页岩气藏分段压裂水平井不稳定渗流模型

樊冬艳,姚 军,孙 海,谢银伍,曾 慧,张 凯

(1.中国石油大学地质资源与地质工程博士后流动站,山东青岛 266580;2.中国石油大学石油工程学院,山东青岛 266580; 3.长庆油田分公司第三采油厂,宁夏银川 750005)

页岩气藏分段压裂水平井不稳定渗流模型

樊冬艳1,2,姚 军2,孙 海2,谢银伍3,曾 慧2,张 凯2

(1.中国石油大学地质资源与地质工程博士后流动站,山东青岛 266580;2.中国石油大学石油工程学院,山东青岛 266580; 3.长庆油田分公司第三采油厂,宁夏银川 750005)

针对页岩气藏中吸附气和游离气共存的储集方式,基于双重介质模型建立考虑吸附解吸过程的页岩气藏不稳定渗流数学模型,并定义新的参数来表征基质中吸附解吸气量与游离气弹性释放量的比值,利用Laplace变换计算页岩气藏点源解,通过叠加原理得到定产量生产时水平井分段压裂改造后井底压力解,对考虑井筒和表皮系数的影响以及定井底流压生产时水平井动态产能进行分析。结果表明:在开采过程中页岩吸附解吸气量所占比例较大,且考虑吸附解吸后,定产量生产所需压差小,压力波传播到边界时间晚,压力导数曲线凹槽更加明显,同时定井底流压生产时压裂水平井产量更大,稳产时间更长;Langmuir吸附体积越大,压力波传播越慢,所需压差越小,压力导数曲线凹槽越深,同时页岩气藏稳产时间越长,产量越大,但产量的增幅越小。

页岩气藏;Langmuir等温吸附;压裂水平井;点源解;不稳定渗流

页岩气藏资源丰富、潜力巨大,已成为目前研究的热点问题[1-2],美国2010年页岩气年产量已达到了1038亿m3,接近北美天然气总产量的20%[3],中国页岩气储量与美国相当,开发前景广阔。室内试验和现场实践[4-5]表明页岩内吸附气与游离气共存,不同于常规的气藏大部分为游离气,也不同于煤层气主要以吸附状态赋存在煤基质孔隙[6],需要同时考虑游离气的弹性释放和吸附气的解吸脱附;其次,由于页岩气藏渗透率极低,一般只有几百个纳达西[7-8],页岩气藏商业化开采主要依赖于水平井及多段压裂改造技术[9],开展页岩气藏压裂水平井的动态压力及产能分析非常有必要。目前大部分压裂水平井的模拟主要基于达西流动,没有考虑吸附解吸的影响[10-11],或者类似于煤层气藏只考虑了基质系统的吸附解吸,忽略了页岩内的游离气体[12-13]。笔者在前人研究的基础上建立同时考虑游离气和吸附气两种储集方式并存的页岩气藏渗流模型,讨论吸附解吸特性对压裂水平井井底压力及产能的影响,以及Langmuir参数的敏感性分析,为页岩气藏分段压裂水平井开采的压力动态特征、效果评价以及产能预测奠定理论基础。

1 考虑吸附解吸过程的点源解

1.1 双重介质渗流方程的建立

大部分页岩气藏压裂改造后天然裂缝开启,页岩基质属于典型的低孔低渗介质,假定页岩气藏由基质系统和天然裂缝系统构成,满足双重介质模型的页岩气藏基本假设:①页岩基质表面吸附有大量的甲烷气体,且气体的吸附量与压力满足Langmuir等温吸附公式;②基质系统中气体以游离相和吸附相形式共存,压力下降时气体排出包括游离气膨胀和吸附气解吸两部分;③基质系统渗透率极低,一般只有几百个纳达西,故不考虑基质内部的流动;④天然裂缝系统内气体主要以游离相的形式出现,是气藏主要运移通道,遵循达西渗流规律;⑤基质系统与天然裂缝系统之间服从拟稳态窜流过程;⑥页岩气藏温度恒定不变。为了方便,采用国际标准单位进行推导,结果讨论部分采用油藏工程的矿场实用单位制。建立页岩气藏双重介质模型的渗流方程为

