一种改进的多学科协同优化算法及其应用＊

许 辉

（中国舰船研究设计中心 武汉 430064）

1 引言

一个复杂工程系统往往涉及多个专业领域，存在很多设计变量及约束条件，各学科间相互影响或耦合。传统的串行设计方式由于忽视学科间的关联性，通常只能获得设计的局部最优解。上世纪八十年代，多学科设计优化（Multidisciplinary Design Optimization，MDO）兴起于航空航天领域，以Sobieski和Kroo为代表的科学家在这方面做了一些开创性的工作［1～4］。MDO是一种通过充分探索和利用工程系统中相互作用的协同机制来设计复杂产品及其子系统的方法论。随着MDO的发展，涌现出诸如多学科可行方向法（Multidisciplinary Feasible Method，MDF）、并行子空间优化算法（Concurrent Subspace Optimization，CSSO）、协同优化算法（Collaborate Optimization，CO）、两级集成系统 综 合 （Bi－Level Integrated System Synthesis，BLISS）等优化框架。其中1994年 Kroo等［2］人提出的协同优化算法由于具有良好的学科自治性和并行处理能力，一直被认为是多学科优化中最具前途的优化算法。

传统协同优化算法中系统级独特的一致性约束表达形式，导致系统级约束过多计算迭代次数增大，优化结果无法收敛等。针对这些缺陷，文献［5］提出了最优灵敏度方法，采用一阶近似方法增大了收敛的可能性，但计算量大且鲁棒性差；文献［6］采用动态罚函数方法将系统级约束问题转为无约束优化问题，提高了系统级求解优化效率，但如何选取合适的罚因子保证计算的稳定性成为新的问题；文献［7］将遗传算法应用于系统级优化，克服了协同优化可靠性不好的问题，但计算次数的显著增大也不容忽视；文献［8］将罚函数方法引入学科级，用学科级共享平均值代替系统变量实施系统优化，有效提高了系统级收敛效率，但该方法无法求解学科级共享变量数目不对等的问题；文献［9］提出在协同优化框架类加入混合变量解决复杂产品系统优化设计，该方法思想新颖，但混合变量的加入导致系统级更大的优化负担。综合以上分析，提出了一种新的协同优化算法（New Collaborative Optimization，NCO），并用工程测试算例进行验证。

2 改进的协同优化算法

2.1 协同优化算法的数学描述及求解流程

CO是1994年斯坦福大学教授Kroo等针对单级多学科优化方法在解决大型复杂系统工程时出现的低效率和大计算量问题，提出的具有两级结构的多学科优化策略。CO将优化问题分为两级：一个系统级和并行的多个学科级。系统级的数学描述形式如下：

式中，f（z）为系统级优化目标函数；为学科级i的第j个共享变量最优解；m为系统级与学科级共享变量数目；zj为第j个共享变量；（z）为学科级i提供的一致性等式约束条件；n为优化问题的学科级数目。

CO算法的学科级数学描述形式为

式中，Ji（xi）为学科级的优化目标函数；xij为学科级i的第j个共享变量；xil为学科级i的局部设计变量；为系统级传递给学科级i的第j个共享变量；g（xij，xil）为学科级局部约束条件。

优化之初，系统级向学科级分配系统级变量的目标值，如图1流程图所示，各学科级在满足自身约束的条件下，其目标函数应使学科间耦合变量与分配的目标值的差距最小，经学科级优化后，将优化解传回给系统级，系统级在一致性约束条件下，优化共享变量，以解决各学科间耦合变量的不一致。通过系统级优化和子学科级优化之间的多次迭代，最终得到一个学科间耦合关系，达到一致的系统最优设计方案。正是这种分布并行的设计思想，保证了各学科设计优化的自由度，减少了学科间的数据传输，吸引国内外不少学者将其应用于飞机、卫星、电动汽车、鱼雷及船舶的设计［10～14］。

图1 标准CO流程

2.2 改进的协同优化算法

传统协同优化算法的数学表述形式使其在实际系统工程优化设计存在如下三个主要问题：

1）系统级优化的一致性等式约束条件形式是2－范数形式。其导数（z）＝－2（¯xi－¯z）在最优解处的Jacobian矩阵是奇异矩阵将导致系统级Kuhn－Tucker条件无法满足，严重影响系统级收敛结果和效率。

2）对于实际的复杂MDO问题，子学科数目往往多余系统级共享变量数目使得系统级约束条件数大余系统级共享变量数，极大限制了系统级优化的自由度。

3）系统级一致性等式约束形式，没有考虑实际工程设计中不同设计变量量级的差别和设计精度的要求，各学科的一致性约束表达式中可能造成量级小的变量失去一致性控制作用且等式约束条件过于苛刻易使优化过程无法收敛。

