浅谈参数问题的解答

陈达勇

参数问题，亦即含参问题，是高中数学的重要问题类型之一，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一，学生普遍认为难于应对。从问题条件、结论的构成来看，含参问题一般分为两种类型，一种类型是根据参数在允许范围内的不同取值（或不同范围），探求问题可能出现的每一种结果；另一种类型是给定问题的结论探求参数的取值范围或值（后一种可以转化为前一种）。笔者认为，解决参数问题的方法是常规法结合分类讨论法，若参数对结论有影响则要结合分类讨论法，若无影响则用常规法即可。

在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。解决第一种类型的参数问题，通常要用到分类讨论的方法，它实际上是一种化整为零、各个击破的解题策略和方法，其原则是：对象确定、标准统一、不重不漏、层次清晰、结论规范。此处就第一类问题的常见解题思想方法——分类与讨论做一些浅显的探讨。

一、分类要科学合理

把一个集合P分成若干个非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一个元素属于且仅属于某一个子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），则称对集合P进行了一次科学合理的分类（或称一次逻辑划分）。合理的分类一定要满足上述两个条件：条件①保证分类不遗漏，条件②保证分类不重复。

二、分类标准要统一

在确定讨论的对象之后，最困难的是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：

1.根据数学定义确定分类标准

例如：绝对值的定义是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有绝对值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1时，就必须根据令log2x、log2（4－x）为零的x值1和3将定义域（0，4）分成三个区间进行讨论，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三种情况进行讨论。

例1：已知动点M到原点O的距离为m，到直线L：x＝2的距离为n，且m+n＝4。

①求点M的轨迹方程。②过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹交于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α。

解：①设点M的坐标为（x,y），依题意可得：■+|x-2|=4，根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x≥2还是x<2，所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如图1，由于P，Q的位置变化，Q弦长|PQ|的表达式不同，故必须分点P，Q都在曲线y2=4(x+1)以及一点P在曲线y2=4(x+1)上而另一点在曲线y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

从而知当α=■或α=■时,|PQ|max=■.

2.根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准

数学中的某些公式、定理、性质在不同的条件下有不同的结论，在运用它们时，常需分类讨论。例如，对数函数y＝logax的单调性是分0＜a＜1和a＞1两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式如logx■>－1时，就应分底数x＞1和0＜x＜1两种情况进行讨论，即：当x＞1时，■>■, 当0＜x＜1时，■<■。又如，等比数列前n项和公式也是分情况给出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解这类问题时，如果q是可以变化的量，就要以q是否为1为标准进行分类讨论。

例2：设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn,又设Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：当q＝1时，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

当q≠1时，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是当0＜q＜1时，■qn=0,∴■Tn=1

当q＞1时，■■=0,■Tn=■

综上所述，■Tn=1(01)

3.根据运算的需要确定分类标准

例如：解不等式组2

显然，应以2，5为标准将分为1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三种情况进行讨论。

例3：解关于x的不等式组loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于a＞1还是a＜1，所以以1为标准进行分类：

（Ⅰ）当0＜a＜1时，可求得解为：■

（Ⅱ）当a＞1时，可解得：x>20

①当1＜a≤3时解集为Φ

②当a＞3时解集为(2,■)

综上所述：当0＜a＜1时，原不等式解集为(■,2)；当1＜a≤3时，解集为Φ；当a＞3时，解集为(2,■)。

三、分类讨论的步骤要层次分明、逻辑严密

1.确定是否需要分类讨论以及明确讨论对象和它的范围。

2.确定统一的分类标准，进行合理分类。

3.逐段逐类讨论，获得阶段性结果。

4.归纳总结，得出结论。

分类讨论下结论的形式有两种：①分列式：针对参数分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式；②统一式：针对变量分类讨论的，且每一类讨论结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。

例4：若函数f（x）＝a+bcosx+csinx的图象经过点（0,1）和（■,1）两点，且x∈[0,■]时，|f(x)|≤2恒成立，试求a的取值范围。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①当a≤1时，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②当a＞1时，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，综合①②知实数a的取值范围为[－■，4+3■]。

