基于米字型各向异性扩散的破损藏式古唐卡修复研究

翟东海 李 帆 鱼 江

(1.西南交通大学信息科学与技术学院 四川成都 610031;2.西藏大学工学院 西藏拉萨 850000)

藏族传统文化是中华民族多元化的重要组成部分，同时也是世界文化的瑰宝。其中的古代唐卡，具有很强的民族特点、浓郁的宗教色彩和独特的艺术风格，被视为人类的珍宝。唐卡绘画语言的最大特征是精细，是名符其实的“尽精微、致广大”［1］。然而，由于恶劣气候环境、年代久远、人为保管不当等各种因素的影响使得唐卡表面出现颜色剥落以及折痕等损伤［2－4］。借助计算机图像处理技术对破损古代唐卡图像进行修复，不但能降低古代唐卡保护的难度，减少人为因素对唐卡的损坏，而且能实现资源的共享，提高工作效率。

唐卡图像具有精细、精微、结构信息复杂的特点。如何对这类破损唐卡图像进行修复，且使修复后的破损唐卡更接近原始的完好图像，是唐卡数字化保护的难题。目前，适合于精细以及结构信息复杂的图像修复算法主要是基于偏微分方程的，最典型的是Bertalmio等人［5］提出的 BSCB图像修复模型。虽然原始的BSCB模型对图像有很诱人的修补效果，但采用原始的BSCB模型修复图像时会造成一定程度上的等照度线交叉的现象［6－9］。文献［9］在BSCB模型的基础上考虑了图像的梯度信息和其相应邻点的信息，有选择性地利用部分邻点，并运用加权的思想，提出了ASG算子，然后用ASG算子来代替光滑算子，对BSCB模型进行了改进，提出了BSCB－ASG模型，该算法虽然较原算法有更好的修复效果，但是该算法仍然没有解决原有BSCB算法所存在的等照度线交叉的问题。原始的PM［10］各向异性扩散模型具有很好的能保持图像的纹理细节信息的特点，本文首先对PM模型进行改进，提出了米字型各向异性扩散模型，然后将其用于BSCB模型中的扩散过程中，对图像进行平滑降噪，提出了改进的BSCB图像修复模型。最后，本文利用原始的BSCB模型、BSCB－ASG模型以及本文提出的改进的BSCB图像修复模型对不同破损程度的唐卡图像进行修复，实例验证图像修复效果。

1 BSCB 模型［5，11］

Bertalmio等人借助艺术家的图像修补方法提出了基于PDE的BSCB图像修补模型。其主要思想是首先将图像的完好区域周围的信息沿着等照度线的方向传输到破损区域内，当进行若干步信息传输的迭代过程后，算法再进行一次扩散的过程，以保证修补后的区域是平滑的过渡和防止等照度线的交叉。算法在进行图像修复时具体分为信息传输和方向扩散。

1.1 信息传输

▽⊥表示梯度矢量▽I旋转90°，即等照度线矢量，△I为Laplace算子，用以度量I的平滑性。按照式(1)进行多次的迭代过程后，然后进行第二步的方向扩散步骤。

1.2 方向扩散

为了有效避免待修复区域内出现多条等照度线相交的情况，Bertalmio等人加入了各向异性非线性扩散过程，其模型如下:

式(2)中k(x，y，t)是等照度线在点(x，y)处的曲率。

2 改进的BSCB图像修复模型

原始的PM各向异性扩散模型具有很好的能保持图像纹理细节的特点，本文将对它进行改进，提出米字型各向异性扩散模型，并将其运用到BSCB算法中的扩散过程中，便得到基于米字型各向异性扩散的BSCB图像修复模型。

2.1 原始的离散化PM各向异性扩散模型

其中，IO表示O点的像素值，t为迭代次数，c是0～1之间的非负函数，表示扩散的系数，DXIO表示X点像素值和O点像素值的差值。此外，λ的引入是为了保证新像素值计算的稳定性，即得到的新像素值介于修复前相邻5个点(如图1所示)像素值的最大值和最小值之间，方括号外面的上标t和下标O适用于方括号里的每一项。

图1 原始的PM各向异性扩散模型Fig.1 The original PM anisotropic diffusion model

虽然原始的PM各向异性扩散模型具有很好的平滑图像的效果，但是它只利用了邻域内的{N，S，E，W}4个点的参考信息，使得其效果不够明显。为了有效的改善其平滑图像的效果，本文在充分利用了原始算法中4个点的参考信息的基础上，引入了待修复点邻域内另外4个点{NE，SE，NW，SW}的参考信息对PM模型进行改进，提出了米字型各向异性扩散模型。

2.2 米字型各向异性扩散模型

如图2所示，在以O点为圆心，N点到O点的距离为半径的圆的东北、东南、西北、西南的方向上虚构 4 个点{NE＇，SE＇，SW＇，NW＇}，这 4 个点和原有的{N，S，E，W}4个点可视为O点的等效相邻点。然后，将这8个点的像素信息利用文献［10］的方法离散化后得到式(4):

