我国上市公司可转债定价及实证研究

龚其国+陈凉

摘要：可转债是由债券和奇异期权组成的混合金融衍生工具。文章运用蒙特卡洛模拟方法模拟股价运动路径并在此基础上为可转债定价。其中，运用GARCH（1，1）模型对股票价格的波动率进行动态刻画，并考虑了利率的期限结构和违约风险对贴现率的影响。实证结果表明，此模型对可转债的定价表现较好。

关键词：可转债定价；蒙特卡罗模型；GARCH模型

一、 可转债定价研究现状

可转债结构成分十分复杂，设定赎回条款和回售条款的可转债更是同时包含了股价看涨和看跌期权的奇异期权，因此可转债的实际定价十分困难，定价的准确性也很难保证。在国内外的研究中，很多学者都提出了不同的方法对可转债进行定价。定价过程基本由基于公司价值的定价方式发展到基于股价变动规律的定价方式。如很多学者在基于B-S模型基础上考虑了可转债条款等进行定价，比较真实的预测了可转债的市场价格；也有学者通过二叉树或三叉树，将违约风险考虑在内对可转债定价，效果也比较好。

在最近的研究中，很多学者通过蒙特卡洛模拟方法模拟股票价格路径从而对可转债进行定价， Longstaff和Schwartz（2001）首次提出用最小二乘蒙特卡罗模拟（Least Squares Monte Carlo Simulation，LSM）为可转债定价。Manuel Ammann， Axel Kind和ChristianWild（2007）用蒙特卡洛模拟对美国32支可转债进行定价，并认为模型精度较高。刘大巍（2011）运用了最小二乘蒙特卡洛方法提出了我国可转债定价修正模型，使得对可转债价值的计算更加有效。张卫国（2011）基于全最小二乘拟蒙特卡罗方法对可转债定价，通过使用随机Faure 序列和方差减小技术，有效地降低模型估计结果的误差。也有很多学者对股价的变动规律进行更精确的修正。S.G.Kou和Hui Wang指出双指数跳扩散过程能更好地拟合股票收益率分布的尖峰厚尾特征，并给出了标准欧式期权的显示解。宋殿宇、金华、刘善存（2011）研究了股价服从双指数跳扩散过程以及存在企业违约风险的条件下可转债定价问题，是模型更贴近现实金融市场。

综上所述，蒙特卡洛模拟方法可以有效解决可转债发行条款中的路径依赖和多因素扰动等问题。但是，较少的研究会考虑到股价波动率内生化的问题，而波动率估计的准确程度对模型的准确性影响很大。由于股票收益率一般存在波动集聚性和异方差性，并且易受市场的各种因素干扰，对股票收益率波动率准确刻画对更好地模拟股票价格运动路径至关重要。在此基础上，本文首先采用GARCH模型对股票收益率波动率进行估计，然后在考虑利率期限结构和违约风险的基础上使用蒙特卡洛模拟对可转债进行定价研究。

二、 可转债定价方法

可转债是指在一定条件下可以被转换成公司股票的债券，其具有债权和期权双重属性。可转债持有人可以选择持有债券到期，获取公司债券的本金和利息，也可以选择在约定的时间内将其转换成股票，享受股利分配或资本增值。因此，可转债的价值由两部分构成，一部分是其作为普通债券的价值，另一部分是作为期权的价值。即：可转债的价值=公司债券的价值+可转债包含的期权价值。在为可转债定价时，本文将基于这两部分价值分别进行定价。

1. 可转债债券价值定价。可转债在作为普通债券的非转换期内，其价值是由在未来持有债券期间产生的一系列现金流的折现值决定。非零息债权在未来的期限内会有利息的现金流产生，其定价为各付息点利息的折现值，期末时点的现金流为本金加利息。

