Prelec概率权重函数先验行为假设拓展

王金山，李伟兵

(陆军军官学院 a.基础部;b.研管大队2队，合肥 230031)

Prelec概率权重函数先验行为假设拓展

王金山a，李伟兵b

(陆军军官学院 a.基础部;b.研管大队2队，合肥 230031)

提出一种称为中值不变性的概率权重函数先验行为假设，提供一种推导Prelec概率权重函数的新方法，并给出更弱条件下满足中值不变性的定义。分析并阐述了中值不变性较已知的3种先验假设在可行性和可靠性两个方面的综合优势，其结论更容易被人们接受，对决策者有实际参考意义。至此，存在4种可推导出Prelec概率权重函数的先验行为假设。

前景理论;Prelec权重函数;先验行为假设拓展;中值不变性

期望效用理论被用于解决风险决策问题之后，因其严谨的公理体系和简洁的数学形式，很快成为风险决策理论的重要基石，然而在决策过程中并非偶然出现的一系列悖论对其提出了挑战。对此，Kahneman和Tversky［1］提出了著名的前景理论，试图对决策选择一系列问题中的异常现象做出合乎数理的解释。他们将人的决策过程分为编辑和评价两个阶段，提出了用权重函数和价值函数共同度量总体价值，具体来说是结果价值与决策权重的乘积。价值类似于效用理论中的效用值，决策权重是概率的函数，通过它描述概率在决策者决策心理过程中发挥的作用并度量其影响。因此，前景理论决策过程中Von Neumann－Morgenstern的公理体系不再适用。为了完善前景理论，Kahneman和Tversky［2］又提出了累积前景理论。累积前景理论通过累积概率替代个别概率的方法转换效用函数中的客观概率。他们思索决策者的风险态度有4种不同的类型:当结果出现的概率较大时，处于收益状态下决策者风险厌恶，损失状态则风险偏好;但当概率较小时，决策者的风险态度正好相反。Prelec在累积前景理论基础上发展了概率权重函数，并首次基于复合不变性假设推导出了一类概率权重函数，即Prelec概率权重函数，此后它被广泛用于前景理论决策中。

风险选择的先验行为假设对基本的决策模型有很大的影响，因此对先验行为假设的拓展研究是前景决策理论研究的热点。本文在复合不变性的基础上，提出一种称为中值不变性的先验行为假设，并提供一种推导Prelec概率权重函数的新方法。中值不变性更容易被人们接受，很好地拓展了先验行为假设。

1 基本假设

决策者在决策时会面对一系列结果和概率，用X表示所有结果构成实数结果集，P表示所有结果对应发生概率构成的概率集。假设决策者的偏好是通过价值函数u:X→R给定的，价值的大小决定决策者的偏好程度，对于任意x，y∈X，当且仅当u(y)＞u(x)时，y优于 x;当且仅当 u(y)= u(x)时，y与x无差异。若用(x，p)表示以概率为p得到结果x的事件;用((y，q)，p)表示以概率p得到(y，q)的事件;用(x，p;y，q)表示以概率p得到结果x并且以概率q得到结果y的事件，满足p +q≤1。假设决策者的概率权重函数是通过w:p→［0，1］给定的，函数w(p)在(0，1)上连续、单调递增，且满足w(0)=0，w(1)=1。

假设总体价值是通过总体价值函数U:(X，P)→R给定，是结果集X和概率集P的函数。当且仅当U(X，P)=U(Y，Q)时，(X，P)与(Y，Q)无差异，记作(X，P)～(Y，Q)。对于给定结果的价值函数u(x)以及概率权重函数w(p)，U(X，P)满足以下运算规则:

假设价值函数u(x)和概率权重函数w(p)在式(1)的运算规则下，构成前景理论中总体价值的表示方法。

2 现行概率权重函数先验行为假设

在前景理论研究领域，风险选择的先验行为假设对基本的决策模型有很大的影响，主要表现在概率权重函数的设置上。Prelec［3］首先基于复合不变性(compound invariance)假设导出了Prelec概率权重函数;Luce［4］提出了一种相对于复合不变性假设而言更为简单的还原不变性(reduction invariance);Al－Nowaihi和Dhami［5］在还原不变性基础上又提出了幂不变性(power invariance)。

