齿轮传动系统在随机激励下的响应分析

张转周，鲍春梅，代珊妮，吴祥标

(1.遵义师范学院数学与计算机科学学院，贵州遵义 563002; 2.中国建设银行甘肃分行金城支行，兰州 730070)

齿轮传动系统在随机激励下的响应分析

张转周1，鲍春梅2，代珊妮1，吴祥标1

(1.遵义师范学院数学与计算机科学学院，贵州遵义 563002; 2.中国建设银行甘肃分行金城支行，兰州 730070)

基于齿轮啮合原理及随机振动理论，在不考虑齿面摩擦的情况下，采用集中质量法，建立直齿圆柱齿轮传动系统4自由度的简化模型。在该模型中，由于参数的随机扰动和随机激励的存在，使得确定性的系统变为随机系统。针对系统中随机参数作用的特点，建立新的齿轮系统非线性模型，研究随机参数下齿轮传动系统的响应和随机外激励下系统的响应，并结合MATLAB软件对齿轮传动系统的响应进行了仿真分析。

齿轮系统;非线性模型;随机激励;时变啮合刚度;齿侧间隙;阻尼比

作为一种最常用的传动机构，齿轮系统的振动直接影响机械系统的性能和工作可靠性。而在该系统的加工和装配过程中，由于受到各种随机因素的影响，啮合刚度、阻尼等参数具有随机性，使得确定性的系统演变为随机系统［1-6］。同时，随机系统的振动特性不能用确定的时间函数表达，只能用概率统计的方法研究其规律［7-9］。对此，本文主要考虑齿轮系统的时变啮合刚度、阻尼比、齿侧间隙等参数随机变动时，齿轮非线性动力系统的动态特性。

1 齿轮系统模型的建立

在不考虑齿面摩擦的情况下，采用集中质量法建立直齿圆柱齿轮副的啮合耦合型动力学模型，如图1所示。

图1 动力学模型

该模型是一个二维平面振动模型，具有4个自由度，分别为主、被动齿轮绕旋转中心的转动自由度和Y方向的平移自由度，表示为{yp，θp，yg，θg}T。其中:Rp，Rg;Tp，Tg;I1，I2分别表示主、被动齿轮的半径、转动平移振动刚度系数;e为齿轮的静态传递误差。根据牛顿第二定律，可得到图1所示的系统运动微分方程:

如果假设x(t)=yp+Rpθp(t)-yg+ Rgθg(t)-e(t)，即为本文所研究的系统中齿侧间隙x≤1的情形，因此上述模型在啮合线方向上写成矩阵形式为:

其中:［M］表示系统质量矩阵;［C］表示阻尼矩阵; ［K］表示刚度矩阵。

此方程是含有随机参数和随机激励的动力学方程。齿轮系统的随机荷载{F}与综合啮合刚度、阻尼和静态传递误差e有关，因此{F}可以分解为Fk+Fc+Fe，Fk表示由啮合刚度kc引起的轮齿啮合力，Fc表示由阻尼cm引起的啮合力，Fe表示由误差引起的轮齿内部啮合力，因此方程表达式变为

2 模型的分析

由于齿轮传动系统的工作状态极为复杂，不仅存在多种荷载工况和动力装置，还会出现由原动机或负载方面引入的外部激励，通常我们称之为荷载，本文中用Fah表示。因此，式(1)方程最终表示为

3 参数激励下齿轮系统的响应分析与模拟

3．1 随机刚度激励

由文献［4］可知，在确定参数系统工作状态下，算得无量纲参数分别为ξ=0．02，cε=0．2，e= 0．002，b=0．005。若齿轮系统的无量纲阻尼、间隙、静态误差的幅值都是随机变量，假定各随机变量均服从正态分布，其均值和方差的取值如表1所示。

表1 各随机变量的均值和方差

由于参数的随机性，使得振动响应也将带有随机性，采用非线性系统数值逐步积分的Runge-Kutta法对系统动力微分方程进行求解计算，对该状态进行随机参数振动的数值模拟得到响应时间历程如图2所示。

图2 不同啮合频率的随机系统振动响应时间历程

从仿真效果可以看出:随着啮合频率的变化，在周期振动点，随机参数系统的响应幅值变化不大，随着频率的增大，随机参数系统会产生失效振幅，从而破坏整个系统，最终影响系统的可靠性。