式中,ρi为气体的密度(i=m,f分别代表基质系统和天然裂缝系统),kg/m3;Z为气体压缩因子;Mg为气体的摩尔质量,kg/mol;pm和pf分别为基质和天然裂缝系统的压力值,Pa;R为理想气体常数,R= 8.314 J/(K·mol);T为油藏温度,K;φf和φm分别为天然裂缝和基质系统的孔隙度;kf为天然裂缝系统的渗透率,m2;μ为气体的黏度,Pa·s;Qp为基质向天然裂缝的窜流量,kg/(m3·s);Qads为页岩基质单位骨架体积的甲烷吸附量,kg/m3;t为时间,s。

式中,Ct为综合压缩系数,Pa－1;α为窜流的形状因子,m－2;ρs为基质骨架的密度,kg/m3;VL为Langmuir体积,m3/kg;Vstd为气体在0.101 325 MPa、273 K下的摩尔体积,m3/mol。

其中,双重介质模型中气体拟稳态窜流量[14]化简过程为

假定页岩基质单位骨架的甲烷吸附量满足Langmuir等温吸附公式[15],即

随着页岩基质内压力降低,单位骨架体积在单位时间内的气体解吸量为

1.2 双重介质点源解

定义无因次变量为

式中,L为参考长度,m。

定义参数β,表示单位时间内由于基质压力降低,基质骨架吸附解吸气量与游离气弹性能释放量的比值,即

在计算过程中参数β采用上一步的基质压力值,因此,对于某一具体时间步参数β值已知。

根据渗流方程(2),建立页岩气藏中无限大点源的无因次化数学模型为

类比于Ozkan[16-17]双重介质油藏Laplace空间点源解求解方法,可得到页岩气藏考虑吸附解吸时Laplace空间裂缝系统的点源解为

2 水平井多段压裂改造后的解析解

一般页岩气藏为自生自储式构造,故物理模型假设为盒状封闭油藏中的一口水平井,均匀压开Nf条人工裂缝,无因次参考长度L取值为水平井段长度,则无因次裂缝半长为LfD,无因次油藏尺寸为xeD×yeD×h。建立的双重介质模型为双孔单渗模型,基质系统向天然裂缝系统窜流,天然裂缝系统气体首先流入人工裂缝,再流入水平井井底。为了得到多段压裂水平井井底压力解,首先计算盒状油藏单条人工裂缝的压降解。

2.1 单条裂缝的井底压降解

由页岩气藏Laplace空间无限大地层点源解公式(11),首先通过z方向的镜像映射消除上下边界的影响,利用叠加原理得到上下封闭、四周无限大点源的压力解为

假定单条裂缝面为均匀流量模型,对盒状油藏点源在裂缝面进行积分,其中x方向从(xwD－LfD)到(xwD+LfD),z方向为(zwD－hwD/2)到(zwD+ hwD/2),得到盒状油藏不完全穿透情况下单条裂缝内产生的压降解为

2.2 多条裂缝的压降解

分段压裂水平井定产量生产假定总产量为Qtotal,则对于分段压裂水平井定义无因次压力值为

由于各条裂缝内部为均匀流量,则各条裂缝的产量为qfj=(2LfDhwD~q)fj,无因次裂缝流量为qfDj= (2LfDhwD~q)fj/Qtotal。考虑多条裂缝间的干扰,由于各条裂缝的产量变化,变产量时在Laplace空间地层中任意一点压力降采用Duhamel原理[19],第i条裂缝中心由Nf条人工压裂裂缝引起的无因次压力降可表示为

页岩气藏中压裂水平井求解过程为:首先根据参数定义公式(5),根据上一步页岩基质的压力值计算参数值,代入公式(8)计算u值;根据公式(17)计算各裂缝处所产生的压降分布,得到方程组(19)的系数,求解该方程组可得到页岩气藏各条裂缝及井底处在Laplace空间的流量值和压力值,再利用Stehfest数值反演[18]得到实空间的压力及各条裂缝的产量值;最后利用公式(8)计算页岩基质压力值,循环计算下一时间步的裂缝处流量及压力值。

2.3 产能计算及考虑井筒存储和表皮系数

上述计算的水平井井底压力并没有考虑井筒存储和表皮系数的影响。在Laplace空间利用Duhamel原理,引入无因次井筒存储系数CD和总表皮系数St[19],得到Laplace空间解的关系式为

