能量法计算线弹性结构位移

李 斌, 韦成龙, 陈积光, 蒋 洋

(1. 湖南理工学院 土木建筑工程学院, 湖南 岳阳 414006; 2. 长沙理工大学 土木与建筑学院, 长沙 410114)

能量法计算线弹性结构位移

李 斌1, 韦成龙2, 陈积光1, 蒋 洋1

(1. 湖南理工学院 土木建筑工程学院, 湖南 岳阳 414006; 2. 长沙理工大学 土木与建筑学院, 长沙 410114)

通过改进简单的功能原理, 推导出用于计算线弹性结构位移的公式, 形式与卡氏第二定理、单位力法完全相同.文中给出的具体授课内容表明, 本文方法使材料力学能量法教学过程得以整合, 且与结构力学图乘法自然衔接. 大大简化推导过程的同时也有利于学生掌握理解.

材料力学; 线弹性结构; 位移计算

工程中对线弹性结构除强度要求外, 往往还有刚度要求, 这就需要对结构的位移进行计算. 材料力学课程主要介绍了利用梁的挠曲线近似微分方程、叠加原理以及能量法, 三种方法用于结构位移的求解[1].利用梁的挠曲线近似微分方程可以求解梁任意荷载作用下任一点处的位移, 但往往需要分段积分, 并引入连续条件和边界条件求解多元一次线性方程组. 求解过程冗繁, 且一般只适用于梁结构的位移计算. 利用叠加原理可以方便计算结构的位移, 但必须熟练掌握“简单荷载作用下梁的转角和挠度表”, 而且适用的结构形式有限, 对于复杂刚架、桁架以及组合结构等结构的位移计算存在困难. 能量方法可以应用于求解线弹性结构内部任一点任意方向上的位移, 常规的教学思路是通过引入余功、余能等概念, 推导得到余能定理. 然后利用线弹性结构, 力与位移成正比, 应变能Vε在数值上等于余能, 得到卡氏第二定理[1], 即或者利用处于平衡状态下的结构, 其外荷载和内力对任意给定的虚位移所作的总虚功等于零, 即虚位移原理, 推导出单位力法, 从而得到结构位移计算的一般公式[1]:

事实上, 卡氏定理与虚位移原理这两块内容均独立于整个课程教学体系, 授课内容和相关结论均有不同程度的重复. 教学过程中, 对学生数学、力学基础和思维能力的要求都很高, 是整个材料力学课程教学过程中的难点. 与大部分学生掌握的已有知识水平存在一定的落差, 学生往往难以接受或真正理解掌握.

本文通过改进简单的功能原理, 推导出用于线弹性结构位移的计算公式, 使得能量法在材料力学教学过程得到整合和自然衔接. 既简化了推导过程、节约了教学课时, 也有利于学生理解.

1 简单的功能原理

线弹性体在受力后要发生变形, 同时弹性体内将积蓄能量. 在此过程中, 外荷载所作的功W在数值上等于积蓄在弹性体内的应变能Vε, 这就是简单的功能原理.

以图1所示的弹性模量为E、 面积为A的均质线弹性结构为例, 外荷载F作用点处, 相应的位移为Δl,外荷载做功为

图1 线弹性直杆轴向受力时的F-△l曲线

如果结构的轴力FN, 截面面积A和材料弹性模量E分段为常数或连续变化, 则变形能的计算公式可写成

同理可以得到一般线弹性结构在外荷载作用下, 所做的功W 等于结构内部的应变能

其中 E、G分别为弹性模量、剪切模量, A、IP、I分别为结构横截面的面积、极惯性矩、惯性矩,M( x)、T( x)分别为结构内部的轴力、剪力、弯矩和扭矩.