2.1 复合不变性

定义1［3］若对于任意结果x，y∈X和概率p，q，r，s∈［0，1］，(x，p)～(y，q)和(x，r)～(y，s)同时成立，且对于任意结果x'，y'∈X，∀λ≥1，λ∈N+，若(x'，pλ)～(y'，qλ)成立，则(x'，rλ)～(y'，sλ)亦成立，则称概率权重函数w满足复合不变性。

Prelec的研究结果［3］显示复合不变性假设下的概率权重函数如式(2)所示，称式(2)的函数w为Prelec概率权重函数。

定理1［3］概率权重函数w满足复合不变性，当且仅当其是Prelec权重函数。

2.2 还原不变性

定义 2［4］若对任意结果 x∈X和概率p，q，r∈［0，1］，λ∈{2，3}，若((x，p)，q)～(x，r)成立，则((x，pλ)，qλ)～(x，rλ)亦成立，则称概率权重函数w满足还原不变性。

定理2［4］概率权重函数w满足还原不变性，当且仅当其是Prelec权重函数。

2.3 幂不变性

定义3［5］若对任意结果，p，q∈［0，1］，λ∈{2，3}，若((x，p)，p)～(x，q)成立，则((x，pλ)，pλ)～(x，qλ)亦成立;若(((x，p)，p)，p)～(x，q)成立时，则亦成立，则称概率权重函数w满足幂不变性。

定理3［5］概率权重函数w满足幂不变性，当且仅当其是Prelec权重函数。

3 中值不变性的拓展

本部分基于Prelec的复合不变性提出了区别于3种现行的不变性假设的一种新的先验行为假设，称之为中值不变性(Mid－value invariance)。首先给出函数中值和函数中值不变性的定义。

定义4 类似于p，q和r满足pr=q2，称q是p和r的几何中值;若p，q和r在函数 w下满足w(p)·w(r)=w2(q)，则称p是r和q在w(·)下的函数中值。

定义5 若q是p和r在w(·)下的函数中值，对∀λ≥1，λ∈N+，w(pλ)·w(rλ)=w2(qλ)亦成立，即qλ亦是pλ和rλ的函数中值，则称函数w满足函数中值不变性。

在定义1中，加入2个关于结果和概率的条件qλ和r=q后，可得到一种新的不变性假设，为便于定义1与定义4进行对比，记y'为z，记s为r，因函数w(p)满足定义5的函数中值不变性，故称此不变性为中值不变性。

定义6 若对任意结果x，y∈X和概率p，q，r∈［0，1］，(x，p)～(y，q)和(x，q)～(y，r)同时成立，若对∀λ≥1，λ∈N+，z∈X，(y，pλ)～(z，qλ)成立，则(y，qλ)～(z，rλ)亦成立，则称概率权重函数w满足中值不变性。

定理4 概率权重函数w满足中值不变性，当且仅当其是Prelec权重函数。

证明:根据定义6的已知条件，若概率权重函数w满足中值不变性，则有

对于式(12)，当且仅当G(Q)=βQα，α，β＞0才成立，式(12)整理后得

4 更弱条件的中值不变性

事实上，类似于还原不变形［4］和幂不变性［5］的更弱条件，在定义6中，概率权重函数满足中值不变性所需的条件是可以减弱的。

定理5 当λ=2，3时概率权重函数满足中值不变性，则对∃λ＞0，λ∈R+概率权重函数均满足中值不变性。

命题(21)的正确使得λ'=λ－1=2－k·3－l，可极大地拓展取值空间，通式为

在前文推导过程中k，l∈N+，由于命题(21)的成立使得k，l∈N，而Γ在正实数域R+上是稠密的［7］，因此可把Γ的取值拓展到正实数域R+内。证毕。

据此可得到较定义6条件更弱的定义7。

定义7 对任意结果x，y∈X和概率p，q，r∈［0，1］，(x，p)～(y，q)和(x，q)～(y，r)无差异关系同时成立，且对λ∈{2，3}，z∈X，成立，则亦成立，则称概率权重函数w满足中值不变性。

5 先验行为假设比较分析

先验行为假设的合理与否主要体现在可行性和可靠性2个方面。可行性包括结论的可行性;可靠性包括假设条件的可靠性和所得结论的可靠性。下文将就这2个方面进行分析，对比4种不同先验行为假设，并阐述中值不变性在先验行为假设可行性和可靠性的综合优势。

5.1 合理性分析

先验行为假设条件所需的概率为客观概率。事实上，有很多决策问题的客观概率不清楚或者不能通过实际的准确计算得到，因此决策过程中的概率多是凭经验或相关理论推断得到的主观概率，而主观概率存在不稳定性，这一点已被Ellsberg悖论完整体现并证明。故在先验行为假设所用的概率个数越多，其假设条件的可靠性就越低，条件不可靠又导致结论的可靠性较低。