在计算过程中,首先利用方程组(19)得到压裂水平井Laplace空间井底压力值,利用式(20)附加上井筒存储和表皮系数的影响,借助Stehfest数值反演得到考虑井筒存储和表皮系数的井底压力解。

其次,在Laplace空间定井底流压生产时的产量可通过定产量生产时井底压力值[20]得到

3 考虑吸附解吸特性时压力及产能动态分析

为了研究页岩气藏考虑吸附解吸特性下压力及产能的动态变化,页岩气藏基本参数为:气藏初始压力po=10 MPa,定产气量生产q=10000 m3/d,天然裂缝系统渗透率kf=5×10－3μm2,基质系统渗透率km=1×10－6μm2,油藏厚度h=20 m,窜流系数λ=5,弹性储能比ω=0.1,基质系统孔隙度φm= 0.05,天然裂缝系统孔隙度φf=0.005,甲烷气体的压缩系数Cg=8.217×10－2MPa－1,甲烷的摩尔质量Mg=0.016 kg/mol,甲烷的摩尔体积Vstd=0.02237 m3/mol,页岩密度ρs=2600 kg/m3,理想气体常数R =8.314 J/(K·mol),油藏温度T=323 K,水平井长度为1.0 km,xeD=yeD=20,油藏厚度hD=0.01,3条人工裂缝位于油藏中心,坐标为xwD=[10,10,10], ywD=[9.5,10.0,10.5],假设人工裂缝全部穿透储层,hwD=0.01。

3.1 吸附解吸特征对页岩气藏动态的影响

分别计算不考虑吸附解吸特性(β=0)和考虑吸附解吸特性时压裂水平井动态特征,页岩气藏的基本参数同上,取页岩对甲烷气体的Langmuir吸附体积VL=8×10－4m3/kg,Langmuir吸附压力pL=5 MPa,则该页岩气藏的吸附等温曲线如图1所示。

图1 页岩气藏Langmuir吸附等温曲线Fig.1 Langmuir adsorption isotherm curve in shale gas reservoir

由Langmuir吸附等温公式(4)可知,Langmuir体积对应页岩对甲烷气体的最大吸附量,一般难以达到,而Langmuir压力则表示当吸附量对应0.5倍Langmuir体积时页岩储层的压力值,Langmuir体积越大则页岩对甲烷气体的吸附能力越强,同时Langmuir压力越大,页岩的吸附能力也越强。在此页岩储层条件下分别计算定产量生产时水平井的压力动态如图2所示,定井底流压生产时水平井的产量动态如图3所示。

图2 考虑和不考虑吸附解吸下压力与压力导数曲线Fig.2 Pressure and pressure derivative curves of whether considering adsorption and desorption or not

由图2可知,由于在页岩气藏中只是在基质中考虑了吸附解吸过程,因此在定产量生产早期,主要为天然裂缝内气体向井底流动,吸附解吸过程对压力和压力导数没有影响;当天然裂缝与基质发生窜流后,由于基质中吸附解吸气体的补充,考虑吸附解吸过程后所需的压降值比不考虑时要小,并延缓了压力波传播到边界的时间;同时压力导数的双重介质特征凹槽更加明显,说明考虑吸附解吸后,增加了基质系统的弹性储层,减小了裂缝系统的弹性储能比,因此在压力导数曲线上的凹槽下凹更加明显。

与压力响应结果类似,生产初期考虑吸附解吸与不考虑吸附解吸产能相同,基质与天然裂缝发生拟稳态窜流后,考虑吸附解吸过程压裂水平井产量更大,稳产生产的时间也越长,取无因次产量0.1为基准点,考虑与不考虑吸附解吸过程达到的无因次时间分别约为500和250,相当于稳产时间延长为原来的2倍,因此页岩气藏生产过程中,吸附解吸气量是页岩气产量的有力补充。为了说明吸附解吸气量,参数值的变化如图4所示。

图3 考虑和不考虑吸附解吸下产量曲线Fig.3 Rate decline responses of whether considering adsorption and desorption or not

图4 参数β随时间的变化Fig.4 Varation of parameter β with time

由图4可见,随着时间的增加,参数β在很长一段时间内保持在一定水平,约等于1.28,由于β表示单位时间内由于基质压力降低吸附解吸气量与游离气弹性能释放量的比值,因此基质中释放的气量中,吸附解吸气量所占比例约为β/(β+1)= 56.14%,即页岩气藏生产过程中吸附解吸气量占有较大的比例,因此页岩气藏生产过程中必须考虑吸附解吸气体的影响。

