浅谈用分类与整合的思想解高考数学题

罗海军

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）5-0243-02

考试说明明确指出高考试题在全面考查"基础知识、基本技能、基本方法"的基础上，更突出数学思想方法的考查，突出数学与现实生活的联系。高考主要考查以下七个基本数学思想方法：函数与方程的基本数学思想（通过函数题）、数形结合的基本数学思想（通过函数题，解析几何综合题，构造图形等）、分类与整合的基本数学思想（通过综合题，排列组合题，参数讨论题）、化归与转化的基本数学思想（通过综合题）、特殊与一般的基本数学思想（通过综合题）、有限与无限的基本数学思想（通过极限、微积分函数题）、或然与必然的基本数学思想（通过概率、统计题）。本文将结合高考试题探讨一下用分类与整合的思想解高考数学题。

一、什么是分类与整合的思想

分类与整合就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得出整个问题的解答。分类与整合就是"化整为零，各个击破，再积零为整"的数学思想。

二、数学题目怎么体现分类与整合的思想

参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型：一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。要处理好这类问题通常需要从以下几方面入手：第一，科学合理地分类。科学的分类满足两个条件：条件一是保证分类不遗漏；条件二是保证分类不重复。在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。第二，确定分类标准。在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：（1）根据数学概念来确定分类标准，例如：绝对值的定义是：a=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)。（2）根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准。数学中的某些公式、定理、性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。（3）根据运算的需要确定分类标准。

三、高考题中体现分类与整合的思想

题型一：（2013年全国卷）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)=2x-1+2x+a,g(x)=x+3。（Ⅰ）当a=2时，求不等式f(x)-1,且当x∈（-, )时，f(x)≤g(x),求a的取值范围。

评析：本题主要考查含绝对值不等式解法。利用绝对值的定义是：a=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)

进行分类讨论。显然当a=-2时，不等式f(x)

-5x,x<

-x-2,≤x≤1'

3x-6,x>1

画出图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，∴原不等式解集是x|0

题型二：（2010年四川高考题文科20）已知等差数列{an}的前3项和为6,前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=(4-an)qn-1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn。

（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知得3a1+3d=6

8a1+28d=-4。解得a1=3,d=-1，故an=3-(n-1) =4-n

（Ⅱ）由(Ⅰ)的解答可得bn=n·qn-1，于是Sn=1·q0+2·q1+3·q2+…+(n-1) ·qn-2+n·qn-1，当q≠1时，上式两边同乘以q可得qSn=1·q1+2·q2+3·q3+…+(n-1)qn-1+n·qn ，上述两式相减可得(q-1)Sn=nqn-1-q1-q2-…-qn-1=nqn-=

所以Sn=，当q=1时Sn=1+2+3+…+n=。

综上所述， Sn=

,q=1

,(q≠1)

评析：本题主要考查等比数列前n项和公式中的分类讨论思想。公式，说明在解这类问题时，如果q是可以变化的量，就要以q为标准进行分类讨论，而本题很多同学都忽视了讨论。

题型三：（广东文科高考题）设a>0,讨论函数f(x)=Inx+a(1-a)x2-2(1-a)x的单调性。

函数f(x)的定义域为（0，+∞）。

f'(x)= ,

当a≠1时，方程2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0的判别式△=12(a-1)(a-)

①当00，f'(x)有2个零点

且当0x2时，f'(x) >0，f'(x)在（0，x1）与（x2，+∞）内为增函数；

当x1

②当≤a<1时，△≤0，f'(x)≥0，f'(x)在（0，+∞）内为增函数；

③当a=1时，f'(x)=>0（x>0），f'(x)在（0，+∞）内为增函数；

④当a>1时，△>0，x1=>0，x2=<0，所以f'(x)在定义域内有唯一零点x1；

且当00，f'(x)在（0，x1）内为增函数；当x>x1时，f'(x) <0，f'(x)在（x1，+∞）内为减函数；

综上所述，f(x)的单调区间如下表：

（其中）

評析：该题题干非常简单，但从解答过程可以感知其复杂程度。本题是典型的根据运算的需要确定分类标准。通过以上三种题型我们可以知道分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性、严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想、函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。通常分类讨论的方法和步骤是第一，确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；第二，确定分类标准科学合理分类；第三，逐类进行讨论得出各类结果；最后归纳各类结论。