考数据：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析 （1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20层楼的高度，然后和上一问求出的x的值进行比较即可判断谁的观点正确。

解（1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，因为∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以楼高70×(■－1)米。

（2）因为x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小华的观点，这楼不到20层。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距离

例4 （2013年内蒙古包头市中考题）如图4，一根长6■米的木棒AB，斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角∠ABO为60°。当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′。

（1）求OB的长；

（2）当AA′＝1米时，求BB′的长。

分析 （1）由已知数据求解即可。（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长。

解（1）在Rt△AOB中，根据题意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的长为3■米。

（2）根据题意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因为OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

点评 本题以生活中的梯子为背景，考查了勾股定理的实际应用。

一、确定小鸟飞行距离

例1 （2013年贵州省安顺市中考题）如图1，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A.8米 B.10米

C.12米 D.14米

分析根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可求出两点之间的距离。

解 如图1，设大树高为AB＝10 m，小树高为CD＝4 m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是长方形，连接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案应选B。

点评 本题考查勾股定理的运用，善于观察题目的信息是解题的关键。

二、确定车子是否超速

例2 （2013年辽宁省本溪市中考题）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图2，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/小时，若测得某校车从点B到点C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由。（参考数据：■＝1.41，■＝1.73）

分析 过点D作DE⊥AB于点E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，从而可判断校车是否超速。

解 过点D作DE⊥AB于点E，因为∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因为∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因为∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因为AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因为∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以这辆车在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小时＜50千米/小时，所以该车没有超速。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要运用两次勾股定理。

三、求楼的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高。小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图3所示，其中矩形CDEF表示楼体，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四点在同一直线上，问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由。（参考数据：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析 （1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20层楼的高度，然后和上一问求出的x的值进行比较即可判断谁的观点正确。

解（1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，因为∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以楼高70×(■－1)米。

（2）因为x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小华的观点，这楼不到20层。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距离

例4 （2013年内蒙古包头市中考题）如图4，一根长6■米的木棒AB，斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角∠ABO为60°。当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′。

（1）求OB的长；

（2）当AA′＝1米时，求BB′的长。

分析 （1）由已知数据求解即可。（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长。

解（1）在Rt△AOB中，根据题意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的长为3■米。

（2）根据题意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因为OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

点评 本题以生活中的梯子为背景，考查了勾股定理的实际应用。

一、确定小鸟飞行距离

例1 （2013年贵州省安顺市中考题）如图1，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A.8米 B.10米

C.12米 D.14米

分析根据“两点之间线段最短”可知，小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可求出两点之间的距离。

解 如图1，设大树高为AB＝10 m，小树高为CD＝4 m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是长方形，连接AC，所以EB＝4 m，EC＝8 m，AE＝AB－EB＝10－4＝6 m，在Rt△AEC中，AC＝■＝■=10 m，故答案应选B。

点评 本题考查勾股定理的运用，善于观察题目的信息是解题的关键。

二、确定车子是否超速

例2 （2013年辽宁省本溪市中考题）校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载。某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图2，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC＝60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC＝75°，测得AD＝40米，已知本路段对校车限速是50千米/小时，若测得某校车从点B到点C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由。（参考数据：■＝1.41，■＝1.73）

分析 过点D作DE⊥AB于点E，可得△BCD≌△BED，在Rt△ADE中求出DE，继而得出CD，计算出AC的长度后，在Rt△ABC中求出BC，从而可判断校车是否超速。

解 过点D作DE⊥AB于点E，因为∠CDB＝75°，所以∠CBD＝15°，∠EBD＝15°，在Rt△CBD和Rt△EBD中，因为∠CBD＝∠EBD，∠DCB＝∠DEB，BD＝BD，所以△CBD≌△EBD，所以CD＝DE。

在Rt△ADE中，因为∠A＝60°，所以∠ADE＝30°。又因为AD＝40米，所以AE＝20米。

由勾股定理，得DE＝20■米，故AC＝AD+CD=AD+DE＝(40+20■)米。

在Rt△ABC中，因为∠A＝60°，所以∠ABC＝30°，AB＝2AC=(80+40■)米，BC＝（40■+60）米。

所以这辆车在BC段的速度＝（40■+60）÷10＝（4■+6）米/秒≈12.92米/秒＝46.512千米/小时＜50千米/小时，所以该车没有超速。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，求出BC的长度，需要运用两次勾股定理。

三、求楼的高度

例3 （2013年湖北省鄂州市中考题）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高。小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图3所示，其中矩形CDEF表示楼体，AB＝150米，CD＝10米，∠A＝30°，∠B＝45°，A、C、D、B四点在同一直线上，问：

（1）楼高多少米？

（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由。（参考数据：■≈1.73，■≈1.41，■≈2.24）

分析 （1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，在Rt△ACF和Rt△DEB中分别用x表示AC、BD的值，然后根据AC+CD+BD＝150，求出x的值即可。（2）先算出20层楼的高度，然后和上一问求出的x的值进行比较即可判断谁的观点正确。

解（1）设楼高为x，则CF＝DE＝x，因为∠A＝30°，∠B＝45°，∠ACF＝∠BDE＝90°，所以AF＝2x，BD＝x，由勾股定理，得AC＝■x，所以■x+x＝150－10，解得x＝■＝70×（■－1），所以楼高70×(■－1)米。

（2）因为x＝70×(■－1)≈70×(1.73-1)＝70×0.73＝51.1＜3×20，所以我支持小华的观点，这楼不到20层。

点评 本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用方程思想求解。

四、求梯子的滑行距离

例4 （2013年内蒙古包头市中考题）如图4，一根长6■米的木棒AB，斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，与地面的倾斜角∠ABO为60°。当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′。

（1）求OB的长；

（2）当AA′＝1米时，求BB′的长。

分析 （1）由已知数据求解即可。（2）首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长。

解（1）在Rt△AOB中，根据题意可知，AB＝6■，∠ABO＝60°，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝30°，所以OB＝3■，即OB的长为3■米。

（2）根据题意可知，A′B′＝AB＝6■米，而在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA＝9米。

因为OA′＝OA－AA′，AA′＝1米，所以OA′＝8米。

在Rt△A′OB′中，由勾股定理得OB′＝■=2■米，所以BB′＝OB′－OB＝（2■-3■）米。

点评 本题以生活中的梯子为背景，考查了勾股定理的实际应用。