债权的价格可以由公式计算：

其中，B 表示普通债券的价值，p为债券的面值，I 表示债券每年利息，i 表示贴现率，n表示从现在至到期日的剩余年限的整数年数，k 表示现在至下一次付息日的时间，单位为年，则n+k表示从现在起至到期日的剩余年限。

2. 可转债期权价值定价。可转债的另一部分价值是由其在转换期内具有的期权价值决定。可转债的期权是一种股票的看涨期权，如果在转换期内股票的价格有上涨的趋势，并且投资者对未来股票价格看好，就会执行转股权，将可转债转换为相应数量的股票，即可以获得股票上涨带来的收益。关于期权价值的计算，国内外现在有很多方法，较为流行的方法有B-S模型、二叉树、三叉树以及蒙特卡洛模拟等。B-S模型成立的要求条件较多，也较为严格，并且只适用于对欧式期权的定价，因此有一定的局限性。二叉树模型相对要求的条件较少，而且可以处理美式期权的定价，但是计算的过程较为复杂，也没有考虑到可转债条款中路径依赖和多因素扰动问题。蒙特卡洛模拟通过模拟多条股票价格运动路径，在此基础上确定期权价值，相对二叉树的计算要简便，并解决了路径依赖问题。但是其缺陷是不能直接进行美式期权的定价。

（1）股票价格的运动路径。股票的价格通常被认为是服从马尔科夫过程，股票未来价格的变化是一个不确定的随机过程，只能通过一个概率分布的形式来表达。维纳过程就是马尔科夫过程中变化的期望值为0，方差为1的特殊形式。假设z服从维纳过程，？驻z=ε■，ε服从标准正态分布。对于广义的维纳过程定义是 dx=adt+bdz ，其中，a表示漂移率，即每单位时间内随机过程中的变量变化的期望值，b表示变量的变化率。

股票价格的变化就服从广义的维纳过程，但是将股票价格的漂移率认为成常数显然是不合理的，因此修正为期望收益率为常数。那么如果股票在t时刻的价格为S，股票的漂移率就应为？滋S，其中？滋为常数。在一个很短的时间？驻t内，股票S的变化为？滋S？驻t，？滋为股票的期望收益率。因此，股价的变化可以用公式表示为：

dz是一个维纳过程，σ 为股价的波动率，通常认为在时间较短的时间内股价的波动率是不变的，但是现实中股价的波动率也是经常变化的。

（2）波动率模型。波动率通常是资产收益确定性的衡量，它经常用来衡量资产的风险。波动率越大，意味着风险越高。波动率在投资分析，期权定价等方而有很重要的应用。可转债的价格对股票价格的波动率很敏感，因此波动率是影响可转换债券价值的一个非常重要的因素。可转换债券的权益部分实际上相当于一个认购权证，股票的波动率越大，认购权证的价值就越大大，从而可转债的价值就越大。所以波动率估计的准确程度对模型的准确性影响很大。波动率的估计分成两种，一种是利用历史数据统计出的历史波动率，另一种是利用市场上的期权价格和相关定价模型推导出的隐含波动率。

目前国内很多学者对于中国股票市场的波动性进行了广泛研究，分别使用了GARCH、TGRCH和EGARCH模型拟合了中国股市的波动性，并且预测效果较好。本文采取GARCH模型对波动率进行估计。

在标准化的GARCH（1，1）模型中：

yt=xtγ+μt

σt2=ω+αμt2+βσ2t-1

其中：xt是1×（k+1）维外生变量向量，γ是（k+1）×1维系数向量。式中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量函数。由于σ2t是以前面信息为基础的一期向前预测方差，所以它被称作条件方差。

考虑GARCH回归模型，通过GARCH（1，l）形式对条件方差的滞后值和扰动项的滞后值进行建模来估计波动率，使得波动率不再是仅仅依赖于历史数据的常数，而是随时间变化而变化的量，从而更好地拟合波动率的集聚性和异方差性，对股票收益率的波动进行更准确的模拟。

