舰炮随动控制系统PID控制器参数稳定域计算研究*

(1.92941部队 葫芦岛 125001)(2.海军驻连云港地区军事代表室 连云港 222006)

舰炮随动控制系统PID控制器参数稳定域计算研究*

夏全国1张志华2

(1.92941部队 葫芦岛 125001)(2.海军驻连云港地区军事代表室 连云港 222006)

PID控制器因其结构简单、鲁棒性强,是舰炮随动控制系统应用最为广泛的控制策略。在舰炮随动控制系统PID控制器设计中,获得控制效果优良控制器的最大难点就是准确地获得控制器参数的稳定区域,因此论文针对舰炮随动控制系统设计的特点,给出了一种基于广义Hermite-Biehler定理计算舰炮随动控制系统PID控制器参数稳定域的算法,通过Matlab仿真计算验证了算法的有效性。

舰炮随动控制系统;PID控制器;稳定域

ClassNumberTJ391

1 引言

PID控制器是舰炮随动控制系统应用最为广泛的控制策略[1～6]。PID控制器参数的优化设计目的是在保证控制系统稳定的情况下,控制系统同时还满足一定指标要求。PID控制器参数优化设计的方法很多,从某种意义上,设计出控制效果优良的PID控制器的最大难点就是准确地获得PID控制器参数的稳定区域[7]。判定稳定问题吸引研究人员超过了一个世纪,最早的、最为人熟知的解决方案是Routh-Hurwitz准则。还有其它一些与之等价条件,Hermite-Biehler(以下简称HB)定理[8]就是其中一个,HB定理给出了一个判定给定实多项式是Hurwitz的充要条件,即通过计算HB定理中定义的符号关系式的值是否等于闭环特征多项式的最高次幂来判断多项式是否为Hurwitz的,但利用HB定理计算舰炮随动控制器参数稳定域时,不难发现系统闭环特征多项式的实部和虚部都含有控制器参数kp、ki、kd,无法对HB定理中定义的符号关系式的值进行求解。因此本文给出了一种运用文献[9]中的广义HB定理计算舰炮随动控制控制器参数稳定域的算法,使得计算参数稳定域的问题得到简化。

2 问题描述与定义

舰炮随动PID控制系统结构框图如图1所示,图中u(t)为控制输入,e(t)为误差信号,rin(t)为输入量,yout(t)为输出量。

图1 随动系统结构框图

闭环特征多项式:δ(s,kp,ki,kd)=sD(s)+(ki+kds2)N(s)+kpsN(s)。

稳定域问题描述:对于确定的kp,ki,kd范围,闭环特征多项式δ(s,kp,ki,kd)是Hurwitz,也就是多项式的所有根在开左半平面。

定义1 标准符号函数sgn[x]表达式:

(1)

定义2 一n阶关于s的实系数多项式a(s)=a0+a1s+…+ansn,定义l(a(s))和r(a(s))分别表示a(s)在开平面左半平面和右半平面根的个数。

定义3a(s)奇、偶分解表达式为a(s)=ae(s2)+sao(s2),频域表达式为

a(s)=ae(-ω2)+jωao(-ω2)

(2)

闭特征多项式δ(s,kp,ki,kd)频域表达式为

δ(ω,kp,ki,kd)=p(ω,ki,kd,kp)+jq(ω,ki,kd,kp)

(3)

δ(ω,kp,ki,kd)的实部和虚部都含kp,ki,kd,造成求解kp,ki,kd范围困难,因此引入N*(s)=N(-s)=Ne(s2)-sNo(s2),则

v(s) =δ(s,kp,ki,kd)N*(s)

=[s2(Ne(s2)Do(s2)-De(s2)No(s2))

+(ki+kds2)((Ne(s2)Ne(s2)

-s2No(s2)No(s2))]

+s[(De(s2)Ne(s2)-s2Do(s2)No(s2)

+kp(Ne(s2)Ne(s2)-s2No(s2)No(s2))]

(4)

