莫莱定理与拿破仑定理中的正三角形组的统一推广研究

陈盛斌

摘 要： 莫莱定理和拿破仑定理均联系了普通三角形和正三角形，在近年的研究中，对莫莱定理推广，在文[1]，[2]中找到了一系列，共54个正三角形.本文重新对这些正三角形组进行分类归纳.同时，由新的引理，对拿破仑定理也做出探索，找出在拿破仑定理之下的35个不同的正三角形.

关键词： 莫莱定理 拿破仑定理 三线旋转组

一、拿破仑定理与莫莱定理的推广及分类

拿破仑定理是法兰西第一帝国皇帝拿破仑·波拿巴提出的问题，现在的研究包括：

外拿破仑三角：△ABC边为底，向外做30°为底角的等腰三角形，顶点构成正三角形，如（图一（a））△GHI.

内拿破仑三角：△ABC边为底，向内做30°为底角的等腰三角形，顶点构成正三角形，如（图一（a））△JKL.

莫莱定理是在20世纪初，由著名数学家富兰克林·莫莱发现的，经过不断研究和扩展，现包括四种形态，在文[1]中有研究，现重新对其归类有：

图一（a） 图一（b）

1.内莫莱三角：△ABC各角内角三等分线交点构成正三角形，如（图一（b））△DEF.

2.外莫莱三角：△ABC各角外角三等分线交点构成正三角形，如（图一（b））△GHI.

3.优莫莱三角：△ABC各角优角三等分线（反向延长）交点构成正三角形，如（图一b）△JKL.

以上三种形式是我们较熟悉的形态.

4.旁莫莱三角：△ABC各角的内角、外角、优角三等分线混合构成交点，包含四种形态：

（I型）△ABC中，∠C内角三等分线与∠A，∠B的外角三等分线交点构成正三角形，如图二（I）△DEF；A、B、C角轮换后，可形成三个不同的正三角形.

（II型）△ABC中，∠C外角三等分线与∠A，∠B的优角三等分线（或延长线）交点构成正三角形，如图二（II）△DEF；A、B、C角轮换后，可形成三个不同的正三角形.

（III型）△ABC中，∠C优角三等分线延长线与∠A，∠B的内角三等分线交点构成正三角形，如图二（III）△DEF；A、B、C角轮换后，可形成三个不同的正三角形.

（IV型）△ABC中，∠C内角三等分线延长线，∠B的外角三等分线，∠A的优角三等分线（或延长线）交点构成正三角形，如图二（IV）△DEF；A、B、C角轮换及内角、外角、优角轮换后，可形成六个不同的正三角形.

图二

对于旁莫莱三角的四种形态，在文[1]中已经给予总结、证明和分类，在此形成了一个具有18个莫莱正三角形组。同时在文[1][2]中还一共形成了共有54个三角形构成的莫莱魔方，但其分类和形成的标准比较混乱.在此做出新的总结，同时对拿破仑三角的形态可以做出类似的推广.

二、三线旋转组定义与证明

观察在莫莱定理的四种形式中，每个角的内角三等分线，外角三等分线，优角三等分线，构成了两个两两夹角为60°的直线组.如图一（b）中角A处直线AD，AG，AJ构成夹角为60°的直线组；直线AF，AI，AL构成另一个夹角为60°的直线组.

在拿破仑定理的两种形态中，向内外各做底角为30°的等腰三角形.如图一（a）中角A处直线AL，AG夹角为60°，再将AG向外转60°，得直线AM，此时就构成了夹角为60°的直线组.同理，角B处也有直线BL，BG，BN构成另一个夹角为60°的直线组；由于此时AM⊥AB，BN⊥AB，若认为AM，BN交于无穷远处，则有类似的在无穷远处构成的三角形，是拿破仑定理的第三种形态.

定义：若三条直线，两两之间夹角为60°，则称这三条直线构成一个三线旋转组.

我们给出这样的引理：

图三

引理：（图三）以A，B两点分别做直线a■，a■，a■和b■，b■，b■使其分别构成三线旋转组，按逆时针顺序对应相交，则构成三个等边三角形.