在决策者看来，先验行为假设结论的可行性主要体现在所需结果个数和结论的复合阶数上。所需结果多，对应的概率个数亦增多，带来条件和结论的不可靠，故不适用;结果复合阶数越多，即伴随着(x)→(x，p)→((x，p)，q)的复合过程，不确定程度在不断增强，人们不会轻易做出这种假设。因此结论复合阶数越高的假设，其可行性越低。

5.2 4种不同先验行为假设比较分析

表1给出了复合不变性、中值不变性、还原不变性、幂不变性4种不同先验行为假设，在所需概率个数、所需结果个数以及结论复合阶数3个方面的对比。

表1 先验行为假设对比

对比分析可知:Luce把复合不变性发展成为还原不变性，虽然所需结果的个数减少到1个，却使得其结论增加为二阶的复合，可行性降低;Al－Nowaihi和Dhami把还原不变性发展到幂不变性，虽使其所需概率个数减少到2个，但其结果却要求为三阶复合，使得其可行性严重降低，且其需要两步复合，较还原不变性更加繁琐。因此，还原不变性、幂不变性假设因为其结果的复杂使得可行性降低;复合不变性要求4个结果，并对应4个概率，事实上与其可靠性相比很低。中值不变性结论为一阶复合且一步复合，具备了复合不变性的优势，其所需概率个数和还原不变性所需概率个数相等，可靠性较高。因此本文提出的中值不变性综合3种先验行为假设的优点，无论在可行性还是可靠性上都具优势。

6 结束语

本文就现行的先验行为假设不能同时满足较高程度可行性和可靠性的问题，介绍一种称为中值不变性的先验行为假设，提供一种推导Prelec概率权重函数的新方法，并得到了更弱条件下满足中值不变性的定义。通过4种先验行为假设之间的对比分析，阐述了中值不变性在可行性和可靠性2个方面的综合优势，便于决策者采用。其结论对决策者有实际参考意义。

［1］ Kahneman D，Tversky A.Prospect theory:an analysis of decisions under risk［J］.Econometrica，1979，47(2):263－291.

［2］ Tversky A，Kahneman D.Advances in prospect theory: Cumulative representation of uncertainty［J］.Journal of Risk and Uncertainty，1992，5(4):297－323.

［3］ Prelec D.The probability weighting function［J］.Econometrica，1998，66:497－527.

［4］ Luce R D.Reduction invariance and Prelec’s weighting functions［J］.Journal of Mathematical Psychology，2001，45(1):167－179.

［5］ Al－Nowaihi A，Dhami S.A simple derivation of Prelec’s probability weighting function［J］.Journal of Mathematical Psychology，2006，50(6):521－524.

［6］ Aczel J.Lectures on functional equations and their applications［M］.New York:Academic Press，1966.

［7］ Bleichrodt H，Kothiyal A，Prelec D，et al.Compound invariance implies prospect theory for simple prospects［J］.Journal of Mathematical Psychology，2013，57(3):68－77.

(责任编辑 刘 舸)

Development of Prior Behavior Assumption for Prelec’s Probability Weighting Function

WANG Jin－shana，LI Wei－bingb
(a.Department of Basic Theories;b.No.2 Team of Graduate Management Unit Army Officer Academy，Hefei 230031，China)

We introduce a new prior behavior assumption named mid－value invariance，provide a simpler derivation of Prelec’s probability weighting function，and obtain a weaker condition for definition.We have analyzed and stated its advantages both on feasibility and reliability，so the new conclusion has the reference significance in practice.Thus far，we have four different priori behavioral assumptions all leading to Prelec’s function.

prospect theory;Prelec’s probability weighting function;development of prior behavior assumption;mid－value invariance

C931.1

A

1674－8425(2014)07－0132－05

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.07.026

2014－03－21

王金山(1962—)，男，安徽亳州人，教授，主要从事预测与决策分析方面的研究;通信作者 李伟兵(1990—)，男，河南许昌人，硕士研究生，主要从事预测与决策分析方面的研究。

王金山，李伟兵.Prelec概率权重函数先验行为假设拓展［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2014(7): 132－136.

format:WANG Jin－shan，LI Wei－bing.Development of Prior Behavior Assumption for Prelec’s Probability Weighting Function［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(7):132－136.