数列求和的方法与技巧

毕成

数列在历年高考中占有较大比重，分值约占总分的六分之一.数列题的解答对考生的分数有着至关重要的影响.而数列试题的考查又以数列求和为主.因此，掌握数列求和的方法与技巧显得尤为重要.初学这部分内容时，学生大都有畏难情绪，以至没有学好此内容.其实数列求和是有规律的，可以从它们的本质特点出发，寻找最一般的解法，从而得出结论.下面将根据数列的不同特点，给出数列求和的一般形式，对数列求和的方法与技巧进行探究与总结.

数列求和的指导思想：看通项，定方法.先求出数列的通项公式，然后根据数列通项的具体形式决定用哪种方法.

一、公式法

等差数列求和公式：s■=■=na■+■d

等比数列求和公式：s■=na■，q=1■=■，q≠1

补充公式：1■+2■+…+n■=■n（n+1）（2n+1）

1■+2■+…+n■=■n■（n+1）■

典型例题：例1.数列{a■}满足a■=n■+3n-1（n∈N■），求数列{a■}的前n项和S■.

分析：数列{a■}的通项由“n■”和“3n-1”两部分组成，“n■”可以用1■+2■+…+n■=■n（n+1）（2n+1）这个公式求和，“3n-1”可以用等差数列求和公式求和，因此本题用公式法求和较简单.

解：S■=（1■+2■+…+n■）+（2+5+…+3n-1）

=■n（n+1）（2n+1）+■

=■（n■+6n■+2n）

二、错位相减法

形如{a■·b■}，其中一个是等差数列，另一个是等比数列，此类题型用错位相减法求和.

典型例题：例2.数列{a■}满足a■=（2n-1）·3■（n∈N■），求数列{a■}的前n项和S■.

解：因为S■=1·3+3·3■+5·3■+…+（2n-1）·3■

所以3S■=1·3■+3·3■+5·3■+…+（2n-1）·3■

所以S■-3S■=1·3+2（3■+3■+…+3■）-（2n-1）·3■

所以S■=（n-1）3■+3

三、裂项相消法

形如：b■=■（k≠0），此类题型用裂项相消法求和.

常见形式：a■=■=■-■

a■=■=■（■-■）

a■=■=■（■-■）

a■=■=■（■-■）

a■=■=■-■

a■=■=■-■

典型例题：例3.数列{a■}是各项都不相等的正项等比数列且a■≠1（n∈N■），求证：

■+■+…+■=■.

证明：因为■=■（■-■），

所以

左边=■（■-■+■-■+…+■-■）

=■（■-■）=■（■）=■=右边，

所以■+■+…+■=■.

四、倒序相加法

数列{a■}的第一项与倒数第一项的和是个定值，第二项与倒数第二项的和是个定值，以此类推，此类题型用倒序相加法求和.

典型例题：例4.函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=■，且S■=f（0）+f（■）+f（■）+…+f（1），求S■.

解：因为S■=f（0）+f（■）+f（■）+…+f（1）

所以S■=f（1）+f（■）+f（■）+…+f（0）

所以2S■=（f（0）+f（1））+（f（■）+f（■））+…+（f（1）+f（0））

又因为f（x）+f（1-x）=■

所以2S■=（■+■+…+■）=■（n+1），所以S■=■（n+1）.

五、分组求和法

若一个数列的通项由几个不同的数列组合而成，并且可以把这个数列分解成几个能求和的式子，此类型用分组求和.

典型例题：例5.数列{a■}满足a■=2■+2n+1（n∈N■），求数列{a■}的前n项和S■.

分析：数列{a■}可以分解成两部分“2n”和“2n+1”，“2n”是等比数列，“2n+1”是等差数列，所以可以分别用等比数列和等差数列求和公式求和.

解：S■=（2+2■+…+2■）+（3+5+…+2n+1）

=2■-2+n（n+2）

六、并项求和法

一个数列本身并没有太明显的规律，但是把数列的某些项重新组合后有规律（如：相邻项组合，奇数项与偶数项分别组合等），并且组合后可以求和，此类型题用并项求和.

典型例题：例6.求和：S■=1-3+5-7+9-11+…+（-1）■（2n-1）.

解：当n为偶数时

S■=（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（2n-3-（2n-1））=-2·■=-n

当n为奇数时

S■=（1-3）+（5-7）+（9-11）+…+（2n-5-（2n-3））+（2n-1）=-2·■+（2n-1）=n

由以上六个例题，不难发现求数列前n项和的一般步骤：（1）求出数列的通项公式；（2）观察数列通项公式的形式，决定用哪种方法；（3）化简、整理，求出数列{a■}的前n项和.

以上给出的六种求和方法是比较常规的，但这些方法不是万能的.通过研究不难发现：这些方法的前提是能求出数列的通项，然后根据数列通项的特征进一步求和.但是有些题很难求出通项，以上这些方法不再适用.这就要求考生要多掌握一些“非常规”的技巧与方法.比如以下方法.

七、逐差求和法

某些数列的构成规律不十分明显，很难求出它的通项公式，我们可以逐次求出它的各阶差数列，如果某一阶差数列正好是等差数列或者为等比数列，那么就可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式，然后求出其前n项和S■.

典型例题：例7.求数列5，6，9，16，31，62…的前n项和S■.

分析：这个数列构成规律不十分明显，通项不容易求出，我们不妨看看相邻两项的差，然后再找规律，可以求出它的一阶差数列：1，3，7，15，31…，又可以求出它的二阶差数列：2，4，8，16，32…，发现它的二阶差数列是一个等比数列，因此可以用逐差求和法先求出a■再求出S■.

解：设原数列为a■，一阶差数列：1，3，7，15，31…为b■，二阶差数列：2，4，8，16，31…为c■，所以有b■-b■=c■，把以下式子相加：

b■-b■=c■

b■-b■=c■

b■-b■=c■

？噎 ？噎 ？噎

b■-b■=c■

得到：b■-b■=c■+c■+…+c■=2+4+8+16+…+2■=2■-2

所以：b■=2■-1

又因为a■-a■=b■，所以把以下式子相加：

a■-a■=b■

a■-a■=b■

a■-a■=b■

？噎 ？噎 ？噎

a■-a■=b■

得到：a■-a■=b■+b■+…+b■=2■-n-1

所以：a■=2■-n+4

然后利用分组求和求出S■.

所以S■=（2+2■+…+2■）+（3+2+…+（4-n））=2■-2+■.

八、组合数求和法

若原数列各项可写成组合数的形式，然后再利用公式C■■+C■■求出数列前项和S■.

典型例题：例8.求数列1，1+2，1+2+3，…，1+2+3+…+n的前n项和S■.

分析：这个数列的每一项可以变形为以下形式：

1=C■■，1+2=3=C■■，1+2+3=6=C■■，1+2+3+4=10=C■■，1+2+3+…+n=■=C■■，因此原数列各项的和可写成组合数的和的形式，就可以转化为利用公式C■■+C■■=C■■求出数列前n项和S■.

解：S■=1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+n）

=C■■+C■■+C■■+…+C■■=C■■=■n（n+1）（n+2）

“学无常法，教无常法”.本文总结的求和方法只是一些常规的思路与技巧，并不是“万能公式”.这就要求考生练就一双“火眼金睛”，深入发掘题目的特点，明确出题者的目的与意图，选择合适的方法和技巧.只有这样才能做到处变不惊，正确答题.