（3）蒙特卡洛模拟定价法。在计算期权价格时，蒙特卡洛模拟采用了风险中性理论。在这样的理论下，首先随机的产生股票价格的路径，并由此取得收益的期望值，然后再对其以无风险利率进行贴现。其定价过程可以归纳为：

①对股票的价格S的路径进行模拟抽样；

②计算股票变化的收益；

③计算收益的均值，该均值即为股票期权收益期望的近似值；

④以无风险利率对股票的收益期望进行贴现，所得结果即为期权价格的近似。

由上述分析，股票的价格变化服从以下过程

dS=μSdt+σSdz

在实际中，对lnS进行抽样通常比对S抽样要更为准确。由伊藤引理，lnS服从的过程为

可以计算在T时刻提供非标准收益的期权的定价。

三、 新钢转债实证分析

本文选取新钢转债进行实证分析，并采用蒙特卡洛模拟对新钢转债定价，并与实际价格对比分析模型的定价准确性。

新钢转债是由新余钢铁股份有限公司于2008年8月21日发行的可转换债券，大公国际对其给出的信用等级为AA+级。该可转债的存续期限为5 年，可转债到期日为2013 年8 月20 日。票面利息为第一年1.5%、第二年1.8%、第三年2.1%、第四年2.4%、第五年2.8%。可转换公司债券按票面金额由2008 年8 月21 日起开始计算利息，每年付息一次。可转债约定的初始转股价格为8.22元/股，最新转股价为8.1元/股。

（1）波动率内生化分析。新钢转债对应的股票为新钢股份（600782），本文使用2008年9月9日至2009年11月13日共284个交易日的收盘价，通过GARCH模型来估计新钢股份股价的波动性。

本文采用EVIEWS软件对股价波动率进行分析建模。根据股票价格序列得出股票的对数收益率序列，基本统计分析表明偏度小于零，峰度大于3，说明对数收益率序列存在左偏、尖峰的特征。JB统计量和P值也都拒绝了收益率是正态分布的假设。

对股价的对数收益率序列进行ADF单位根检验，观察其是否平稳。由ADF检验的t统计量和P值可知，对数收益率序列不存在单位根，是平稳序列，可以建立预测模型。

建立对数收益率序列的随机游走模型，并对其残差进行ARCH效应的LM检验。滞后阶数为3时，检验结果表明存在高阶ARCH效应，即收益率存在波动集聚性等特征，适合用GARCH模型进行建模。

通过比较， GARCH（1，1） 的AIC 和SC 均比较小， 因此选取GARCH（1，1） 进行建模， 相应参数如表1所示。

即：r=0.002 198+0.615 36r（-1）+εt

ht=0.000 055 5+0.099 417ε2t-1+0.861 053ht-1

公式表明，对数收益率序列的波动率并非常数，本期收益率的波动率跟上一期的波动率和上一期的残差有关。因此本文通过建立GARCH模型，对股价变动的收益率的方差进行动态刻画，能更好地拟合股价波动路径。

（2）利率期限结构和违约风险的考量。市场上的利率是随时间变化的变量，真实的利率期限结构并非是平坦的。本文采用银行间固定利率企业债收益率曲线AAA（wind数据库）来确定每一次利息流贴现的利率，从而使得债券定价更符合市场的利率期限结构。

而且，债券的利息回报也并非没有违约风险。许多学者提出用违约风险调整后的利率进行贴现（McConnell and Schwartz，1986，Goldman Sachs，1994）。因为蒙特卡洛模拟方法不能直接考虑违约事件的发生，本文对贴现率进行了修正。新钢转债的信用评级为AA+，本文采用银行间固定利率企业债收益率曲线AAA（wind数据库）来代替无风险利率对债券的利息收益进行贴现，由此加入对违约风险的考量。

