分类讨论的思想在高中数学解题中的应用

周剑

摘 要：分类讨论的思想在高中数学的解题过程中应用非常广泛，笔者在多年的教学过程中发现学生在遇到需要通过分类讨论才能解决的问题时，往往失分较多，究其原因主要是不能根据需要科学地进行分类，不知道以什么标准来分类；分类不完整，讨论重复或者有遗漏；对分类讨论所得到的结果处理不当，答题不完整不规范。针对这一现状笔者总结了一些心得，希望能给学生带来一些帮助。

关键词：数学；分类讨论；标准；步骤

在高中数学问题中广泛地存在含有参数的各类问题，这也是近年来高考考查的重点和热点之一。以数学命题的条件和结论的结构为标准，我们可以把含参数的问题大致分为两种类型：一是根据参数的取值范围，去寻求命题可能出现的结果，从而归纳出命题的结论；二是给定命题的结论，去寻求参数的取值范围或者应满足的条件。然而这些问题的求解往往都会涉及分类讨论的思想方法，本文中笔者就分类讨论的思想方法在这类问题中的应用进行一些探讨，不妥之处，敬请斧正。

解决含有参数的问题，需要用到分类讨论的方法时，首先要明确需要讨论的对象，再根据题目的条件和所涉及的数学概念、定理、公式、性质以及运算的需要等进行科学合理的分类，然后逐类进行讨论，寻求各自的结果，最后归纳出命题的最终结论，达到解决问题的目的。其根本在于化难为易，化繁为简，这是比较常见的解题策略和方法。

一、科学合理的分类

何谓科学合理的分类，就是把一个集合A分成若干个非空真子集Ai（i=1、2、3…n）（n≥2，n∈N+），使集合A中的每一个元素都属于且仅属于某一个子集。即满足：

①A1∪A2∪A3∪…∪An=A

②Ai∩Aj=φ（i，j∈N+，且i≠j）

则称对集合A进行了一次科学的分类。

科学的分类需要具备这样两个条件：一是确保分类不能有遗漏，二是确保分类不能有重复，即通常所说的不重不漏。在此基础之上再根据题目的条件和性质，做到尽可能减少分类。

二、确定分类标准

解题过程中如果已经确定了需要分类讨论的对象，那么接下来要做的就是以什么样的标准来分类，这也是学生最困惑的地方，同时也是分类讨论的关键。通常情况下我们可以从以下三个方面入手来分析确定分类的标准。

1.根据数学中的概念确定分类标准

例如：数学中的绝对值是这样定义的：

a（a＞0）

│a│= 0（a=0）

-a（a＜0），因而在解

不等式│log x│+│log （3-x）│≥

1时，就要根据决定log x和log （3-

x）正负的x值1和2将定义域（0，3）分成三段区间进行分类讨论，即0＜

x＜1、1≤x≤2以及2＜x＜3三种情况分类讨论。

例1 求函数y=│x+1│+│x-2│-

2的值域。

解：函数y=│x+1│+│x-2│-2的零点是x=-1和x=2，所以应该以-1和2作为分类讨论的标准，将定义域R分成三段，即x＜-1，-1≤x≤2以及x＞2进行分类讨论：

ⅰ）当x＜-1时，y=-2x-1

ⅱ）当-1≤x≤2时，y=1

ⅲ）当x＞2时，y=2x-3

综上所述，

-2x-1（x＜-1）

y= 1（-1≤x≤2）

y=2x-3（x＞2），再由分段函数的图象不难得出函数的值域为[1，+∞）。

2.根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准

高中数学中的许多定理、公式和性质，在条件发生变化时有着不同的结论，所以在使用过程中就要注意分类讨论，分类讨论的依据是定理、公式和性质中的条件。

例如：等比数列前几项和公式是分段给出的：

na1（q=1）

Sn= —（q≠1），所以在解这类问题时，如果q是可以变化的量，就要以q为标准进行分类讨论。又如，对数函数y=logax的单调性是以0＜a＜1和a＞1两种情况分别定义的，所以在解底数中含有字母的对数不

等式时就要注意分类讨论。比如logx—＞

-1就应以底数0＜x＜1和x＞1进行分类讨论，即：当0＜x＜1时，—＜

—，当x＞1时，—＞—。

3.根据解题中的需要确定分类标准

例如：解不等式组

3＜x＜4

1＜x＜a，显然，应以3，4为标准将a分为1＜a≤3，3＜a≤4以及a＞4三种情况进行讨论。

例2 已知圆（x-2）2+（y-3）2=1，

求该圆与x轴和y轴的截距相等的切线l 的方程。

解：由题意设切线l与x轴和y轴的截距分别为a，b，则a=b，根据直线方程的适用范围可知必须对截距a和b是否为零进行讨论：

ⅰ）若a=b≠0时，设l的方程为 —+—=1，即x+y-a=0，因为直线和圆相切，所以圆心（2，3）到直线l的距离等于圆的半径，故—=1解

得a=5+√2或a=5-√2，所以l的方程为x+y-（5+√2）=0或x+y-（5-√2）=0

ⅱ）若a=b=0时，设l的方程为y=kx，即kx-y=0，所以—=1，

解得k=—或k=—，所以l的方程为（6+2√3）x-3y=0或（6-2√3）x-3y=0

综上所述：l的方程为x+y-（5+√2）=0或x+y-（5-√2）=0或（6+2√3）x-3y=0或（6-2√3）x-3y=0。

三、分类讨论的方法和步骤

通常情况下运用分类讨论解题时的常规步骤应分为：①确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；②确定分类标准科学合理；③逐类进行讨论得出各类结果；④归纳各类结论。

例3  已知函数f（x）=sin2x-asin2—（x∈R，a∈R），试用a表示f（x）的最大值。

解：原函数化为f（x）=-（cosx-

—）2+—，令t=cosx，则-1≤t≤1，

记f（t）=-（t-—）2+—，t∈[-1，

1]，因为二次函数y=f（t）的最大值的取得与图象的顶点的横坐标相对于定义域[-1，1]的位置密切相关，所以对—相对于区间[-1，1]的位置分三种情况讨论：

ⅰ）当—＞1，即a＞4时， f（t）max=

0，此时t=1

ⅱ）当-1≤—≤1，即-4≤a≤

4时， f（t）max=—，此时t=—

ⅲ）当 —＜-1，即a＜-4时，

f（t）max=-a ，此时t=1

综上所述：

0（a＞4）

f（t）max= —（-4≤a≤4）

-a（a＜-4）。

四、结束语

中学数学学习过程中，分类讨论是一种非常重要的解题思想，它对于培养学生根据题目条件分析问题、解决问题的能力很有帮助，同时对学生数学思维的严谨性、缜密性和灵活性的提高也有较大的帮助。以上只是笔者对教学过程中一些常见分类讨论情况做的简单分析，实际学习过程中还有很多分类讨论的标准和题型，要注意积累，类比分析，找出其規律和共性所在，总结出自己的心得才能对这类问题迎刃而解。另外，值得注意的是，并不是所有含参数的问题都得要分类讨论，若能综合利用函数与方程、转化与化归以及数形结合等解题思想方法可简化或者避免分类讨论，同样可达到解题迅速、准确的效果。