3.2 随机阻尼激励

对于随机参数齿轮传动系统，啮合刚度具有周期性，取齿轮啮合系数Cε=0．2，固定内激励频率ωc=1．0，Fm=0．1，e=0．002，b=0．005，若齿轮系统的啮合频率、间隙、静态误差的幅值都是随机变量，并假定各随机变量均服从正态分布，其均值和方差取值如表2所示。

表2 各随机变量的均值和方差

采用非线性系统数值逐步积分的Runge-Kutta法进行系统动力微分方程的求解计算，对该状态进行随机参数振动的数值模拟得到响应时间历程如图3所示。

图3 随机阻尼激励的随机系统振动响应时间历程

4 结论

1)在系统中其他参数给定的情况下，通过仿真分析发现:在周期振动点，参数激励虽然使得系统的周期振动响应变为随机振动，但是对系统振幅的影响不大;随着啮合频率的增大，随机参数系统会产生失效振幅，从而破坏整个系统。

2)对于确定性齿轮传动系统，随着阻尼比的逐渐增大，系统的振动周期没有发生变化，而振幅却明显地衰减，最后趋于稳定状态。这说明参数的扰动对随机系统的振动频率、振动幅值以及系统的稳定性都有很大的影响。

［1］李润方，王建军.齿轮系统动力学:振动、冲击、噪声［M］.北京:科学出版社，1997.

［2］Kahraman A，Singh R.Nonlinear dynamics of a spur gear pair［J］.Journal of Sound and Vibration，1990，142(1): 49-75.

［3］Velex P，Ajmi M.On the Modeling of Excitations in Geared System by Transmsion Errors［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，209(3):882-909.

［4］Wei Lujian，LingZeng Fan.Influences of stochastic perturbation of parameters on dynamic behavior of gear system［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2011，25(7):1667-1673.

［5］LIU Haixia，WANG Sanmin，GUO Jiashun.Solution Domain Boundary Analysis Method and Its Application in Parameter Spaces of Nonlinear Gear System［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，24(3).

［6］唐进元，陈思雨，钟掘.一种改进的齿轮非线性动力学模型［J］.工程力学，2008，25(1):217-223.

［7］邱峻.基于遗传算法的特种齿轮传动系统优化设计［J］.四川兵工学报，2012(2):68-70，72.

［8］陈殿华，张国庆.考虑弹流润滑的WN齿轮副非线性振动分析［J］.润滑与密封，2013(11):5-8.

［9］邓雷，宋立权.斜齿圆柱齿轮传动的弹性动力学仿真分析［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2013(1): 22-26.

(责任编辑 何杰玲)

Dynamic Response of Gear System with Time-varying under Random Excitation

ZHANG Zhuan-zhou1，BAO Chun-mei2，DAI Shan-ni1，WU Xiang-biao1
(1.School of Mathematics and Computer Science，Zunyi Normal University，Zunyi 563002，China; 2.Gansu Sub-bank of China Construction Bank，Lanzhou 730070，China)

A four freedom degrees mathematical model of cylinder gear transmission system is built using the lumped mass method，based on gear meshing theory and random vibration theory，but tooth surface friction is not considered.In this model，due to the stochastic parameters and random excitations，it has made the uncertainty system into stochastic system.A new model of the nonlinear gear system is established，aiming at the characteristics of random parameters in the system.So the dynamic response of gear transmission system with stochastic parameters and random excitations system has been researched and analyzed.And a simulation method which combines with MATLAB software is carried out to research the response of gear transmission system.

gear system;nonlinear model;random excitation;time-varying mesh stiffness;gear backlash;damping ratio

TH13

A

1674-8425(2014)08-0050-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.08.011

2014-02-18

贵州省科技厅联合基金资助项目(黔科合J字LKZS［2014］30号)

张转周(1984—)，男，甘肃静宁人，硕士，主要从事齿轮传动研究。

张转周，鲍春梅，代珊妮，等.齿轮传动系统在随机激励下的响应分析［J］.重庆理工大学学报:自然科学版，2014(8):50-54.

format:ZHANG Zhuan-zhou，BAO Chun-mei，DAI Shan-ni，et al.Dynamic Response of Gear System with Timevarying under Random Excitation［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014 (8):50-54.