（3）新钢转债的债券价值计算。计算新钢可转债的纯债券价值，公司债券的起息日为2008年8月21日，每年计息一次，共计息5次，对每次利息现金流折现计算纯债券价值。

表2为新钢可转债纯债券在每年产生的现金流，将每年的现金流折现，得到最后新钢可转债纯债券价值为90.804 27元。

（4）新钢转债定价。运用蒙特卡洛方法对2011年9月20日到2011年9月30日的股价进行模拟。蒙特卡洛模拟通过产生不同的随机数对每日股价进行多条路径的模拟（从9月20日到9月30日的股价模拟是一条路径）模拟准确性因模拟次数的增加为增大。由因此，本文模拟了20条路径，并取同一天的股价平均值作为当日的模拟股价。

当股票的价格高于转股价格，债权投资者可以行使转股权，看涨期权价值为

C=MAX（（股票价格-转股价格），0）

假设在2011年9月20日行使转股，每份股权的价值为=8.232 192 21-8.22=0.012 192 21，转股比例为N=债权面值/转股价格，因此N=100/8.22=12.165 45。考虑一份债券转股后的期权价值=每份股权价值*转股比例，即为可转债的期权价值=0.012 192 21*12.165 45=0.148 324（如表3所示）。同样，可以计算出在9月21日到9月30日期权价值。

可转债的价格是由作为债券部分的价值和期权的价值决定，而债券部分价值通常取决于纯债券价值和转换价值中较大者，因为，只有当转换价值大于纯债券的价值，转股之后才会有利可图。因此，可转债的价值=MAX（纯债券价值，转换价值）+期权价值。

转换价值为转换比例与现行股票价值的乘积。本文中，可转债的转换价值=N*模拟股价，即转（下转第57页）换价值=12.165 45*8.232 192 21=100.148 323 7。

综上所述，最后新钢可转债的价格=MAX（89.148 94，100.148 323 7）+ 0.148 324=100.296 65。

如表3所示，分别对2011年9月20日到9月30日的新钢可转债定价，并与实际价格对比。与实际价格稍有误差，但是基本符合其定价的趋势，应该说是比较好的模拟了新钢可转债的定价，从图1可以看出模拟定价效果的对比。

四、 结论与局限性

考虑到股票收益率的波动集聚性和异方差性，本文首先通过将波动率内生化来更好地模拟股价运动路径。其次，加入了对利率期限结构和违约风险的考量。最后运用蒙特卡洛模拟方法对可转债进行定价。实证分析结果表明可转债定价的效果较好，比较接近可转债的实际价格。但是与市场的实际价格还是有偏差，原因可能有：

（1）中国股票市场不完善。相关研究表明，我国的股票市场处于无效和弱有效性之间。在2010年股指期货开始交易之前市场上始终没有做空机制，只能通过推高大盘指数和股票价格来通过价差获取盈利，因此容易出现虚高和泡沫的现象。

（2）债券市场流动性较弱。目前中国的债券市场尤其是可转债市场不够成熟，流动性相对较弱，交易量相对较小，债券市场价格不能完全反映真实价值。

（3）投资者不成熟。由于可转债这种新型金融工具在我国发展的时间相对较短，市场规模较小，因此很多投资者对可转债的认识严重不足。

本文是基于欧式期权对可转债进行定价，没有考虑到美式期权的定价，也没有对可转债的回购条款和回售条款进行细致考虑，模拟定价的结果具有一定的局限性。可以考虑在未来的研究中，将转换期划分为等长的区间，对每一区间的股价进行模拟，计算平均值，并根据赎回条款和回售条款对可转债的转股价格进行实时修正，若未来期权价值的折现小于当前期权价值，则考虑提前执行期权，从而实现对美式期权的定价。在此基础上对美式期权和细致条款的蒙特卡洛模拟定价有待进一步研究。

参考文献：

1.张卫国，史庆盛，许文坤.基于全最小二乘拟蒙特卡罗方法的可转债定价研究.管理科学，2011，（2）.

2.刘大巍，陈启宏，张翀.关于我国可转债定价修正模型的实证研究.管理工程学报，2011，（1）.