其中，c是模型的扩散系数，它满足在图像区域内部尽可能加快扩散速率，而在图像边界上降低扩散速率。本文利用文献［10］提供的方法，对c进行如下计算:

函数g(s)是个单调递减的函数［10，12］，它的取值范围是(0，1］，当它的函数值越接近1时，则扩散速率越快;当它的函数值越接近于0时，则扩散速率越慢。把式(3)，(5)，(6)代入式(4)便得到米字型各向异性扩散模型，如式(7):

将式(7)简化表示为式(8)，即为简化后的米字型各向异性扩散模型:

其中，X∈ {N，S，E，W}，Y∈ {NE，SE，NW，SW}，0≦ λ ≦1/8。

图2 米字型各向异性扩散模型Fig.2 The UK －flag shaped anisotropic diffusion model

根据文献［5］的修补过程，将上述米字型各向异性扩散模型应用到原始的BSCB模型的扩散过程中，即为改进的BSCB图像修复模型。

3 实例验证

在实例验证过程中，首先分别分析了原始的BSCB算法、BSCB－ASG算法和本文算法对灰度破损古唐卡图像的修复效果，然后将各算法扩展到彩色空间分别进行了实验分析。同时，在实验过程中本文针对唐卡图像的破损特点又分为了剥落型、横向折痕型、纵向折痕型的破损唐卡进行了实验分析，实验环境为MATLAB 7.6.0版本，实验中的迭代次数都为35。另外，为了定量比较各个算法的修复效果，本文采用了均方误差(MSE)和算法运行的时间作为比较的评价标准。MSE值越小表明算法的修复效果越好，针对单通道的图像，MSE值的计算方法如下:

式(9)中，I为原图像，I1为修复后的图像，M和N分别为图像的行数和列数。从式子中就可以看出，MSE值越小，表明修复后的图像与原始图像的差距就越小。

3.1 灰度唐卡图像修复效果比较

图3－图5为3种算法对破损古唐卡的灰度图像修复结果，图3是模仿对剥落型破损唐卡的修复实验，图4、图5是模仿对折痕型破损唐卡的修复实验。本文将原始BSCB算法、BSCB－ASG算法和本文提出的算法对灰度图像的修复效果进行了比较分析。图3－图5中，(a)为原始图像，(b)为破损图像，(c)为采用原始BSCB算法的图像修复效果，(d)为采用BSCB－ASG算法的修复效果，(e)为采用本文算法的修复效果。利用3种算法所得的修复后的图像的视觉效果如图3－图5所示，各算法图像修复效果比较如表1所示。

3.2 彩色唐卡图像修复效果比较

图6－图8是3种算法对破损古唐卡彩色图像的修复结果，图6是模仿对剥落型破损唐卡的修复实验，图7－图8是模仿对折痕型破损唐卡的修复实验。图6－图8中，(a)为原始图像，(b)为破损图像，(c)为采用原始BSCB算法的图像修复效果，(d)为采用BSCB－ASG算法的修复效果，(e)为采用本文算法的修复效果。利用3种算法所得的修复后的图像的视觉效果如图6－图8所示，各算法图像修复效果比较如表2所示。

从以上的实验结果可以看出，本文提出的改进的BSCB图像修复算法在没有增加算法的时间复杂度的情况下，其视觉效果和MSE值都优于原始的BSCB和BSCB－ASG算法。这是因为本文算法将提出的米字型各向异性扩散模型应用到原始的BSCB算法扩散过程中的结果，新提出的米字型各向异性扩散模型具有很好的保持图像纹理细节以及图像边界信息的特点，所以实验结果和理论分析吻合。

图3 灰度破损唐卡图像修复效果对比实验Fig.3 The inpainting effect contrasts of ancient gray Thangka

图4 灰度破损唐卡图像修复效果对比实验Fig.4 The inpainting effect contrasts of ancient gray Thangka

图5 灰度破损唐卡图像修复效果对比实验Fig.5 The inpainting effect contrasts of ancient gray Thangka

图6 彩色破损唐卡图像修复效果对比实验Fig.6 The inpainting effect contrasts of ancient color Thangka

图7 彩色破损唐卡图像修复效果对比实验Fig.7 The inpainting effect contrasts of ancient color Thangka

图8 彩色破损唐卡图像修复效果对比实验Fig.8 The inpainting effect contrasts of ancient color Thangka

表1 灰度唐卡图像各算法修复效果比较Table 1 The inpainting effects of ancient gray Thangka by using different algorithms

表2 彩色唐卡图像各算法修复效果比较Table 2 The inpainting effects of ancient color Thangka by using different algorithms

4 结语

本文对原始的PM各向异性扩散模型进行改进，提出了米字型各向异性扩散模型，并将其应用到原始的BSCB模型的扩散过程中，提出了改进的BSCB图像修复模型。实例验证结果表明，本文的算法在没有增加算法的时间复杂度的情况下，在视觉效果上和均方误差(MSE)的评价指标上，都优于原始的BSCB图像修复算法，尤其是图像边缘过渡显得非常自然。

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