两层有限大小地层中多电极电流场分布

曹婷 郭涛 杨少波 陈斐

摘 要：本文先根据两层无限大导电媒质中恒定电流场的边界条件及回路电极处电位所满足的条件求出回路电极A、B处电流的解析解。再用COMSOL软件进行仿真，并将两者进行比较，验证了所推公式的正确性。

关键词：两层媒质；COMSOL Multiphysics软件；电流分布；多电极

1 引言

目前，在有限大小的导电媒质中，由恒定电流产生的电场只能通过三维模拟求得数值解，而没有具体的解析解。本文首先研究了两层无限大导电媒质的电流分布解析解，在用有限元数值软件进行模拟，通过计算和比较分析，总结出了两层有限大小地层中多电极的电流场分布。

2 两层导电媒质模型

图1为两层有限大小的导电媒质模型，在媒质的上面中心位置放置发射电极T，左侧上下两层媒质的表面分别放置回路电极A、B。

3 两层无限大导电媒质的解析解

当发射电极T与回路电极A、B导通时，发射电极发出电流I，并通过导电媒质全部流入回路电极A、B中，A、B处的电流分别记为IA、IB。其中I是給定的常数，IA、IB是待定的，随上下地层电阻率分布的变化而变化。

由电路基础可知，对于IA、IB的值，可通过地层电阻率分布变化时，模型满足的以下两个条件来确定：

⑴发射电极T发出的电流全部由回路电极A、B所吸收，故有电流之和为零，即IA+IB+I=0；

⑵回路电极A、B上的电位相等，即 。但因在无限大导电媒质中，由电位方程可知电极处的电位趋向于无穷大，而无法计算解析解，故本文在回路电极A、B附近分别取点P、Q，以P、Q点处的电位相等为条件代替回路电极A、B上的电位相等来研究模型中的电位分布并求解回路电极A、B的电流大小。

设上层与下层地层的电导率对比度 ，t从0.01变化到10，取I=1，（0，hT）=（0，0.5）、（xA，hA）=（0.5，0.25）、（xB，hB）=（0.5，-0.25），P、Q坐标分别为（0.4999、0.25）、（0.4999、-0.25）。根据以上推导的IA、IB表达式，采用Mat lab编程，并绘制出回路电极A、B处的电流大小，结果如图2所示。

4 数值仿真两层导电媒质中多电极电流场分布

比较图2和图3可知：

利用COMSOL软件数值计算的回路电极A、B处电流变化与解析解所求结果一致，说明了在同时存在多个电极的情况下，可采用分场叠加来求解恒定电流场中电流分布。也说明了用COMSOL软件建立有限大小的模型来模拟无限大地层中恒定电流场环境下的电流分布的有效性。

[参考文献]

[1]王勇，龙建忠，方勇，李军，编著.电路理论基础[M].北京：科技出版社.2005.105-109.

[2]晁立东，仵杰，王仲奕，编著.工程电磁场基础[M].西安：西北大学出版社.2001.60-63.