3.张卫国，史庆盛，肖炜麟.中国可转债模糊定价及其算法研究.系统工程学报，2010，（4）.

4.张卫国，史庆盛，肖炜麟.考虑支付红利的可转债模糊定价模型及其算法.管理科学学报，2010，（11）.

5.王新哲，周荣喜.基于利率期限结构模型的中国可转换债券定价分析.管理科学，2006，（4）.

6.吴小瑾，陈晓红，张泽京.基于公司价值的可转债定价实证研究.系统工程，2005，（10）.

作者简介：龚其国，中国科学院大学管理学院教授，清华大学管理学博士；陈凉，通讯作者，中国科学院大学管理学院硕士生。

收稿日期：2014-03-16。

可转债的价格是由作为债券部分的价值和期权的价值决定，而债券部分价值通常取决于纯债券价值和转换价值中较大者，因为，只有当转换价值大于纯债券的价值，转股之后才会有利可图。因此，可转债的价值=MAX（纯债券价值，转换价值）+期权价值。

转换价值为转换比例与现行股票价值的乘积。本文中，可转债的转换价值=N*模拟股价，即转（下转第57页）换价值=12.165 45*8.232 192 21=100.148 323 7。

综上所述，最后新钢可转债的价格=MAX（89.148 94，100.148 323 7）+ 0.148 324=100.296 65。

如表3所示，分别对2011年9月20日到9月30日的新钢可转债定价，并与实际价格对比。与实际价格稍有误差，但是基本符合其定价的趋势，应该说是比较好的模拟了新钢可转债的定价，从图1可以看出模拟定价效果的对比。

四、 结论与局限性

考虑到股票收益率的波动集聚性和异方差性，本文首先通过将波动率内生化来更好地模拟股价运动路径。其次，加入了对利率期限结构和违约风险的考量。最后运用蒙特卡洛模拟方法对可转债进行定价。实证分析结果表明可转债定价的效果较好，比较接近可转债的实际价格。但是与市场的实际价格还是有偏差，原因可能有：

（1）中国股票市场不完善。相关研究表明，我国的股票市场处于无效和弱有效性之间。在2010年股指期货开始交易之前市场上始终没有做空机制，只能通过推高大盘指数和股票价格来通过价差获取盈利，因此容易出现虚高和泡沫的现象。

（2）债券市场流动性较弱。目前中国的债券市场尤其是可转债市场不够成熟，流动性相对较弱，交易量相对较小，债券市场价格不能完全反映真实价值。

（3）投资者不成熟。由于可转债这种新型金融工具在我国发展的时间相对较短，市场规模较小，因此很多投资者对可转债的认识严重不足。

本文是基于欧式期权对可转债进行定价，没有考虑到美式期权的定价，也没有对可转债的回购条款和回售条款进行细致考虑，模拟定价的结果具有一定的局限性。可以考虑在未来的研究中，将转换期划分为等长的区间，对每一区间的股价进行模拟，计算平均值，并根据赎回条款和回售条款对可转债的转股价格进行实时修正，若未来期权价值的折现小于当前期权价值，则考虑提前执行期权，从而实现对美式期权的定价。在此基础上对美式期权和细致条款的蒙特卡洛模拟定价有待进一步研究。

参考文献：

1.张卫国，史庆盛，许文坤.基于全最小二乘拟蒙特卡罗方法的可转债定价研究.管理科学，2011，（2）.

2.刘大巍，陈启宏，张翀.关于我国可转债定价修正模型的实证研究.管理工程学报，2011，（1）.

3.张卫国，史庆盛，肖炜麟.中国可转债模糊定价及其算法研究.系统工程学报，2010，（4）.

4.张卫国，史庆盛，肖炜麟.考虑支付红利的可转债模糊定价模型及其算法.管理科学学报，2010，（11）.