由于N*(s)的引入,这样v(s)的实部包含ki,kd,虚部包含kp,使求解问题简单,当且仅当v(s)和N*(s)在闭右半平面有相同的零点个数时,δ(s,kp,ki,kd)是Hurwitz的。

v(s)频域表达式为v(jw)=δ(jw,kp,ki,kd)N*(jw)=p(ω,ki,kd)+jq(ω,kp)其中:

p(ω,ki,kd)=p1(ω)+(ki-kdω2)p2(ω)
q(ω,kp)=q1(ω)+kpq2(ω)

p1(ω)=-ω2(Ne(-ω2)Do(-ω2)

-De(-ω2)No(-ω2))

p2(ω)=Ne(-ω2)Ne(-ω2)+ω2No(-ω2)No(-ω2)
q1(ω)=ω(De(-ω2)Ne(-ω2)+ω2Do(-ω2)No(-ω2))
q2(ω)=ω(Ne(-ω2)Ne(-ω2)+ω2No(-ω2)No(-ω2))

(5)

3 计算稳定域中kp范围算法

v(s)和N*(s)在闭右半平面有相同的零点个数的必要条件是q(ω,kp)至少有M个不同的奇重非负实根[10]。

(6)

式中m为N(s)的最高阶数,m

由上述判断条件可以得到容许的kp范围,但不是稳定域中kp范围,kp范围最终还得通过是否能找到与其匹配的ki-kd来确定。计算算法步骤如下:

步骤1 对给定的N(s)和D(s),根据式(4)和式(5)计算p1(ω)、p2(ω)、q1(ω)和q2(ω);

步骤2 计算l(N(s))和r(N(s)),根据式(6)计算M值,确定q(ω,kp)最少不同的奇重非负实根。

步骤3 依据M值、q1(ω)和q2(ω)计算容许的kp范围[kpmin,kpmax]。

4 计算稳定域中ki-kd域算法

由广义Hermite-Biehle定理可知,如果0=ω0<ω1<ω2<…<ωl-1是q(ω,kp)不同的奇重非负实根,且ωm=∞则有

n-(l(N(s))-r(N(s)))=

(7)

式中ij=sgn[p(ωj)],j=0,1,…,l。

一个kp对应一组q(ω,kp)不同的奇重非负实根,由于式(7)左边为已知,则可以得到一组或几组ij组合满足等式,再通过ij=sgn[p(ωj)],j=0,1,…l得到p(ωj,ki,kd)的符号,进而得到一组或几组(跟ij的组合有关)关于ki,kd的不等式组,通过求解不等式组,得到一组或几组ki-kd的域,取并集,即得到某一kp值下ki-kd的域。计算算法步骤如下:

步骤1 设定kp=kpmin,step=(kpmax-kpmin)/N,N为采样次数;

步骤2 如果kp>kpmax跳到步骤5,否则根据kp计算得到q(ω,kp)不同的奇重非负实根0=ω0<ω1<ω2<…<ωl-1,ωm=∞;

步骤3 依据n-(l(N(s))-r(N(s)))值,得到ij各种组合Ik={ij},k=1,2…,根据ij=sgn[p(ωj)],j=0,1,…,l确定p(ωj,ki,kd)的符号,进而得到k组关于ki,kd不等式组;

步骤4 解每组关于ki,kd不等式组,得到k组ki-kd域Sg,g=1,2,…,k,如果Sg的并集非空,则作为本次kp对应的ki-kd域,kp=kp+step返回步骤2;如果Sg的并集是空集,kpmin=kp+step,kp=kp+step返回到步骤2;

步骤5 绘制三维kp,ki,kd域,算法结束。

5 仿真计算

假设被控对象传递函数:

5.1 计算kp容许范围

N(s)=S3-2S2-S-1;

N*(s)=N(-s)=-S3-2S2+S-1;

D(s)=S6+2S5+32S4+26S3+65S2-8S+1;

Ne(s2)=-2S2-1;No(s2)=S2-1;

De(s2)=S6+32S4+65S2+1;

Do(s2)=2S4+26S2-8;Ne(-ω2)=2ω2-1;

No(-ω2)=-ω2-1;

De(-ω2)=-ω6+32ω4-65ω2+1;

Do(-ω2)=2ω4-26ω2-8。

由式(5)可得:

p1(ω)=ω10-35ω8+87ω6+54ω4-9ω2
p2(ω)=ω6+6ω4-3ω2+1
q1(ω)=-4ω9+89ω7-128ω5+7ω3-ω
q2(ω)=ω7+6ω5-3ω3+ω

