TC4-DT钛合金疲劳长裂纹扩展速率的数学描述方程

李 静，祝力伟，朱知寿，王新南

(北京航空材料研究院，北京 100095)



TC4-DT钛合金疲劳长裂纹扩展速率的数学描述方程

李 静，祝力伟，朱知寿，王新南

(北京航空材料研究院，北京 100095)

针对经准β热处理获得的片层组织TC4-DT钛合金的疲劳长裂纹扩展速率实验结果，通过数值分析和线性回归拟合，推导了Paris方程、Forman方程和Elber方程的数学表达式，并对拟合结果的相关系数和误差进行了分析，对比了3种数学方程对片层组织TC4-DT钛合金疲劳长裂纹扩展速率的拟合精度。在此基础上，对已有模型进行优化和修正，提出了F-E分段方程。该方程以片层组织TC4-DT钛合金裂纹扩展速率曲线上转折点对应的应力强度因子幅ΔKt为分界点，分别对实验数据进行数值分析和线性回归拟合，具有较高的拟合精度。

TC4-DT钛合金；片层组织；疲劳裂纹扩展速率；数学方程

0 引 言

疲劳裂纹扩展速率是损伤容限性能的重要指标之一，裂纹扩展特征和规律直接反应了材料或构件的抗疲劳性能，是研究损伤累积和断裂失效机理的最直观手段。研究疲劳裂纹扩展规律具有重要的工程实用意义：①解决材料的定寿问题；②解决材料的延寿问题；③利用简单有效的力学性能参数估算材料的疲劳性能，达到简化或取代疲劳试验的目的。

对于材料疲劳裂纹的研究，早期的设计思想在预测含缺陷构件疲劳寿命时，一般只考虑和计算疲劳裂纹扩展的第二阶段已能够满足要求[1]，在研究方法上，人们通常使用线弹性断裂力学方法来研究裂纹的扩展问题。实践证明，使用这种方法来处理疲劳裂纹扩展速率的实验结果，较好地适应了早期工程中对含缺陷构件裂纹扩展寿命的预测[2-3]。

然而，一个成熟的裂纹扩展理论需要满足两个重要条件，即能够确切描述裂纹扩展真实过程的物理模型和精确表达该物理模型的定量数学方程[4]。现有的裂纹扩展速率的数学表达式都是在连续介质力学的基础上发展起来的，在弹塑性范围内，利用应力强度因子来描述应力应变场的全部过程，已经形成了许多成熟的理论和模型[5-9]，其中，Paris模型、Walker模型适用于描述疲劳裂纹的稳态扩展区，而Elber模型则拓展到了门槛值ΔKth附近，Forman模型拓展到了高应力强度因子幅区，除此之外，Nicholson[10]、Irving[11]等研究了能够描述疲劳裂纹扩展全过程的数学模型并提出了相应的数学表达式，但作为半经验方程仍然很难准确描述裂纹扩展规律。由此可见，要真正解决工程中疲劳裂纹扩展速率的分析问题，需要进一步发展能够全面表征疲劳裂纹扩展全过程的数学模型及其表达式。

本研究针对片层组织TC4-DT钛合金的疲劳长裂纹扩展速率，通过对实验数据进行数值分析，推导了Paris模型、Elber模型和Forman模型的数学表达式，并对三种模型的拟合精度进行了对比分析。在此基础上，提出了一个可描述疲劳长裂纹扩展的新模型，该模型综合考虑了门槛值ΔKth、断裂韧度KIC和应力比R，可有效描述门槛值附近和高应力强度因子幅范围内的裂纹扩展行为，并结合片层组织TC4-DT钛合金疲劳长裂纹扩展速率曲线特征，建立了该模型的分段数学表达式，为探索可描述疲劳长裂纹扩展全过程的数学模型提供理论参考。

1 实 验

实验用原材料为经三次真空自耗熔炼和开坯锻造后制得的φ210 mm TC4-DT钛合金棒材(经α+β两相区热加工后空冷至室温得到锻件)。然后采用准β热处理工艺对锻件进行热处理，具体工艺为950 ℃×1 h后随炉升温，再经998 ℃×30 min/AC + 730 ℃×2 h/AC处理。热处理后TC4-DT钛合金的显微组织为典型的片层组织，如图1所示。合金的断裂韧度KIC= 103 MPa ·m1/2，外延法测得的门槛值ΔKth= 7.83 MPa ·m1/2。

疲劳裂纹扩展速率实验采用标准紧凑拉伸(CT)试样，取样方向为T-L方向。测试按照GB/T 6398—2000标准要求，实验条件为室温(23 ℃)、大气环境、恒幅(应力比R=0.1，加载频率f=15 Hz)，裂纹测量采用分辨率为0.01的读数显微镜，每隔一定的加载循环(循环次数为N)后测量裂纹扩展量(a)，绘出a-N曲线，计算机根据自编程序可以得到每循环一次的裂纹扩展量，即疲劳裂纹扩展速率da/dNi(单位：mm/cycle)，同时还可以得到应力强度因子幅ΔK，然后利用数值分析软件绘制出da/dNi-ΔK的关系曲线，即为疲劳裂纹扩展速率曲线。

图1 TC4-DT钛合金经准β热处理后的显微组织Fig.1 Microstructure obtained by quasi-β heat-treatment of TC4-DT titanium alloy