5.王新哲，周荣喜.基于利率期限结构模型的中国可转换债券定价分析.管理科学，2006，（4）.

6.吴小瑾，陈晓红，张泽京.基于公司价值的可转债定价实证研究.系统工程，2005，（10）.

作者简介：龚其国，中国科学院大学管理学院教授，清华大学管理学博士；陈凉，通讯作者，中国科学院大学管理学院硕士生。

收稿日期：2014-03-16。

可转债的价格是由作为债券部分的价值和期权的价值决定，而债券部分价值通常取决于纯债券价值和转换价值中较大者，因为，只有当转换价值大于纯债券的价值，转股之后才会有利可图。因此，可转债的价值=MAX（纯债券价值，转换价值）+期权价值。

转换价值为转换比例与现行股票价值的乘积。本文中，可转债的转换价值=N*模拟股价，即转（下转第57页）换价值=12.165 45*8.232 192 21=100.148 323 7。

综上所述，最后新钢可转债的价格=MAX（89.148 94，100.148 323 7）+ 0.148 324=100.296 65。

如表3所示，分别对2011年9月20日到9月30日的新钢可转债定价，并与实际价格对比。与实际价格稍有误差，但是基本符合其定价的趋势，应该说是比较好的模拟了新钢可转债的定价，从图1可以看出模拟定价效果的对比。

四、 结论与局限性

考虑到股票收益率的波动集聚性和异方差性，本文首先通过将波动率内生化来更好地模拟股价运动路径。其次，加入了对利率期限结构和违约风险的考量。最后运用蒙特卡洛模拟方法对可转债进行定价。实证分析结果表明可转债定价的效果较好，比较接近可转债的实际价格。但是与市场的实际价格还是有偏差，原因可能有：

（1）中国股票市场不完善。相关研究表明，我国的股票市场处于无效和弱有效性之间。在2010年股指期货开始交易之前市场上始终没有做空机制，只能通过推高大盘指数和股票价格来通过价差获取盈利，因此容易出现虚高和泡沫的现象。

（2）债券市场流动性较弱。目前中国的债券市场尤其是可转债市场不够成熟，流动性相对较弱，交易量相对较小，债券市场价格不能完全反映真实价值。

（3）投资者不成熟。由于可转债这种新型金融工具在我国发展的时间相对较短，市场规模较小，因此很多投资者对可转债的认识严重不足。

本文是基于欧式期权对可转债进行定价，没有考虑到美式期权的定价，也没有对可转债的回购条款和回售条款进行细致考虑，模拟定价的结果具有一定的局限性。可以考虑在未来的研究中，将转换期划分为等长的区间，对每一区间的股价进行模拟，计算平均值，并根据赎回条款和回售条款对可转债的转股价格进行实时修正，若未来期权价值的折现小于当前期权价值，则考虑提前执行期权，从而实现对美式期权的定价。在此基础上对美式期权和细致条款的蒙特卡洛模拟定价有待进一步研究。

参考文献：

1.张卫国，史庆盛，许文坤.基于全最小二乘拟蒙特卡罗方法的可转债定价研究.管理科学，2011，（2）.

2.刘大巍，陈启宏，张翀.关于我国可转债定价修正模型的实证研究.管理工程学报，2011，（1）.

3.张卫国，史庆盛，肖炜麟.中国可转债模糊定价及其算法研究.系统工程学报，2010，（4）.

4.张卫国，史庆盛，肖炜麟.考虑支付红利的可转债模糊定价模型及其算法.管理科学学报，2010，（11）.

5.王新哲，周荣喜.基于利率期限结构模型的中国可转换债券定价分析.管理科学，2006，（4）.

6.吴小瑾，陈晓红，张泽京.基于公司价值的可转债定价实证研究.系统工程，2005，（10）.

作者简介：龚其国，中国科学院大学管理学院教授，清华大学管理学博士；陈凉，通讯作者，中国科学院大学管理学院硕士生。

收稿日期：2014-03-16。