非齐次单个守恒律有限时间产生单个激波

陈雯

摘 要：对于凸的非齐次单个守恒律 其中初始条件u0（x）在有界区域的左边取常数u_，右边取常数u+，。u_?u+我们将证明初值问题的解会在有限时间内形成单个激波。证明过程涉及到与具有分片常数初值的解进行比较，同时单个激波的出现会受到稀疏波的影响。

关键词：守恒律；广义特征线；激波

1 引言

对于齐次的单个守恒律

其中流函数 是光滑凸的：f'?0。对于L∞初值u0（x），当x?x_时，u0（x）取常数u_；当x?x+时，u0（x）取常数u+，其中u_?u+，x_?x+。对此，我们已经知道，弱解在有限时间内收敛到连接到的单个激波而组成的分片常数解。

本篇论文的目的是证明非齐次单个守恒律特殊模型

也有一个相似的结果。证明将涉及到广义特征线的应用。

2 预备知识

我们先考虑一般的平衡律

并作出这样的假设：源项g是一个正的且为严格增的C1函数；流项f是一个增的且为严格凸的C2函数。

为了方便以后的求解，我们引入一些正函数：

则F，H是严格增函数。这样，F的反函数也是一个严格增的 C1函数，记其为G，则有

下面我们介绍守恒律方程（2.1）（2.2）广义特征线的一些基本概念和性质。

定义2.1 定义在区间[a，b]上的一条Lipschitz曲线称为问题（2.1）（2.2）的特征线，如果对几乎所有的t∈[a，b]，在分布意义下满足方程

这里是根据Fillippov在分布意义下提出的一种定义，即满足

对任意的 ，至少存在一条定义在最大存在区间 （其中 ）上的后向广义特征线 ，使得 在（x，t）平面上所有从点 出发的无数条后向广义特征线都限制在最小和最大后向广义特征线所张成的一个锥形区域之中，如图2.1所示：

记最小和最大特征线分别为 和 。

定理2.2 设 是（2.1）的真正特征线，则存在一个函数 使得函数对 满足

并且对几乎所有的t∈（a，b），

證明：可直接由定理2.2中的式（2.8）得出。

问题（2.1）（2.2）存在唯一的从任意一点 中出发的前向特征线 。此外，如果 ，则对任意 。并且

这就是说若原方程的解在前向特征线的某点 形成间断，则前向特征线沿激波线传播且称 是激波的生成点，而经过点 的后向特征线是真正特征线。

引入这些之后，我们设u是问题（2.1）（2.2）的一个可容许解，固定上半平面中一点（x，t），设ξ是从（x，t）出发的最大或最小后向特征线 。利用函数F，G，H的性质对（2.1）积分，可得

3 主要结果

考虑以下初值问题

其中 都是常数。我们将会证明初值问题（3.1）（3.2）的解会在有限时间内产生单个激波。为了得出这一结果，我们将解u（x，t）与具有特殊初值问题的解 进行比较，其中特殊初值问题的初始条件是

这里um，uM，xc待定，满足

它们之后将由u0来确定。很显然激波S_，S+分别从点（x_，0），（x+，0）发出，（xc，0）产生中心稀疏波。则我们得到如下结果。

定理3.1 满足 的初值问题（3.1）（3.3）的解在有限时间内产生激波。

证明：对于任意的y_?x_和y+?x+，从点（y_，0），（y+，0）分别作最小特征线y_（t）和最大特征线y+（t）。由（2.15）知，特征线的表达式为

由（2.13）可知

将（3.5）（3.6）相减，我们得到一个关于 的单个方程

于是

对（3.8）式求导，利用中值定理得

其中 介于v（t），w（t）之间，由（2.13）

另一方面，v（t），w（t）满足

解常微分方程（3.12）（3.13）得，

故

其中C是某一正常数。因此，由（3.9）（3.15）不难得出，一定存在一点 ，使得 。换言之，曲线 在有限时间内会相交。

然而，两激波S_和S+相撞之前可能会与从xc出发的中心稀疏波相交。所以，为了完成证明，必须考察激波 在中心稀疏波S_，S+的作用下是加速还是减速的。

令 是常微分方程

的解，其中初值分别为 ，于是解得

对于从 出发的激波S_，未遇上稀疏波时，速度是

当S_遇上稀疏波作用后，速度变为

其中 同样可由（3.17）得到，即

由函数F，G的性质知， ，则S_加速。同理，S+减速。故S_，S+在有限时间内一定会相撞产生单个激波。

我们令产生的单个激波为 ，记x*=η（t*）。显然

回到问题（3.1）（3.2），我们将其解u（x，t）与具有特殊初值问题（3.1）（3.3）的解 作比较。首先，我们给出一个关于u（x，t）和 性质的重要引理。

引理3.2 若um，uM满足

且

则有

证明：根据式（3.23）中xc的选取，我们得到

于是，当t=0时，式（3.25）自然成立。同时，式（3.24）显然成立。

选取足够大的常数M，使得在区域（-∞，M]）×[0，t]上， ；在区域 上， 。分别在不同的初值条件（3.2）和（3.3）下，将（3.1）在矩形区域 上积分，利用Green公式我们得到

将上面两式相减，得

令

显然P（0）=0。利用（3.1），对上式微分得

这意味着P（t）=0，即（3.25）成立。

引理3.3：對于任意一点 ，我们有

证明：为了方便起见，我们记引理3.3中的（x，t）为 ，令 是满足下面常微分方程初值问题

的一条曲线.记 .设函数

直接计算得

于是，由f的严格凸性知， .由引理4.1.1知 ，所以 .特别地，

设（x*，t*）如（3.21）中所定义。下面我们可以证明本文的主要定理。

定理3.4：在条件（3.22）和（3.23）下，初值问题（3.1）（3.2）的解在有限时间内产生单个激波。记激波相撞时间为t*，激波为 。则有

证明：对于任意一点 ，我们作（3.1）（3.3）的后向特征线，记为 ，且交x轴于点 。同样，我们也可作一条（3.1）（3.2）的后向特征线，记为x（t），交x轴于点（y，0）。显然 。接下来我们将证明 。为了得到这一结果，我们只需证明 的情形。将方程

在以顶点为 的“曲边”三角形区域（记为Ω）上积分，利用Green公式，得到

化简得

由引理3.2可知，等式左端第一项非正。由f的严格凸性可知，等式左边第二、三项均严格负。然而，注意到 ，故从引理3.3可知，

这意味着 的情形不成立，则 。另一方面。运用同样的推理过程，对于任一点 ，则我们可以证明 。于是 就是的激波。

[参考文献]

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