(8)

则q(ω,kp)=-4ω9+(89+kp)ω7+(6kp-128)ω5+(75-3kp)ω3+(kp-1)ω。

计算l(N(s))=2和r(N(s))=1,根据式(6)计算可得M=3,即q(ω,kp)至少有三个不同的奇重非负实根,才能保证闭环特征多项式是Hurwitz,通过Matlab编程,解得kp∈(-24.75,1)。

5.2 计算ki-kd域

当kp=-18时

q(ω,-18)=q1(ω)-18q2(ω)

=-4ω9+71ω7-236ω5+129ω3-19ω

这时q(ω,-18)不同的奇重非负实根为

ω0=0,ω1=0.5195,ω2=0.6055,
ω3=1.8804,ω4=3.6848

同时定义ω5=∞,因为m+n=10是偶数,且l(N(s))-r(N(s))=2-1=1,(-1)l-1sgn[q(∞,-18)]=-1,由式(7)可得I={i0,i1,i2,i3,i4,i5}有五种组合满足,I=6={i0,i1,i2,i3,i4,i5}·(-1),分别是:

I1={-1,-1,-1,1,-1,1}
I2={-1,1,1,1,-1,1}
I3={-1,1,-1,-1,-1,1}
I4={-1,1,-1,1,1,1}
I5={1,1,-1,1,-1,-1}

(9)

对于I1,kp=-18时,ki-kd稳定域必须满足下面不等式组:

(10)

解上述不等式可得ki-kd稳定域S1,同理可以求出I2,I3,I4,I5对应的稳定域S2,S3,S4,S5。最后取S1,S2,S3,S4,S5并集,获得图2,kp=-18时对应的ki-kd稳定域。对于kp∈(-25,1)每个不同值,重复上述计算,能够得到使系统稳定的(kp,ki,kd)集合值,集合如图3所示。

图2 kp=-18时对应的ki-kd稳定域

图3 系统稳定的(kp,ki,kd)集合

图2中共有三个区域,两个黑色区域为稳定区域,每个区域各取一组PID控制器参数,通过Matlab仿真可得控制系统对输入阶跃信号的响应曲线,如图4所示。

图4 控制系统对阶跃信号响应曲线

仿真结果表明:PID控制器参数在本文给出算法计算出的稳定区域取值时,控制系统对输入阶跃信号的响应在震荡若干个周期后趋于稳定,进而验证了算法的有效性。

6 结语

本文把广义HB定理应用到舰炮随动系统P1D控制器参数稳定域计算之中。首先将闭环特征多项式构造成方便求解的形式,使得多项式实部只包含ki、kd,虚部只包含kp;再通过判定两多项式闭右半平面有相同零点个数的必要条件计算kp的范围;再利用广义Hermite-Biehler定理计算控制系统稳定时PID控制器参数ki、kd的范围;最后通过仿真验证了算法的有效性。本方法可为工程设计人员提供工程指导,具有一定的工程应用价值。

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[10]DATTA A, HO M T, S P Bhattacharyya. Structure and Synthesis of PID controllers[M]. London:Springer,2000.

CalculationofthePIDControllerParameterforNavalGunServoControlSystem

XIA Quanguo1ZHANG Zhihua2

(1. No. 92941 Troops of PLA, Huludao 125001)(2. Naval Agent Office in Lianyungang, Lianyungang 222006)

PID controller is the most widely used control strategy in naval gun servo control system, because of its simple structure and strong robust. How to accurately obtain the stability of the controller parameter region is the biggest difficulty in design of effective PID controller. Therefore, according to the characteristics of naval gun servo control system design, an algorithm for calculating the PID controller parameter stability domain is presented based on generalized Hermite-Biehlef theory. The effectiveness of algorithm is verified by Matlab simulation.

naval gun servo control system, PID controller, stability domain

2013年11月17日,

:2013年12月28日

夏全国,男,硕士,研究方向:舰炮武器系统。张志华,男,硕士,研究方向:舰炮火控系统。

TJ391DOI:10.3969/j.issn1672-9730.2014.05.014