3.2 Langmuir体积对压裂水平井动态的影响

页岩对甲烷的吸附量满足Langmuir吸附等温公式,在Langmuir压力不变的情况下,随着Langmuir体积VL的增大,页岩对甲烷的吸附能力增强。为了研究页岩Langmuir体积对压裂水平井压力及产量的影响,在Langmuir压力pL=5 MPa一定的情况下,不同Langmuir体积VL值下吸附等温曲线如图5所示。可见随着Langmuir体积的增大,同一基质压力下页岩对甲烷的吸附能力增强,且随着基质压力的增加,增幅越来越大。其他参数同上,分别计算定产量生产时压力及压力导数曲线以及定井底流压生产的产量曲线如图6和7所示。

图5 不同Langmuir体积下吸附等温曲线Fig.5 Langmuir adsorption isotherm curves with different Langmuir volume

由图6可见,Langmuir吸附体积越大,发生窜流后所需压差越小,压力波传播到边界的时间越晚,说明页岩的吸附解吸能力越强,在定产量生产条件下,降低了井底所需的压力差,延缓了压力波传播的速度;其次,Langmuir吸附体积越大,窜流过程压力导数曲线下凹越明显,但对发生窜流的时间并无影响,说明页岩吸附解吸能力越大,页岩基质的弹性储能越大,即天然裂缝的弹性储能比越小,但对窜流能力并没有影响;最后,随着Langmuir吸附体积线性增大,对水平井影响幅度越来越小,主要是由于页岩基质的吸附能力随Langmuir吸附体积的线性增大,但增加幅度逐渐变小。

图6 不同Langmuir体积下压力与压力导数Fig.6 Pressure and pressure derivative responses affected by Langmuir absorption volume

由图7可见,Langmuir吸附体积越大,发生窜流以后的产能越大,页岩气藏稳产时间也越长;同时随着Langmuir吸附体积线性增加,即页岩的最大吸附能力线性增加,页岩气藏的产能增加幅度减小,同时稳产时间的增加幅度也减小。

图7 不同Langmuir体积下动态产能曲线Fig.7 Rate decline responses affected by Langmuir absorption volume

3.3 Langmuir压力对压裂水平井动态的影响

在Langmuir体积VL=8×10－4m3/kg不变的情况下,不同Langmuir压力pL下的吸附等温曲线如图8所示。在Langmuir体积一定的情况下,随着Langmuir压力增大,页岩对甲烷的吸附量减小,但最大吸附量相同;在基质压力一定的情况下,随Langmuir压力线性增加,页岩吸附解吸能力降低幅度减小。

图8 不同Langmuir压力下吸附等温曲线Fig.8 Langmuir adsorption isotherm curves with different Langmuir pressure

其他参数同上,分别计算定产量生产时压力及压力导数曲线以及定井底流压生产的产量曲线如图9和10所示。由图9和图10可见,随着Langmuir压力pL线性增加,对压力和产能的影响并非线性变化,其中Langmuir压力pL=5和8 MPa时吸附量小于pL=2 MPa时的吸附量,但定产量生产所需压差更小,产能越大稳产时间越长,同时Langmuir压力由5 MPa增加到8 MPa,对压力及产能的影响不明显,主要是由于地层初始压力为10 MPa,开采过程中基质压力逐渐减小,随基质压力的减小页岩吸附量减小,且减小幅度随Langmuir压力的增大而逐渐增大,故Langmuir压力为5和8 MPa时定产量生产时间越长,产能越大稳产时间越长,吸附量斜率变化不大,因此Langmuir压力由5 MPa增加到8 MPa时压力及产能的变化不明显,Langmuir吸附压力对页岩气藏水平井动态的影响必须结合地层压力和Langmuir吸附等温曲线进行分析。

图9 不同Langmuir压力下压力与压力导数Fig.9 Pressure and pressure derivative responses affected by Langmuir absorption pressure

图10 不同Langmuir压力下动态产能曲线Fig.10 Rate decline responses affected by Langmuir absorption pressure