分类讨论是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而分类讨论解题比较繁难，并不是问题中一出现参数就一定得分类讨论，如果能利用其他数学思想方法避免分类讨论的要尽量简化和避免，从而达到迅速、准确地解题。如下面的例子：

例5：解关于x的不等式：■≥a－x

略解：运用数形结合的思想解题如图：

在同一坐标系内作出y＝■和y＝a－x的图象，以l1,l2,l3在y轴上的截距作为分类标准，知：

当a≤－1时;-1≤x≤3

当－1＜a≤3时;

■≤x≤3

当3＜a≤1+2■时;

■≤x≤■

当a＞1+2■时，不等式无解。

参数问题，亦即含参问题，是高中数学的重要问题类型之一，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一，学生普遍认为难于应对。从问题条件、结论的构成来看，含参问题一般分为两种类型，一种类型是根据参数在允许范围内的不同取值（或不同范围），探求问题可能出现的每一种结果；另一种类型是给定问题的结论探求参数的取值范围或值（后一种可以转化为前一种）。笔者认为，解决参数问题的方法是常规法结合分类讨论法，若参数对结论有影响则要结合分类讨论法，若无影响则用常规法即可。

在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。解决第一种类型的参数问题，通常要用到分类讨论的方法，它实际上是一种化整为零、各个击破的解题策略和方法，其原则是：对象确定、标准统一、不重不漏、层次清晰、结论规范。此处就第一类问题的常见解题思想方法——分类与讨论做一些浅显的探讨。

一、分类要科学合理

把一个集合P分成若干个非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一个元素属于且仅属于某一个子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），则称对集合P进行了一次科学合理的分类（或称一次逻辑划分）。合理的分类一定要满足上述两个条件：条件①保证分类不遗漏，条件②保证分类不重复。

二、分类标准要统一

在确定讨论的对象之后，最困难的是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：

1.根据数学定义确定分类标准

例如：绝对值的定义是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有绝对值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1时，就必须根据令log2x、log2（4－x）为零的x值1和3将定义域（0，4）分成三个区间进行讨论，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三种情况进行讨论。

例1：已知动点M到原点O的距离为m，到直线L：x＝2的距离为n，且m+n＝4。

①求点M的轨迹方程。②过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹交于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α。

解：①设点M的坐标为（x,y），依题意可得：■+|x-2|=4，根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x≥2还是x<2，所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如图1，由于P，Q的位置变化，Q弦长|PQ|的表达式不同，故必须分点P，Q都在曲线y2=4(x+1)以及一点P在曲线y2=4(x+1)上而另一点在曲线y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

从而知当α=■或α=■时,|PQ|max=■.

2.根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准

数学中的某些公式、定理、性质在不同的条件下有不同的结论，在运用它们时，常需分类讨论。例如，对数函数y＝logax的单调性是分0＜a＜1和a＞1两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式如logx■>－1时，就应分底数x＞1和0＜x＜1两种情况进行讨论，即：当x＞1时，■>■, 当0＜x＜1时，■<■。又如，等比数列前n项和公式也是分情况给出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解这类问题时，如果q是可以变化的量，就要以q是否为1为标准进行分类讨论。

例2：设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn,又设Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：当q＝1时，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

当q≠1时，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是当0＜q＜1时，■qn=0,∴■Tn=1

当q＞1时，■■=0,■Tn=■

综上所述，■Tn=1(01)

3.根据运算的需要确定分类标准

例如：解不等式组2

显然，应以2，5为标准将分为1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三种情况进行讨论。

例3：解关于x的不等式组loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于a＞1还是a＜1，所以以1为标准进行分类：

（Ⅰ）当0＜a＜1时，可求得解为：■

（Ⅱ）当a＞1时，可解得：x>20

①当1＜a≤3时解集为Φ

②当a＞3时解集为(2,■)

