双势阱中玻色-爱因斯坦凝聚系统不动点分析

刘 君， 邱海波， 惠小强

(1.西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121； 2.西安邮电大学 理学院， 陕西 西安 710121)

双势阱中玻色-爱因斯坦凝聚系统不动点分析

刘 君1，2， 邱海波2， 惠小强2

(1.西安邮电大学 通信与信息工程学院， 陕西 西安 710121； 2.西安邮电大学 理学院， 陕西 西安 710121)

在准经典理论下，研究双势阱中的两组分玻色-爱因斯坦凝聚系统的动力学属性。利用平均场近似写出该量子系统的经典哈密顿量，通过数值及线性化分析，找到系统的对称型、反对称型、各向同性型及非对称型共四类不动点。分别讨论两种特殊模式下的不动点数目的变化情况和稳定性，发现两种模式出现不动点数目的上下限，且两种模式下不动点的稳定性与对应系数矩的阵特征值有关。

两组分玻色-爱因斯坦凝聚系统；不动点；哈密顿系统

由于材料科学和纳米微加工技术的进步，电子器件尺寸越来越小，电子器件的大小进入了介观和纳米尺度，现代物理学器件的研究进入了量子可调控时期[1]。与此同时随着社会信息处理和存储量的爆胀，微处理器制造技术已经达到了经典极限，量子信息和量子计算将会是未来电子信息输运技术发展的重要方向和支柱，而双势阱下的玻色-爱因斯坦凝聚态(Bose-Einstein Condensates, BECs)所具有的量子隧穿特性将对其发展提供很有利的帮助[2-3]。

近年来，有很多关于单组分BECs在双阱下的研究，见文[4-6]及其参考文献。与单组分情形相比较，多组分BECs由于存在种间相互作用而表现出更为丰富的物理特性[7]。如，自囚禁和约瑟夫振荡现象的出现就与不动点的分析密切相关[8-10]，其根源在于量子特征值和经典不动点之间存在联系[11]。不动点是20世纪数学领域中的一个重要发现，1909年，荷兰数学家布劳维创立了不动点理论。在此基础上，不动点理论有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想。美国数学家莱布尼茨1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论。1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念。不动点目前主要的研究方向是受限或不限于欧氏空间中多面体上的映射，同时不动点相关的定理和理论也广泛应用于数学建模、非线性动力学、分岔理论等研究[12]。

本文将由BECs系统的哈密顿量得到正则方程，继而得到不动点的表达式，据此对其进行分类，并以两种特殊模式下的不动点为例，分析不动点数目的变化和稳定性情况。

1 不动点的分类

在实验上，两个耦合的玻色-约瑟夫逊结可通过囚禁双势阱中两组分BECs来实现[13]。根据准经典理论，相应的哈密顿量为[14]

(1)

其中Sσ为双势阱中原子a和原子b的布居率差，而

θσ=θσL-θσR

是不同原子在左阱(L)和右阱(R)中的相对相位差，vσ是不同原子在势阱间的隧穿率，uσ是种内耦合强度，uab是种间耦合强度，a和b表示不同种的BECs，此外，以

表示单组分BECs的隧穿动力学行为，而记

HI=uabSaSb

为耦合项。该哈密顿系统的正则方程为

(2)

只考虑两组分BECs具有相同的动力学特性的情形，即

ua=ub=u，va=vb=v。

根据不动点的定义，正则方程(2)的等式右侧为零时可解得不动点的表达式

分情形进行讨论。当Sa=Sb时，有

当Sa≠Sb,且Sa和Sn互为相反数时，有

根据Sa和Sb的关系,可将不动点分为对称型(Sa=Sb)、反对称型(Sa=-Sb或Sb=-Sa)、各向同性型(Sa=Sb=0)以及非对称型(|Sa|≠|Sb|)共4类[15]。

2 不动点数目的变化分析

接下来讨论

(θa,θb)=(0,0), (θa,θb)=(π,π)

两种模式下不动点数目的变化情况。

利用正则方程(2)等式右边等于0和模式条件，可以得到

(3)

这里的θa和θb同时是0或π。

方程(3)定义了在平面(sa,sb)上的两条曲线。对应于不同的u,uab和v 的值,两种模式下所描绘出的曲线分别如图1和图2所示。在每幅图中，两条曲线的交叉点代表着相应的不动点。

图1(a)对应的是1个各向同性型不动点，而图1(b)对应的是1个各向同性型不动点和2个反对称型不动点。图2(a)对应着1个各向同性型不动点，图2(b)对应着1个各向同性型和2个对称型不动点，图2(c)对应着1个各向同性型、2个对称型和2个反对称型不动点，图2(d)对应着1个各向同性型、2个对称型、2个反对称型和4个非对称型不动点。可见，各向同性型不动点始终存在的，对称型和反对称型不动点的出现则取决于相应的边界条件，而非对称型不动点仅存在数值分析性而不具有解析分析性。

模式(θa,θb)=(0,0)的不动点数目变化比模式(θa,θb)=(π,π)简单，前者只有各向同性型、反对称型和对称型3种，且不动点数目最多出现了3个，而后者则包含了全部4种类型，且不动点数目最多有9个。

3 不动点稳定性的分析

另记

(4)

根据正则方程(2)，模式(θa,θb)=(π,π)下的运动方程可线性化为

(5)。

由系数矩阵Ω可以得到相应特征值的平方项

(6)