4 结 论

(1)页岩气藏开采过程中,基质内吸附解吸气量所占比例(β/(β+1)=56.14%)较大,因此页岩气藏必须考虑吸附解吸特征的影响。

(2)吸附解吸过程对分段压裂水平井压力和产能的影响表现在基质与天然裂缝发生窜流后,且考虑吸附解吸过程后,水平井定产量生产所需的压降值比不考虑时要小,压力波到达边界的时间更晚,压力导数曲线凹槽更加明显;同时考虑吸附解吸过程后,页岩气藏压裂水平井产能越大,稳产时间越长,约为不考吸附解吸时稳产时间的2倍。

(3)Langmuir吸附体积越大,页岩气藏发生窜流后定产量生产所需压差越小,压力波传播到边界越晚,压力导数曲线下凹越明显,考虑吸附解吸后定井底流压生产时压裂水平井产能越大,稳产时间也越长;随着Langmuir吸附体积线性增大,页岩气藏压裂水平井压力影响幅度逐渐减小,产能增加幅度也减小。

(4)Langmuir吸附压力线性增加,对压力和产能的影响并非线性变化,需要根据地层压力并结合吸附等温曲线的变化趋势进行具体分析。

[1] U.S.Energy Information Administration.World shale gas resources:an initial assessment of 14 regions outside the United States[M].Washington:U.S.Department of Energy,2011.

[2] 陈尚斌,朱炎铭,王红岩,等.中国页岩气研究现状与发展趋势[J].石油学报,2010,31(4):689-694.

CHEN Shangbin,ZHU Yanming,WANG Hongyan,et al.Status and trends of shale gas in China[J].Acta Petrolei Sinica,2010,31(4):689-694.

[3] PAUL Stevens.The shale gas revolution:developments and changes[R].London:Chatham House,2012.

[4] HILL D G,NELSON C R.Gas productive fractured shales:an overview and update[J].Gas Tips,2000,6 (2):4-18.

[5] VERMYLEN John P.Geomechanical studies of the barnett shale[D].Texas,USA:Stanford University,2011.[6] 陈霞,刘洪林,王红岩,等.沁水盆地含水煤层气藏的气体渗流特性[J].石油学报,2011,32(3):500-503.

CHEN Xia,LIU Honglin,WANG Hongyan,et al.Gasseepage characteristics of coalbed reservoirs with different water saturation in the Qinshui Basin[J].Acta Petrolei Sinica,2011,32(3):500-503.

[7] JAVADPOUR Farzam,FISHER D,UNSWORTH M.Nanoscale gas flow in shale sediments[J].Journal of Canadian Petroleum Technology,2007,46(10):55-61.

[8] ROBERT G L,ROBERT M R,STEPHEN C R,et al.Morphology,genesis,and distribution of nanometer-scale pores in siliceous mudestones of the mississippian Barnett shale[J].Journal of Sedimentary Research,2009,79: 848-861.

[9] 崔思华,班凡生,袁光杰.页岩气钻井完井技术现状及难点分析[J].天然气工业,2011,31(4):1-4.

CUI Sihua,BAN Fansheng,YUAN Guangjie.Status and challenges of global shale gas drilling and completion[J].Natural Gas Industry,2011,31(4):1-4.

[10] 孙海,姚军,廉培庆,等.考虑基岩向井筒供液的压裂水平井非稳态模型[J].石油学报,2012,33(1): 117-122.

SUN Hai,YAO Jun,LIAN Peiqing,et al.A transient reservoir/wellbore couping model for fractured horizontal wells with consideration of fluid inflow from base rocks into wellbores[J].Acta Petrolei Sinica,2012,33(1): 117-122.

[11] RBEAWI S A,TIAB D.Transient pressure analysis of a horizontal well with multiple inclined hydraulic fractures using type-curve matching[R].SPE 120540,2012.

[12] 李建秋,曹建红,段永刚,等.页岩气井渗流机理及产能递减分析[J].天然气勘探与开发,2011,34 (2):34-37.

LI Jianqiu,CAO Jianhong,DUAN Yonggang,et al.Seepage mechanism and productivity decline of shale-gas well[J].Natural Gas Exploration&Development, 2011,34(2):34-37.

[13] GUO Jingjing,ZHANG Liehui,WANG Haitao.Pressure transient analysis for multi-stage fractured horizontal wells inshale gas reservoirs[J].Transp Porous Med, 2012,93(3):635-653.