2 结果与分析

2.1 典型数学模型拟合精度分析

Paris模型、Forman模型和Elber模型关于片层组织TC4-DT钛合金疲劳长裂纹扩展速率的数学表达式以及拟合精度如表1所示，对实验数据的拟合效果如图2所示。

图2 Paris、Forman、Elber模型对实验数据的拟合结果Fig.2 The fitting results of Paris, Forman and Elber mathematical equations

由图2a可知，Paris方程为一条直线，适合描述裂纹扩展的中速扩展区，拟合精度为0.617 3。近门槛区的预测值比实验值高，寿命估算结果偏安全，且裂纹扩展速率越小，偏差越大；在高应力强度因子幅的快速扩展区预测值比实验值低，寿命估算结果偏危险。由图2b可知，Forman方程能够较好地描述裂纹扩展的中速扩展区和快速扩展区，拟合精度为0.675 5。在近门槛区的预测值高于实验值，预测结果偏安全，且越靠近低应力区，拟合结果偏差越大。由图2c可知，Elber方程能够较准确地描述近门槛区和中速扩展区的裂纹扩展行为，拟合精度为0.951 3。在高应力强度因子幅的快速扩展区，随着应力比的增加拟合结果偏差越严重，预测结果越偏危险。

根据表1和图2可以得到以下结果：

(1)在双对数da/dN-ΔK坐标中，Paris方程为一条直线，适合于描述中速扩展区的裂纹扩展行为，但在低应力的近门槛区预测结果过安全，在高应力区的预测结果偏危险，拟合精度δ值最小；

(2)Forman方程较好地描述了中速扩展区和快速扩展区的裂纹扩展行为，但Forman方程对低应力区的实验数据拟合的效果与Paris方程近似，即越靠低应力区附近，拟合偏差越严重，拟合精度δ值略高于Paris方程；

(3)Elber方程可以较好地描述低应力近门槛区和中速扩展区的裂纹扩展行为，拟合精度δ值也最大，但不能描述高应力区的实验数据，对实验数据的拟合偏差越严重。

2.2 新模型

上述三种方程均不能完整描述疲劳长裂纹扩展的全过程，为了更好地解决疲劳长裂纹扩展规律和疲劳寿命预测等工程问题，本研究综合考虑影响裂纹扩展的各种因素，提出了一个可描述疲劳长裂纹扩展的新模型，该模型综合考虑了门槛值ΔKth、断裂韧度KIC和应力比R，见方程(1)。

(1)

由于该方程继承了Forman方程、Elber方程分别在高速区、近门槛区的表征特性，本研究暂称之为F-E方程。当 ΔK→Kth时，da/dN→0，当ΔK→(1-R)ΔKIC时，da/dN→∞，显然，F-E方程在理论上已经成功满足对双对数坐标da/dN-ΔK曲线两端极限条件下的描述。

研究表明[12-14]，片层组织TC4-DT钛合金的裂纹扩展速率曲线均存在转折点现象。由于转折点的存在，使得F-E方程在中速区的寿命预测结果偏危险。为了能够更准确的预测寿命，采用分段拟合的方法，即利用F-E方程对转折点前后的曲线分别进行拟合，得到的拟合曲线如图3所示，可见具有较好的拟合效果。其数学表达式见方程(2)，拟合精度δ= 0.993 7。因此，F-E分段方程是具有较高拟合精度的疲劳长裂纹扩展速率描述模型，比Paris方程、Forman方程和Elber方程具有更好的拟合精度。

图3 F-E分段方程对实验数据的拟合结果Fig.3 The fitting results of F-E mathematical equation

式中，ΔKt为裂纹扩展速率曲线上转折点对应的ΔK值。

3 结 论

(1)通过插值计算和线性回归方法，分别推导出了Paris方程、Forman方程和Elber方程的数学表达式，其中，Pairs方程适合描述裂纹扩展的中速扩展区的扩展行为，Forman方程适合描述裂纹扩展的中速扩展区和快速扩展区的扩展行为，Elber方程对于描述低应力近门槛区和中速区的裂纹扩展行为的拟合精度(δ=0.951 3)最高。但三个方程均不能描述裂纹扩展的全部物理过程。

(2)F-E分段方程以转折点对应的应力强度因子幅ΔKt为分界点，分别对实验数据进行数值分析和线性回归拟合，得到了具有较为理想拟合精度(δ=0.993 7)的F-E分段方程，此方程克服了已有数学模型存在的缺陷，能够较为准确的拟合裂纹扩展的整个过程。

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Mathematical Equations on Fatigue Crack Growth Rate of TC4-DT Titanium Alloy

Li Jing，Zhu Liwei，Zhu Zhishou，Wang Xinnan

(Beijing Institute of Aeronautical Materials，Beijing 100095，China)

Fatigue crack growth rate of TC4-DT titanium alloy with the lamellar microstructure obtained by quasi-βheat-treatment was tested. Paris, Forman and Elber mathematical equations were obtained by data analysis and linear regression fitting on the experiment results. The fitting precisions of three models were made a comparative study of mathematical result by correlation of fitting results and error analysis. A F-E equation with higher fitting precision for two-line segment to describe fatigue crack growth rate was proposed on the optimization and correction of the above models. It was obtained by data analysis and linear regression fitting on the results with ΔKtvalue as a division point.

TC4-DT titanium alloy；lamellar structure；fatigue crack growth rate；mathematical equation

2014-09-26

总装预先研究资助项目(51312010307)

祝力伟(1982—), 男，工程师。