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）构成正△CDE；

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）构成正△FGH；

（a■，a■，a■）？圮（b■，b■，b■）构成正△IJK.

以正△CDE为例，我们给出证明：

证明：∵a■，a■和b■，b■分别夹角为60°，a■和b■交于点C，a■和b■交于点D，

∴A、B、C、D四点共圆.

同理，a■，a■和b■，b■分别夹角为60°，a■和b■交于点D，a■和b■交于点E，

∴A、B、D、E四点共圆.

∴ABCDE五点共圆.

设外接圆半径为R，

∴由正弦定理CD=2Rsin∠CBD=■R，ED=2Rsin∠EBD=■R，CE=2Rsin∠CBE=■R，

即△CDE为正三角形.正△FGH和正△IJK同理可证.

三、莫莱正三角形组与拿破仑正三角形组的统一推广

1.莫莱正三角形组

由∠A，∠B，∠C的各有两组三线旋转组，以A、B两点为例，加以说明.

（I型）如图四，以∠A，∠B靠近AB边的内角三等分线及其三线旋转组，由引理相交构成三个等边三角形.类似在BC边、AC边轮换也同样相交构成三个等边三角形，共计9个等边三角形.

（II型）如图四，以∠A，∠B远离AB边的内角三等分线及其三线旋转组，由引理相交构成三个等边三角形.类似在BC边、AC边轮换也同样相交构成三个等边三角形，共计9个等边三角形.

图四

（III型）如图四，以∠A远离AB边的内角三等分线及其三线旋转组，∠B靠近AB边的内角三等分线及其三线旋转组，由引理相交构成三个等边三角形.类似交换三等分线旋转组，以∠A靠近AB边的内角三等分线及其三线旋转组，∠B远离AB边的内角三等分线及其三线旋转组，则在AB边可再构成三个等边三角形.类似BC边、AC边轮换也同样相交构成三个等边三角形，共计18个等边三角形.

在此，我们共计在莫莱定理的推广中，共找出了54个等边三角形，形成了一个比较复杂的正三角形组群.

2.拿破仑正三角形组

由A，B，C三点处各有两组三线旋转组，以A、B两点为例，加以说明.

（I型）如图五，以A、B边向外各旋转30°的直线及三线旋转组，由引理相交构成两个等边三角形.类似在BC边、AC边轮换也同样相交构成两个等边三角形，共计6个等边三角形.

（II型）如图五，以A为圆心，AC边向外旋转30°的直线及其三线旋转组；以B为圆心，BC边向外做旋转30°的直线及其三线旋转组，由引理相交构成三个等边三角形.类似在BC边、AC边轮换也同样相交构成三个等边三角形，共计9个等边三角形.

图五

（III型）如图五，以A为圆心，AC边向外旋转30°的直线及其三线旋转组；以B为圆心，BA边向外各做旋转30°的直线及其三线旋转组，由引理相交构成三个等边三角形.类似交换旋转组，以A为圆心，AB边向外旋转30°的直线及其三线旋转组；以B为圆心，BC边向外各做旋转30°的直线及其三线旋转组，由引理相交构成三个等边三角形，此时共在A、B点构成了六个等边三角形；在BC边、AC边轮换也同样相交构成六个等边三角形，共计18个等边三角形.

由此，我们在拿破仑定理的推广中，共找出了含35个正三角形的组群.

针对拿破仑定理和莫莱定理，还有其他可以统一研究的对象吗？能否找到统一的证明方法？若把三线旋转组，改为相邻直线成45°的四线旋转组，则有其他结论吗？这些问题有待大家共同思考解决.

参考文献：

[1]梁卷明.三等分角线构成的三角形的性质.中学数学，1997.7.

[2]梁卷明.莫莱（morley）三角形新探.中学数学教学参考，2001.3.

[3]阮世庆.Napoleon定理的一个初等证法的改进.数学学习与研究，2010.17.