针对上述分析提出了NCO算法，NCO框架在继承了传统协调优化分布并行的思想上，以新的系统级约束表达形式来克服传统协同优化计算困难的缺陷。

1）为了避免系统级约束Jacobian矩阵为零对Kuhn－Tucker条件的破坏，使用1－范数来代替2－范数。

2）系统级一致性约束形式改为由各个变量与系统级共享变量间差异最大的表达式来控制来增强系统级优化自由度，同时有助于将不同设计变量分离处理。

3）根据实际各个设计变量精度要求选取不同的松弛变量。

改进后的系统级优化模型为

式中j为系统级设计变量个数。εj为实际工程中第j个共享变量要求的精度。

3 算例分析

分别采用典型函数和实际工程问题将Alexandrov提出的松弛协同优化与NCO优化算法比较，以说明NCO算法的有效适用性。

3.1 数值算例

选取一个典型函数优化问题，对本文的改进策略进行测试。其数学模型为［15］

按照协同优化的思想，将该优化问题分为一个系统级和两个学科级。松弛协同优化算法的数学优化模型如下：

1）系统级优化模型：

式中，z1，z2为系统级设计变量，为系统级一致性约束。

2）子学科1的优化模型：

3）子学科2的优化模型：

采用NCO算法对系统级表述形式进行改进，改进后的数学优化模型如下：

1）系统级优化模型：

2）子学科1的优化模型：

3）子学科2的优化模型：

由文献［15］可知，当β＝0.1时，最优解x＊为（0.198，1.980），目标函数f＊为3.998。取四组不同初始点，两种方法系统级和子系统级都采用序列二次规划法（NLPQL），NCO系统级表达式中ε1取10－5，ε2取10－4优化结果如表1所示。

表1 优化结果比较

图2 初始点1处松弛CO算法系统级目标函数迭代图

图3 初始点1处NCO算法系统级目标函数迭代图

由表1的数据可以看出，在不同的初始点处，松弛CO算法和NCO算法方法都求得最优解，且优化结果与给定的最优目标值接近。但对于所有不同的起始点NCO的系统迭代次数大幅度下降，收敛效率明显得到提升。图2、图3所示为在初始点1处，松弛CO和NCO算法系统级目标函数迭代图。

3.2 齿轮减速器优化问题

齿轮减速器优化算例是NASA评估多学科设计优化方法性能的十个标准算例之一［16］。该设计问题包括七个设计变量，如图4所示，其中x1为齿面宽度，x2齿轮模数，x3小齿轮齿数，x4、x5为轴承间距，x6、x7为轴的直径，目标是满足齿轮的弯曲应力和接触应力以及轴的位移和应力等约束条件下使得减速箱的质量最轻。其优化数学模型表述如下［17］：

以上各式中，设计变量取值范围为：2.6≤x1≤3.6，0.7≤x2≤0.8，17≤x3≤28，7.3≤x4，x5≤8.3，2.9≤x6≤3.9，5≤x7≤5.5单位：cm。

按照多学科协同优化设计思想，将齿轮箱优化设计问题分解为一个系统级和三个学科级，系统级设计变量为z1，z2，z3，学科1的设计变量为x1，x2，x3，x4，x6，学科2的设计变量为x1，x2，x3，x5，x7，学科3的设计变量为x1，x2，x3。

图4 齿轮减速箱

松弛CO算法的优化模型如下：

1）系统级优化模型：

2）子学科1的优化模型：

3）子学科2的优化模型：

4）子学科3的优化模型：

采用NCO算法对系统级表述形式进行改进，改进后的数学优化模型如下：

1）系统级优化模型：

2）子学科1的优化模型：

3）子学科2的优化模型：

4）子学科3的优化模型：

表2列出了NASA给出的四个不同起始点，其中A、B、C为可行域内的点，D为可行域外的点。

两种方法系统级和子系统级都采用序列二次规划法（NLPQL）。其中松弛协同优化算法结果来自文献［18］。齿轮箱优化问题中齿面宽度x1量级为100，按照允许误差要求，取ε1＝10－4；小齿轮模数x2量级10－1，工程设计中要求精度高，在NCO中设定ε2＝10－5，小齿轮齿数x3量级为101，精度要求相对偏低，故可取ε2＝10－3。减速齿轮箱为优化结果见表3。

表2 初始设计点

表3 齿轮箱优化结果比较

文献［19］给出该问题的最优解为（3.50，0.7，17，7.3，7.71，3.35，5.29），目 标 函 数f＊为2994kg。

图5 起始点A处NCO算法系统级目标函数迭代图

图6 起始点C处NCO算法系统级目标函数迭代图

由表3可以看出，对于齿轮箱优化问题，起始点A处松弛CO无法收敛。而NCO算法迭代39次收敛至最优解。图5给出了起始点A处的系统级目标函数迭代图。

在起始点B、C、D处，传统CO和NCO都能收敛至最优解。但当起始点位于最优点附近的C点或者可行域外的D点时传统CO算法系统级收敛缓慢，NCO的收敛速率为松弛CO的1.5倍，且NCO算法的鲁棒性优于松弛CO。图6给出了起始点在C点处的系统级目标函数迭代图。

4 结语

本文在分析了传统协同优化求解多学科问题易出现缺陷原因的同时，通过对系统级一致性约束表述形式进行改变，提出了一种改进的协同优化算法。NCO在继承传统协同优化算法高度学科自治性、并行优化设计思想的基础上，对解决复杂的系统工程问题主要具有如下优势：

1）系统级一致性约束形式改为由各个变量与系统级共享变量间差异最大的单项表达式来控制，降低了系统级约束的维数，提高了系统优化效率。

2）系统级一致性等式约束变为不等式约束，松弛变量根据不同设计变量精度要求和量级大小选取，有效保证了可行域解的存在，同时更符合工程实际要求。

3）以1－范数形式替代系统级约束2－范数形式，保障了Kuhn－Tucker稳态条件，使数值型优化算法得以实施。

两个经典多学科测试算例初步验证了NCO的有效性和鲁棒性。NCO还需要在大型复杂系统工程设计中进行应用、检验及进一步完善。

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