综上所述：当0＜a＜1时，原不等式解集为(■,2)；当1＜a≤3时，解集为Φ；当a＞3时，解集为(2,■)。

三、分类讨论的步骤要层次分明、逻辑严密

1.确定是否需要分类讨论以及明确讨论对象和它的范围。

2.确定统一的分类标准，进行合理分类。

3.逐段逐类讨论，获得阶段性结果。

4.归纳总结，得出结论。

分类讨论下结论的形式有两种：①分列式：针对参数分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式；②统一式：针对变量分类讨论的，且每一类讨论结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。

例4：若函数f（x）＝a+bcosx+csinx的图象经过点（0,1）和（■,1）两点，且x∈[0,■]时，|f(x)|≤2恒成立，试求a的取值范围。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①当a≤1时，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②当a＞1时，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，综合①②知实数a的取值范围为[－■，4+3■]。

分类讨论是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而分类讨论解题比较繁难，并不是问题中一出现参数就一定得分类讨论，如果能利用其他数学思想方法避免分类讨论的要尽量简化和避免，从而达到迅速、准确地解题。如下面的例子：

例5：解关于x的不等式：■≥a－x

略解：运用数形结合的思想解题如图：

在同一坐标系内作出y＝■和y＝a－x的图象，以l1,l2,l3在y轴上的截距作为分类标准，知：

当a≤－1时;-1≤x≤3

当－1＜a≤3时;

■≤x≤3

当3＜a≤1+2■时;

■≤x≤■

当a＞1+2■时，不等式无解。

参数问题，亦即含参问题，是高中数学的重要问题类型之一，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一，学生普遍认为难于应对。从问题条件、结论的构成来看，含参问题一般分为两种类型，一种类型是根据参数在允许范围内的不同取值（或不同范围），探求问题可能出现的每一种结果；另一种类型是给定问题的结论探求参数的取值范围或值（后一种可以转化为前一种）。笔者认为，解决参数问题的方法是常规法结合分类讨论法，若参数对结论有影响则要结合分类讨论法，若无影响则用常规法即可。

在解答某些数学问题时，有时会有多种情况，对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合求解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，也是一种数学思想。解决第一种类型的参数问题，通常要用到分类讨论的方法，它实际上是一种化整为零、各个击破的解题策略和方法，其原则是：对象确定、标准统一、不重不漏、层次清晰、结论规范。此处就第一类问题的常见解题思想方法——分类与讨论做一些浅显的探讨。

一、分类要科学合理

把一个集合P分成若干个非空真子集Pi（i=1，2，3…n）（n≥2，n∈N），使集合P中的每一个元素属于且仅属于某一个子集，即①P1∪P2∪P3∪…∪Pn＝P ②Pi∩Pj＝φ（i,j∈N,且i≠j），则称对集合P进行了一次科学合理的分类（或称一次逻辑划分）。合理的分类一定要满足上述两个条件：条件①保证分类不遗漏，条件②保证分类不重复。

二、分类标准要统一

在确定讨论的对象之后，最困难的是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：

1.根据数学定义确定分类标准

例如：绝对值的定义是：|a|=a (a>0)0 (a=0)-a(a<0)

所以在解含有绝对值的不等式|log2x|+|log2(4－x)|≥1时，就必须根据令log2x、log2（4－x）为零的x值1和3将定义域（0，4）分成三个区间进行讨论，即分0＜x＜1，1≤x＜3，3≤x＜4三种情况进行讨论。

例1：已知动点M到原点O的距离为m，到直线L：x＝2的距离为n，且m+n＝4。

①求点M的轨迹方程。②过原点O作倾斜角为α的直线与点M的轨迹交于P、Q两点，求弦长|PQ|的最大值及对应的倾斜角α。

解：①设点M的坐标为（x,y），依题意可得：■+|x-2|=4，根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x≥2还是x<2，所以以2为标准进行分类讨论可得轨迹方程为：y2=4(x+1)(-1≤x<2)-12(x-3)(2≤x≤3)

②如图1，由于P，Q的位置变化，Q弦长|PQ|的表达式不同，故必须分点P，Q都在曲线y2=4(x+1)以及一点P在曲线y2=4(x+1)上而另一点在曲线y2=－12(x－3)上可求得：

|PQ|=■(■≤α≤■)■(0≤α≤■)■(■≤α≤π)

从而知当α=■或α=■时,|PQ|max=■.