[14] 李笑萍,赵子刚.真实气体在裂缝性气藏内流动问题的精确解[J].石油学报,1993,14(2):81-89.

LI Xiaoping,ZHAO Zigang.Analytical solution of the flowing equation in a fractured gas reservoir with real gas flow[J].Acta Petrolei Sinica,1993,14(2):81-89.

[15] CIVAN C S,RAIS C H.Shale-gas permeability and diffusivity inferred by improved formulation of relevant retention and transport mechanisms[J].Transp Porous Med,2010,86(3):925-944.

[16] OZKAN E,RAGHAVAN R.New solutions for well test analysis problems:part 1-an anlytical considerations [J].SPE Formation Evaluation,1991,6(3):359-368.[17] OZKAN E,RAGHAVAN R.New solutions for well test analysis problems:part 2-computational considerations and applications[J].SPE Formation Evaluation,1991, 6(3):369-378.

[18] 同登科,陈钦雷.关于Laplace数值反演Stehfest方法的一点注记[J].石油学报,2001,22(6):91-92.

TONG Dengke,CHEN Qinlei.A note on the Laplace numerical inversion Stehfest method[J].Acta Petrolei Sinica,2001,22(6):91-92.

[19] 姚军,李爱芬.单孔隙介质渗流问题的统一解[J].水动力学研究与进展:A辑,1999,14(3):317-324.

YAO Jun,LI Aifen.General solutions for seepage flow in single porous medium[J].Journal of Hydrodynamics (ser A),1999,14(3):317-324.

[20] NIE Renshi,MENG Yingfeng,JIA Yongfu,et al.Dual porosity and dual permeability modeling of horizontal well in naturally fractured reservoir[J].Transp Porous Med,2012,92(1):213-235.

(编辑 李志芬)

Transient flow model of stage-fractured horizontal wells in shale gas reservoirs

FAN Dongyan1,2,YAO Jun2,SUN Hai2,XIE Yinwu3,ZENG Hui2,ZHANG Kai2
(1.Mobile Post-Doctoral Stations,School of Geoscience in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China; 2.School of Petroleum Engineering in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China; 3.The 3rd Oil Production of Changqing Oilfield Company,Yinchuan 750005,China)

Considering the coexistence of adsorbed gas and free gas in shale gas reservoir,a mathematical transient flow model incorporating gas desorption process was established based on dual porosity gas reservoir model.A new parameter was defined to represent the ratio of gas production from desorbed gas to that from free gas in matrix system.The analytical point source solution of shale gas reservoir was solved in Laplace space,and the bottom-hole pressure of multi-stage fractured horizontal well with constant rate was obtained by superposition.Then the impacts of wellbore storage and skin factor on well production performance were evaluated and the rate decline response at constant bottom hole pressure was investigated.The results show that a large portion of gas production comes from desorbed gas.When gas desorption in shale matrix is considered, lower draw down pressure is required to achieve constant production rate for those fractured horizontal wells,it takes longer time for the pressure front reaching boundary,and the pressure derivative curve shows more obvious groove.If the fractured well is produced under constant bottom hole pressure condition,higher gas production rate and lower decline rate can be achieved.The results also show that the bigger the Langmuir absorption volume is,the slower the pressure front propagates,and the deeper the groove shows on the pressure derivative curve.But the Langmuir absorption pressure impact must be analyzed with both matrix pressure and Langmuir adsorption isotherm curve.

shale gas reservoir;Langmuir adsorption isotherms;fractured horizontal well;point source solution;transient flow

TE 332

A

1673-5005(2014)05-0116-08

10.3969/j.issn.1673-5005.2014.05.016

2013－11－21

国家自然科学基金重点项目(51234007);国家科技重大专项(2011ZX05005－006－007HZ);中央高校基本科研业务费专项资金(14CX05025A);中国石油科技创新基金项目(2012D－5006－0207)

樊冬艳(1985－),女,博士,从事水平井及压裂水平井渗流理论及产能研究。E－mail:fandongyan2010@126.com。

樊冬艳,姚军,孙海,等.页岩气藏分段压裂水平井不稳定渗流模型[J].中国石油大学学报:自然科学版, 2014,38(5):116-123.

FAN Dongyan,YAO Jun,SUN Hai,et al.Transient flow model of stage-fractured horizontal wells in shale gas reservoirs [J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2014,38(5):116-123.