论数学统一性在概率论教学中的应用

王彬，林静

摘要：数学的统一性是指部分与部分、部分与整体间的互相贯通、相互转化与一致性。认识数学的统一性，可促进对《概率论》中的概念、定理的理解，提高学习能力。

关键词：数学统一性；概率论；教学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）24-0075-02

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。据统计，至今为止数学已经有将近100多个高深广博的分支。其中，概率论是研究随机性或不确定性等现象的一个数学分支。《概率论》或《概率论与数理统计》是大学课堂教学中必修的一门课程。对于大部分已习惯于学习确定性数学内容的学生来说，概率论中相关概念或定义等内容感到难以理解。尤其是随着高等教育的普及或因为部分学校功利主义倾向影响，一些院系在课时安排上尽可能压缩《高等数学》等数学基础理论课程，忽视其在学生思维能力训练方面的重要作用，进一步造成了学生理解与分析能力的欠缺。本文利用数学的统一性的原理，对概率论中的某些概念、定理的理解作一些粗浅的探讨，以利于学生更好地掌握并应用概率思想。辩证唯物主义认为物质和意识是对立的统一，它们统一于物质之中；物质和意识的对立产生于实践，它们的统一又在实践中实现。数学的统一性是指部分与部分、部分与整体间的互相贯通、相互转化与和谐一致性。数学的发展过程以及内容都贯穿着辩证法，因此，数学的统一性不仅仅表现在统一的数学符号和共同的数学语言，更表现在其中各个分支固有的内在的联系以及各个分支相互渗透和相互结合的趋势。本文以概率论中的概率空间、随机变量、数学期望、概率密度函数以及分布函数中所蕴含的数学统一性进行阐述，揭示数学的统一性思想对概率论的理解所产生的作用。

一、相关概念数学统一性分析

1.概率空间中的数学统一性。数学概念的发展是遵循认识规律的，是由简单至复杂、由特殊到一般，有序地达到较高的抽象水平。简而言之，概念统一性是通过逻辑推演扩大概念的性质结构后与原来概念之间的一致性。概率论教学过程中，充分利用数学概念的统一性以及数学分析中实数域上映射概念，便于学生对于初次接触的概率空间的理解。实际上，我们先复习一下实数域上的映射概念以及容易理解的古典概率模型后，指出在古典概率模型中，所有可能的结果看成一个集合？赘，此集合上定义的概率是？赘→[0，1]的一个映射。根据认识规律，自然地，可将古典概率中的？赘可以是任一个非空集合，即为我们所说的样本空间；而σ-域F是这个集合的一些子集的集合（满足一定条件）；概率P实际上是？赘→[0，1]的一个映射，即将σ-域F的某个子集A（称之为事件）对应于一个[0，1]上的数，记这个数为P（A）。由此可看出，概率空间本质上就是数学分析所学习的某一集合与其上所定义的一种映射所构成的有序对。

2.随机变量中的数学统一性。随机变量的定义以及如何从离散型随机变量过度到连续型随机变量是学习概率论过程中难以理解的一个知识点。在讲解随机变量的定义时，注意其和普通变量、普通函数之间的联系，注意它们之间的统一性与差异性有助于学生对其理解。此外，指出离散随机变量定义在具有有限或可列个元素的某一集合上；连续型随机变量是定义在不可数的样本空间上。通过对比离散函数与连续函数的统一性与差异性以及离散函数如何过度到连续函数（特别是连续函数作图），让学生对其有初步理解，然后结合定积分的定义（求和取极限）给出连续函数初步定义，最后导出其严格定义。事实上，离散与连续是矛盾的两个方面，也是相对和绝对的统一，它们也具有统一性的一面。在现实中，我们有时将连续问题离散化处理，有时又将离散问题连续化分析。充分利用离散与连续这对矛盾是现代数学的主要矛盾之一，具体地深入地研究这对矛盾在概率论教学中的表现，将有助于学生对相关概念的理解。正如著名数学家Lovasz所说，离散数学与连续数学的结构和方法确实差别很大，但是从更深层次来说，离散与连续是一个事物的两面。

3.数学期望中的数学统一性。在讲解数学期望的时候，将数学分析中的数列求和以及定积分与之联系起来，有助于理解为何在定义离散随机变量的数学期望要求绝对收敛以及连续随机变量要绝对可积。此外，特别向学生阐明连续随机变量的数学期望中所蕴含的数学思想与定积分则有着惊人的统一：“以直代曲”。从方法论角度来看，它们之间在方法上更是惊人的一致：分割、求和、取极限。由此让学生明白，以后的很多概率论问题均可利用定积分中的分部积分、换元积分、变上限的积分等内容来解决。这体现了数学分析与概率论这两个不同领域在某种方面的相互转化以及和谐一致性，它们之间具有统一性。

4.概率密度函数与分布函数的数学统一性。连续性随机变量分布函数与概率密度函数是学生经常容易混淆的一个知识点。特别是概率密度函数这个概念，学生一般不好理解。此时，利用物理中体积、密度与质量之间的关系启发学生思考概率与概率密度之间的关系。事实上，如果将某一区间上的概率看成“物体的质量”，其长度看作“物体的体积”，两者之比值正好是“物体的密度”。因此概率密度函数在某点值的大小反映了随机变量落在该点附近概率的大小，而连续型随机变量落在某区间上的概率可转化为其密度函数在该区间上的积分，完全转化为已学过的数学分析中的定积分问题。此时，学生会恍然大悟，数学来源于物理，一些物理背景知识常常有助于理解数学概念，它们之间是和谐统一的。

二、启示

20世纪最伟大的数学家戴维·希尔伯特曾说：数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是各个部分之间的联系。数学的发展必然是逐步统一的过程。因此，作为数学教师，如果没有站在数学统一性高度去教授数学，呈现的必然只是一堆枯燥无味的数字、字母以及呆板的“定理—引理—证明”之步骤。因此，在概率论教学乃至其他数学教学中，教师应该正确处理好教学内容与其他知识点的统一性，阐明其中蕴含的辩证关系和相互转化，注重其中对立统一性的讨论与分析。将统一性思想具体融入到数学课堂教学中，这不仅能提高学习能力，促进学生对概率论以及数学知识的理解，提高学生知识点的融会贯通能力，而且在传授知识的同时，对学生进行马克思主义哲学思想的教育，使教书与育人结合起来，对培养辩证思维能力有着重要的作用。

参考文献：

[1]罗建华.透过一道习题看概率论教学[J].大学数学，2008，24（3）：152-154.

[2]M.阿蒂亚.数学的统一性[M].袁向东，编译.大连理工大学出版社，2009.

[3]王知微.概念发展的统一性与数学方法的划归原则[J].中学教研，1993，（6）：29-31.

[4]L.Lovasz，Discrete and Continuous：Two sides of the same？Modern Birkhauser Classics，359-382，2010.

[5]胡爱平，伍度志，叶志勇，苏理云.浅谈《概率论》教学中的一些问题[J].中国校外教育，2011，（6）：94.

基金项目：本研究受桂林理工大学博士基金以及贺州学院2012年度院级科研项目“教育资源分配视角下城乡义务教育均等化研究（项目编号：2012SKKY22）”资助。

作者简介：王彬（1980-），湖南邵阳人，博士研究生，研究方向：概率论。endprint