2.根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准

数学中的某些公式、定理、性质在不同的条件下有不同的结论，在运用它们时，常需分类讨论。例如，对数函数y＝logax的单调性是分0＜a＜1和a＞1两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式如logx■>－1时，就应分底数x＞1和0＜x＜1两种情况进行讨论，即：当x＞1时，■>■, 当0＜x＜1时，■<■。又如，等比数列前n项和公式也是分情况给出的：Sn=na1 (q=1)■(q≠1)，所以在解这类问题时，如果q是可以变化的量，就要以q是否为1为标准进行分类讨论。

例2：设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn,又设Tn＝■，n＝1，2，…求■Tn

解：当q＝1时，Sn＝n，Tn＝■,∴■Tn=1

当q≠1时，Sn＝■ Sn+1=■ Tn=■

于是当0＜q＜1时，■qn=0,∴■Tn=1

当q＞1时，■■=0,■Tn=■

综上所述，■Tn=1(01)

3.根据运算的需要确定分类标准

例如：解不等式组2

显然，应以2，5为标准将分为1＜m≤2，2＜m≤5，m＞5三种情况进行讨论。

例3：解关于x的不等式组loga2x<2logax(a-1)x2

解：由于不等式中均含有参数a，其解的状况均取决于a＞1还是a＜1，所以以1为标准进行分类：

（Ⅰ）当0＜a＜1时，可求得解为：■

（Ⅱ）当a＞1时，可解得：x>20

①当1＜a≤3时解集为Φ

②当a＞3时解集为(2,■)

综上所述：当0＜a＜1时，原不等式解集为(■,2)；当1＜a≤3时，解集为Φ；当a＞3时，解集为(2,■)。

三、分类讨论的步骤要层次分明、逻辑严密

1.确定是否需要分类讨论以及明确讨论对象和它的范围。

2.确定统一的分类标准，进行合理分类。

3.逐段逐类讨论，获得阶段性结果。

4.归纳总结，得出结论。

分类讨论下结论的形式有两种：①分列式：针对参数分类讨论的，且在不同条件下问题有不同的结论，归纳结论时应采用分列式；②统一式：针对变量分类讨论的，且每一类讨论结果均是总结论的一个子集，归纳结论时应采用统一式。

例4：若函数f（x）＝a+bcosx+csinx的图象经过点（0,1）和（■,1）两点，且x∈[0,■]时，|f(x)|≤2恒成立，试求a的取值范围。

解：由f（0）＝a+b＝1，f（■）＝a+c＝1，求得b＝c＝1－a

f（x）＝a+（1－a）（sinx+cosx）＝a+■（1－a）sin（x+■）

∵■≤x+■≤■,∴■≤sim≤(x+■)≤1

①当a≤1时，1≤f（x）≤a＋■（1－a），∵|f（x）|≤2∴只要a+■（1－a）≤2，解得a≥■∴－■≤a≤1；

②当a＞1时，a＋■（1－a）≤f（x）≤1，∴只要a＋■（1－a）≥－2，解得a≤4+3■,∴1＜a≤4+3■，综合①②知实数a的取值范围为[－■，4+3■]。

分类讨论是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而分类讨论解题比较繁难，并不是问题中一出现参数就一定得分类讨论，如果能利用其他数学思想方法避免分类讨论的要尽量简化和避免，从而达到迅速、准确地解题。如下面的例子：

例5：解关于x的不等式：■≥a－x

略解：运用数形结合的思想解题如图：

在同一坐标系内作出y＝■和y＝a－x的图象，以l1,l2,l3在y轴上的截距作为分类标准，知：

当a≤－1时;-1≤x≤3

当－1＜a≤3时;

■≤x≤3

当3＜a≤1+2■时;

■≤x≤■

当a＞1+2■时，不等式无解。