2 功能原理的简单应用

利用简单的功能原理可以用于一部分线弹性结构的位移求解. 例如, 在图 2中, 一个在集中力偶Me作用下, 长为 l、刚度为 EI的悬臂梁 AB, 要求解自由端 B处的转角Bθ时, 可以首先求解外荷载做功以及应变能(其中然后利用W=Vε, 得到

图2 集中力偶作用下的悬臂梁

显然利用W=Vε可以求解单个集中荷载作用下, 力作用点处、力方向上的位移. 对于力作用点其他方向位移的求解存在困难, 难以求解复杂荷载作用下, 结构内部任意点处、任意方向上的位移.

3 功能原理的改进

鉴于简单功能原理的应用范围及其有限, 需要对其进行一定的改进. 以线弹性受弯结构为例, 假设结构上有多个荷载F1、F2、…、iF、…、Fn, 与各荷载相对应的最后的位移分别为Δ1、Δ2、…、Δi、…、

为计算方便, 假定这些荷载均同时作用在结构上, 并按同一比例由零增至其最后值F1、F2、…、iF、…、Fn. 于是, 外荷载所作的功就等于每个集中荷载在加载过程中所作功的总和. 因而, 可以仿照式(3)得到此时外荷载做功为

其中力iF和位移Δi为广义力和广义位移.

根据式(5), 此时结构内部的应变能为

假设第 i个荷载iF产生微小改变量而其余荷载均维持为常量不变, 则由于iF改变引起的相应外荷载做功以及应变能改变量相等, 即有

其中

同理, 线弹性体内力与荷载也具有线性关系, 即

代入式(11)可得

将(10)、式(12)代入式(8)得

同理, 可得一般线弹性结构任意位置i处的位移Δi,

所以求解线弹性结构任意位置i处的位移Δi, 可以首先在该处作用单位力, 分别求得荷载作用下的内力以及单位力作用下的内力, 然后代入式(14)中积分即可.

式(14)在形式上与卡氏第二定理式(1)以及线弹性结构的单位力法式(2)一致, 但推导过程大大简化.

在此基础上, 进一步引入三个简单的假设, 即可推导得到结构力学中广泛使用的图乘法[2], 实现了与后续课程相关内容的自然衔接.

4 结论

通过改进简单的功能原理, 推导出了形式与卡氏第二定理、单位力法完全相同, 可用于线弹性结构位移计算的公式. 具体教学实践表明, 本文方法简单, 对学生数学、力学知识要求不高, 有利于学生掌握理解. 同时, 大大简化了推导过程, 使材料力学能量法教学过程得以整合, 且与结构力学图乘法自然衔接,可为后续结构力学、弹性力学等课程相应内容的学习打下良好基础.

[1] 孙训方, 方孝淑, 关来泰. 材料力学(Ⅰ,Ⅱ)[M]. 第4版. 北京: 高等教育出版社, 2006

[2] 龙驭球, 包世华. 结构力学(Ⅰ,Ⅱ)[M]. 第2版. 北京: 高等教育出版社, 2010

Calculation of Displacement of Linear Elastic Structure With Energy Method

LI Bin1, WEI Cheng-long2, CHEN Ji-guang1, JIANG Yang1
(1. College of Civil Engineering and Architecture，Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China; 2. School of Civil Engineering and Architecture, Changsha University, Changsha 410114, China)

Based on improving work-energy principle，this paper derives the calculation formula for displacement of linear elastic structure. The form of formula is consistent with that of the castigliano's second theorem and unit force method. Lectures show that it makes energy method to integrate the teaching process. It is a natural and effective continuity of diagram multiplication method in structural mechanics. And the deduction process becomes easier and it is also helpful for students to master and understanding

material mechanics; linear elastic structure; displacement calculation

TB301

A

1672-5298(2014)04-0043-03

2014-05-25

湖南省教改课题(湘教通[2013]223号、教科规xjk014cgd036、湘建人协[2013]15号CHA2013001); 湖南理工学院大学生项目(校教通[2014]53号)

李 斌(1981− ), 男, 浙江绍兴人, 博士, 湖南理工学院土木建筑工程学院讲师. 主要研究方向: 基础力学与工程应用