其中

模式(θa,θb)=(0,0)中特征值平方项的推导更为简单，详细内容可参见表1，由于非对称型不动点不存在解析解，故未列举。

表1 两种特殊模式的不动点特征值解析表达式

由表1可知，只要相应类型的不动点的特征值λ+和λ-都是实数，那么此时该类型的不动点就是稳定的，反之亦然。

图3和图4分别给出两种模式的不动点在一定范围内的分布。不动点数目及相应不动点的稳定性随着uab和u取值的不同会有所变化。

在图3(a)中，从区域A到区域B，不动点的数目从1个变为了3个；各向同性型不动点始终存在但由稳定变为不稳定；区域B中出现了2个稳定的反对称型不动点。

在图4(a)中，区域A、B、C和D中的不动点的数目分别为1个、3个、5个和9个，各向同性型不动点始终存在但仅在区域A中是稳定的；区域B、C、D中都有2个稳定的对称型不动点；区域C、D中都有2个反对称型不动点，一个稳定，另一个不稳定；非对称型不动点仅出现在区域D中，均不稳定。

图3(b)和图4(b)分别与图3(a)和图4(a)的情况类似，相应区间不动点的稳定性并没有变化，只是某些不动点的类型发生了变化：各向同性型和非对称型不动点的类型未发生变化，对称型和反对称型的不动点转到了彼此相反的类型。

4 结语

分析在一个对称的双势阱下BECs系统模型的不动点情况，结果表明，所有不动点分成四大类：对称型不动点、反对称型不动点、各向同性型不动点及非对称型不动点。通过正则方程线性化，先得到系数矩阵，再得到系数矩阵得到特征值，进而可说明(θa,θb)=(0,0)和(θa,θb)=(π,π)两种模式不动点数目的变化情况，并结合稳定性的分析画出了这两种动力学模式下不动点分布的相图。对非线性系统不动点的分析结果可用于研究非线性系统测度同步和分岔现象。

[1] Taglieber M, Voigt A C, Aoki T, et al. Quantum Degenerate Two-Species Fermi-Fermi Mixture Coexisting with a Bose-Einstein Condensate[J]. Physical Review Letters, 2008, 100(1): 401-403.

[2] Grifoni M, Hänggi P. Driven quantum tunneling[J]. Physics Reports, 1998, 304(5): 229-233.

[3] Timmermans E, Tommasini P, Hussein M, et al. Feshbach resonances in atomic Bose-Einstein condensates[J]. Physics Reports, 1999, 315(2): 199-205.

[4] Tsukada N, Gotoda M, Nomura Y. Laser-assisted coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review A, 1999, 59(5): 3862-3867.

[5] Papp S B, Pino J M, Wieman C E. Tunable Miscibility in a Dual-Species Bose-Einstein Condensate[J]. Physical Review Letters, 2008, 101(4): 402-405.

[6] Myatt C J, Burt E A, Christ R W, et al. Production of Two Overlapping Bose-Einstein Condensates by Sympathetic Cooling[J]. Physical Review A, 1997, 78(4): 586-589.

[7] Smerzi A, Fantoni S, Giovanazzi S, et al. Quantum coherent atomic tunneling between two trapped Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review Letters, 1997, 79(25): 4950-4953.

[8] Milburn G J, Corney J, Wright E M, et al. Quantum dynamics of an atomic Bose-Einstein condensate in a double-well potential[J]. Physical Review A, 1997, 55(6): 4318-4324.

[9] Raghavan S, Smerzi A, Fantoni S, et al. Coherent oscillations between two weakly coupled Bose-Einstein condensates: Josephson effects, π oscillations, and macroscopic quantum self-trapping[J]. Physical Review A, 1999, 59(1): 620-633.

[10] Mahmud K W, Perry H, Reinhardt W P. Quantum phase-space picture of Bose-Einstein condensates in a double well[J]. Physical Review A, 2005, 71(2): 615-622.

[11] Creffield C E, Monteiro T S. Tuning the mott transition in a Bose-Einstein condensate by multiple photon absorption[J]. Physical Review Letters, 2006, 96(21): 403-406.

[12] Pu H, Bigelow N P. Properties of Two-Species Bose Condensates[J]. Physical Review Letters, 1998, 80(6): 1130-1133.

[13] Ng H T, Law C K, Leung P T. Quantum-correlated double-well tunneling of two-component Bose-Einstein condensates[J]. Physical Review A, 2003, 68(1): 604-609.

[14] Qiu Haibo, Tian Jing, Fu Libin. Collective dynamics of two-species Bose-Einstein-condensate mixtures in a double-well potential[J]. Physical Review A, 2010, 81(4): 613-617.

[15] Xu Xiaoqiang, Lu Lihua, Li Youquan. Stability and dynamical property for two-species ultracold atoms in double wells[J]. Physical Review A, 2008, 78(4): 609-615.

[责任编辑:王辉]

Analysis of the fixed point for two components Bose-Einstein condensates in a double-well potential

LIU Jun1,2, QIU Haibo2, XI Xiaoqiang2

(1.School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China; 2. School of Science, Xi’an University of Posts and Telecommunications, Xi’an 710121, China)

The dynamic properties of the two components Bose-Einstein condensates system in a double-well potential is studied within classical theory in this paper. The mean-field approximation is used to write the classical Hamiltonian of the quantum system, and then the numerical and linear analysis is used to find four types of the fixed point: symmetrical, antisymmetrical, isotropic and asymmetrical. The variety of the fixed point number and their stability of the two special modes are discussed. The results show that the stability of the fixed point is related to the eigenvalues of the matrix.

two components Bose-Einstein condensates system, the fixed point, Hamiltonian system

10.13682/j.issn.2095-6533.2014.01.012

2013-09-14

国家自然科学基金资助项目(11104217, 11174165)

刘君(1989-)，男，硕士研究生,研究方向为信号与信息处理。E-mail: 1009170148@qq.com 邱海波(1982-)，男，博士，讲师,从事耦合哈密顿系统测度同步的研究。E-mail: tooladde@gmail.com

O552.6

A

2095-6533(2014)01-0058-04